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不等式的解集与恒成立1
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、不等式解集问题
1.常见不等式的解集应用
(1)基本不等式解法：含二次、分式、绝对值、简单的超越不等式、根式解法
(2)具体函数的图像解法：函数性质配合示意图解法、初等及复合单调性解法、两个函数图像解法
2.含参数解集分析
(1)掌握不等式通过等价变形形成解集的过程，利用等价变形思路考查变形方式与方法
(2)掌握不等式的数形结合应用，利用方程、图像与不等式关联性灵活处理
(3)关注：解集的区间边界取值具有特殊性
二、不等式的恒成立问题
1.不等式的恒成立涉及最值问题灵活多变，根据想法不同诉诸于解题过程也会繁简不同，
(1)优先观察端点值是否会是最值情况，注意端点值的应用限制较多但想清楚应用却是最快，如二次不等式开口向上时，在闭区间上恒小于零时其最大值为端点处值，但开口向下时则不成立
(2)有时也会观察图像的动态问题，常见图定区间动或图动区间定，特殊的是二次函数的轴动定区间法
(3)有时也会利用等价变形进行分离参数，实现常值函数的横线平移法，注意分离法有时不完全分离可以观察不等号两边的两个函数图像上下关系
2.恒成立的一些常见高频词“任意”“存在”要能够准确解读并转化
(1)分段函数的应用常需进行两段数据关联分析
(2)复合函数的应用常需换元进行等价变形
三、分式函数处理
1.形如类型的分式处理，可进行分母换元，化简后常需结合双曲、双勾函数的图像
(1)同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.形如类型的分式处理，可进行分离常数，化简后轮化为反比例函数的图像应用亦可利用斜率的几何意义
3.部分涉及同次式可转化，如
例1．（2019?普陀区三模）对数不等式的解集是，则实数的值为_______
【难度】★★★
例2．不等式组的解集为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★
例3．若关于的不等式的解集恰好为，，那么_______
【难度】★★★
例4．设函数（其中，，若不等式的解集为，，则实数的
取值范围为_______
【难度】★★★
例5．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则_______
【难度】★★★
例6．设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例7．不等式的解集为，则_______，_______
【难度】★★★
例8．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为_______
【难度】★★★★
例9．（2020?闵行区二模）已知是定义在上的偶函数，当，，，且，总有，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
例10．函数，则不等式的解集是_______
【难度】★★★
例11．设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的解集是_______
【难度】★★
1．若不等式的解集为，且，则的取值集合为_______
【难度】★★★
2．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
3．已知是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是_______
【难度】★★★
4．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，，且它们在，上的图象如图所示，则不等式的解集是_______
【难度】★★★
5．已知定义在上的单调函数的图象经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
6．不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为，那么直线的斜率是_______
【难度】★★★
7．（2019?黄浦区校级模拟）不等式的解集为_______
【难度】★★★
8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
9．（2021?嘉定区二模）已知函数，则不等式的解集为　　
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【难度】★★★★
10．如果实系数、、和、、都是非零常数．
（1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件．
【难度】★★★
11．若关于的不等式的解是，试求的最小值为______
【难度】★★★
12．已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是______
【难度】★★★
13．若关于的不等式的解集是，则的取值的集合是______
【难度】★★★
1．若不等式的解集是，，则以下结论中：①；②；③；④；⑤，正确结论的序号是_______
【难度】★★★★
2．设函数由方程确定，下列结论正确的是_______（请将你认为正确的序号都填上）
（1）是上的单调递增函数；
（2）不等式的解集为；
（3）方程恒有两解；
（4）存在反函数，且反函数由方程确定．
【难度】★★★★
3．若适合不等式的的最大值为3，则实数的值为______
【难度】★★★★
4．若关于的不等式的解集为，，，则实数的值为______
【难度】★★★★
1．若不等式的解集为，则不等式的解集为_______
【难度】★★★★
2．若关于的不等式组的整数解集为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
3．定义在上的函数的图象过点和，且对任意正实数，有成立，则当不等式的解集为时，实数的值为_______
【难度】★★★★
4．（2020秋?浦东新区期末）下列不等式中，解集相同的是　　
A．与
B．与
C．与
D．与
【难度】★★
5．已知不等式①；②；；③要使同时满足①②的也满足③，则应满足　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
6．设关于的不等式和的解集分别是、．下列说法中不正确的是　　
A．不存在一个常数使得、同时为
B．至少存在一个常数使得、都是仅含有一个元素的集合
C．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有
D．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有
【难度】★★★
7．已知函数，且的解集为，则函数的图象为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
8．（2020?闵行区校级模拟）已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图象上，则不等式的解集为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
9．定义区间，，，，，，的长度均为，其中．
（1）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
（2）已知关于的不等式，，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围；
（3）已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
10．（2021?上海模拟）函数的定义域为，函数．
（1）若时，的解集为，求；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★不等式的解集与恒成立1
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、不等式解集问题
1.常见不等式的解集应用
(1)基本不等式解法：含二次、分式、绝对值、简单的超越不等式、根式解法
(2)具体函数的图像解法：函数性质配合示意图解法、初等及复合单调性解法、两个函数图像解法
2.含参数解集分析
(1)掌握不等式通过等价变形形成解集的过程，利用等价变形思路考查变形方式与方法
(2)掌握不等式的数形结合应用，利用方程、图像与不等式关联性灵活处理
(3)关注：解集的区间边界取值具有特殊性
二、不等式的恒成立问题
1.不等式的恒成立涉及最值问题灵活多变，根据想法不同诉诸于解题过程也会繁简不同，
(1)优先观察端点值是否会是最值情况，注意端点值的应用限制较多但想清楚应用却是最快，如二次不等式开口向上时，在闭区间上恒小于零时其最大值为端点处值，但开口向下时则不成立
(2)有时也会观察图像的动态问题，常见图定区间动或图动区间定，特殊的是二次函数的轴动定区间法
(3)有时也会利用等价变形进行分离参数，实现常值函数的横线平移法，注意分离法有时不完全分离可以观察不等号两边的两个函数图像上下关系
2.恒成立的一些常见高频词“任意”“存在”要能够准确解读并转化
(1)分段函数的应用常需进行两段数据关联分析
(2)复合函数的应用常需换元进行等价变形
三、分式函数处理
1.形如类型的分式处理，可进行分母换元，化简后常需结合双曲、双勾函数的图像
(1)同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.形如类型的分式处理，可进行分离常数，化简后轮化为反比例函数的图像应用亦可利用斜率的几何意义
3.部分涉及同次式可转化，如
例1．（2019?普陀区三模）对数不等式的解集是，则实数的值为_______
【难度】★★★
答案：2．
例2．不等式组的解集为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★
答案：，或．
例3．若关于的不等式的解集恰好为，，那么_______
【难度】★★★
答案：4．
例4．设函数（其中，，若不等式的解集为，，则实数的
取值范围为_______
【难度】★★★
答案：，．
例5．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则_______
【难度】★★★
答案：
例6．设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：
例7．不等式的解集为，则_______，_______
【难度】★★★
答案；36．
例8．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为_______
【难度】★★★★
答案：，，．
例9．（2020?闵行区二模）已知是定义在上的偶函数，当，，，且，总有，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
答案：．
例10．函数，则不等式的解集是_______
【难度】★★★
答案
例11．设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的解集是_______
【难度】★★
答案：，，
1．若不等式的解集为，且，则的取值集合为_______
【难度】★★★
答案：．
2．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：
3．已知是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是_______
【难度】★★★
答案．
4．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，，且它们在，上的图象如图所示，则不等式的解集是_______
【难度】★★★
答案：或或
5．已知定义在上的单调函数的图象经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
答案：．
6．不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为，那么直线的斜率是_______
【难度】★★★
答案
7．（2019?黄浦区校级模拟）不等式的解集为_______
【难度】★★★
答案：，，．
8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
9．（2021?嘉定区二模）已知函数，则不等式的解集为　　
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【难度】★★★★
答案：．
10．如果实系数、、和、、都是非零常数．
（1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件．
【难度】★★★
答案：（1）既不充分也不必要条件（2）充分不必要条件（3）充要条件
11．若关于的不等式的解是，试求的最小值为______
【难度】★★★
答案：
12．已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是______
【难度】★★★
答案：，，．
13．若关于的不等式的解集是，则的取值的集合是______
【难度】★★★
答案：．
1．若不等式的解集是，，则以下结论中：①；②；③；④；⑤，正确结论的序号是_______
【难度】★★★★
答案：②③⑤．
2．设函数由方程确定，下列结论正确的是_______（请将你认为正确的序号都填上）
（1）是上的单调递增函数；
（2）不等式的解集为；
（3）方程恒有两解；
（4）存在反函数，且反函数由方程确定．
【难度】★★★★
答案：（1）（2）（4）．
3．若适合不等式的的最大值为3，则实数的值为______
【难度】★★★★
答案：8．
4．若关于的不等式的解集为，，，则实数的值为______
【难度】★★★★
答案：2．
1．若不等式的解集为，则不等式的解集为_______
【难度】★★★★
答案：
2．若关于的不等式组的整数解集为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案．
3．定义在上的函数的图象过点和，且对任意正实数，有成立，则当不等式的解集为时，实数的值为_______
【难度】★★★★
答案2．
4．（2020秋?浦东新区期末）下列不等式中，解集相同的是　　
A．与
B．与
C．与
D．与
【难度】★★
答案：．
5．已知不等式①；②；；③要使同时满足①②的也满足③，则应满足　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
6．设关于的不等式和的解集分别是、．下列说法中不正确的是　　
A．不存在一个常数使得、同时为
B．至少存在一个常数使得、都是仅含有一个元素的集合
C．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有
D．当、都是仅含有一个元素的集合时，总有
【难度】★★★
答案：．
7．已知函数，且的解集为，则函数的图象为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
8．（2020?闵行区校级模拟）已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图象上，则不等式的解集为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
9．定义区间，，，，，，的长度均为，其中．
（1）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
（2）已知关于的不等式，，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围；
（3）已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．（3）
10．（2021?上海模拟）函数的定义域为，函数．
（1）若时，的解集为，求；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1），（2）

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