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不等式的解集与恒成立2
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、不等式解集问题
1.常见不等式的解集应用
(1)基本不等式解法：含二次、分式、绝对值、简单的超越不等式、根式解法
(2)具体函数的图像解法：函数性质配合示意图解法、初等及复合单调性解法、两个函数图像解法
2.含参数解集分析
(1)掌握不等式通过等价变形形成解集的过程，利用等价变形思路考查变形方式与方法
(2)掌握不等式的数形结合应用，利用方程、图像与不等式关联性灵活处理
(3)关注：解集的区间边界取值具有特殊性
二、不等式的恒成立问题
1.不等式的恒成立涉及最值问题灵活多变，根据想法不同诉诸于解题过程也会繁简不同，
(1)优先观察端点值是否会是最值情况，注意端点值的应用限制较多但想清楚应用却是最快，如二次不等式开口向上时，在闭区间上恒小于零时其最大值为端点处值，但开口向下时则不成立
(2)有时也会观察图像的动态问题，常见图定区间动或图动区间定，特殊的是二次函数的轴动定区间法
(3)有时也会利用等价变形进行分离参数，实现常值函数的横线平移法，注意分离法有时不完全分离可以观察不等号两边的两个函数图像上下关系
2.恒成立的一些常见高频词“任意”“存在”要能够准确解读并转化
(1)分段函数的应用常需进行两段数据关联分析
(2)复合函数的应用常需换元进行等价变形
三、分式函数处理
1.形如类型的分式处理，可进行分母换元，化简后常需结合双曲、双勾函数的图像
(1)同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.形如类型的分式处理，可进行分离常数，化简后轮化为反比例函数的图像应用亦可利用斜率的几何意义
3.部分涉及同次式可转化，如
例1．设，，且对一切，不等式恒成立，则的最小值为______
【难度】★★★
例2．已知不等式对于，，，恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
例3．是偶函数，且在，上是增函数，如果在，上恒成立，则
实数的取值范围是______
【难度】★★★
例4．（2021?上海模拟）已知不等式，对于，恒成立，则实数的取值范围
是______
【难度】★★★
例5．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，，不等式
恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
例6．设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★★
例7．已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则______
【难度】★★★★
例8．设实数，满足，若对满足条件，，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
例9．若不等式在内恒成立，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
例10．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
例11．（2021?黄浦区三模）已知函数为实常数）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★
例12．已知函数，．
（1）在，上恒成立，求的取值范围；
（2）当时，对任意的，，存在，，使得恒成立，求的取值范围．
【难度】★★★★
1．设关于的实系数不等式对任意，恒成立，则______
【难度】★★★
2．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
3．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
4．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【难度】★★★
5．若不等式对任意自然数恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
6．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
7．已知，．
若同时满足条件：
①任意满足或；
②存在满足，则的取值范围是______
【难度】★★★★
8．若关于的不等式的解集是，则的取值的集合是______
【难度】★★★
9．已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．
B．，
C．，
D．，
【难度】★★★
1．（2019?奉贤区二模）已知函数为定义在上的奇函数，且在，单调递减，当时，恒有成立，则的取值范围是______
【难度】★★★★
2．（2018?黄浦区二模）已知函数对任意恒有成立，则代数式
的最小值是______
【难度】★★★★
3．若二次函数对一切恒有成立，且（5），则______
【难度】★★★★
4．（2021?杨浦区校级三模）已知与皆是定义域、值域均为的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题：“对任意，恒成立”，命题：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是　　
A．命题真，命题真
B．命题真，命题假
C．命题假，命题真
D．命题假，命题假
【难度】★★★★
1．已知不等式在上恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
2．设，，若对任意，都有，则______
【难度】★★★
3．若对任意的，，不等式恒成立，则的最小值为______，的最大值为______
【难度】★★★★
4．已知函数，若关于的小等式的解集，，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
5．若不等式的解集为，则实数的值为______
【难度】★★★
6．若不等式对任意恒成立，则的值为______
【难度】★★★
7．已知不等式对取一切负数恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★
8．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
9．对于的，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
10．函数在，上恒有意义，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
11．如果函数，，关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
12．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
13．设关于的实系数不等式对任意，恒成立，则______
【难度】★★★
14．设，若时，均有，则______
【难度】★★★
15．设，若时，均有，则______
【难度】★★★
16．不等式，对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．或
D．或
【难度】★★★
17．（2018?徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）若，且在，上存在零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，存在，使，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得当，时，恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★不等式的解集与恒成立2
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、不等式解集问题
1.常见不等式的解集应用
(1)基本不等式解法：含二次、分式、绝对值、简单的超越不等式、根式解法
(2)具体函数的图像解法：函数性质配合示意图解法、初等及复合单调性解法、两个函数图像解法
2.含参数解集分析
(1)掌握不等式通过等价变形形成解集的过程，利用等价变形思路考查变形方式与方法
(2)掌握不等式的数形结合应用，利用方程、图像与不等式关联性灵活处理
(3)关注：解集的区间边界取值具有特殊性
二、不等式的恒成立问题
1.不等式的恒成立涉及最值问题灵活多变，根据想法不同诉诸于解题过程也会繁简不同，
(1)优先观察端点值是否会是最值情况，注意端点值的应用限制较多但想清楚应用却是最快，如二次不等式开口向上时，在闭区间上恒小于零时其最大值为端点处值，但开口向下时则不成立
(2)有时也会观察图像的动态问题，常见图定区间动或图动区间定，特殊的是二次函数的轴动定区间法
(3)有时也会利用等价变形进行分离参数，实现常值函数的横线平移法，注意分离法有时不完全分离可以观察不等号两边的两个函数图像上下关系
2.恒成立的一些常见高频词“任意”“存在”要能够准确解读并转化
(1)分段函数的应用常需进行两段数据关联分析
(2)复合函数的应用常需换元进行等价变形
三、分式函数处理
1.形如类型的分式处理，可进行分母换元，化简后常需结合双曲、双勾函数的图像
(1)同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.形如类型的分式处理，可进行分离常数，化简后轮化为反比例函数的图像应用亦可利用斜率的几何意义
3.部分涉及同次式可转化，如
例1．设，，且对一切，不等式恒成立，则的最小值为______
【难度】★★★
答案：．
例2．已知不等式对于，，，恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
例3．是偶函数，且在，上是增函数，如果在，上恒成立，则
实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
例4．（2021?上海模拟）已知不等式，对于，恒成立，则实数的取值范围
是______
【难度】★★★
答案：，，．
例5．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，，不等式
恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：，．
例6．设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：．
例7．已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则______
【难度】★★★★
答案：．
例8．设实数，满足，若对满足条件，，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：
例9．若不等式在内恒成立，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
例10．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，2
．
例11．（2021?黄浦区三模）已知函数为实常数）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★
答案：（1）时非奇非偶，当时奇函数．（2）1．
例12．已知函数，．
（1）在，上恒成立，求的取值范围；
（2）当时，对任意的，，存在，，使得恒成立，求的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1）；（2）．
1．设关于的实系数不等式对任意，恒成立，则______
【难度】★★★
答案：9．
2．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：
3．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：，
4．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【难度】★★★
答案：或．
5．若不等式对任意自然数恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
6．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
7．已知，．
若同时满足条件：
①任意满足或；
②存在满足，则的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：．
8．若关于的不等式的解集是，则的取值的集合是______
【难度】★★★
答案：．
9．已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．
B．，
C．，
D．，
【难度】★★★
答案：．
1．（2019?奉贤区二模）已知函数为定义在上的奇函数，且在，单调递减，当时，恒有成立，则的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：．
2．（2018?黄浦区二模）已知函数对任意恒有成立，则代数式
的最小值是______
【难度】★★★★
答案：3．
3．若二次函数对一切恒有成立，且（5），则______
【难度】★★★★
答案：153；
4．（2021?杨浦区校级三模）已知与皆是定义域、值域均为的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题：“对任意，恒成立”，命题：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是　　
A．命题真，命题真
B．命题真，命题假
C．命题假，命题真
D．命题假，命题假
【难度】★★★★
答案：．
1．已知不等式在上恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，改，
2．设，，若对任意，都有，则______
【难度】★★★
答案：1．
3．若对任意的，，不等式恒成立，则的最小值为______，的最大值为______
【难度】★★★★
答案：，
4．已知函数，若关于的小等式的解集，，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
5．若不等式的解集为，则实数的值为______
【难度】★★★
答案：36
6．若不等式对任意恒成立，则的值为______
【难度】★★★
答案：1．
7．已知不等式对取一切负数恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★
答案：
8．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
9．对于的，不等式恒成立，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：或．
10．函数在，上恒有意义，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：
11．如果函数，，关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：．
12．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：
13．设关于的实系数不等式对任意，恒成立，则______
【难度】★★★
答案：9．
14．设，若时，均有，则______
【难度】★★★
答案：
15．设，若时，均有，则______
【难度】★★★
答案：．
16．不等式，对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．或
D．或
【难度】★★★
答案：．
17．（2018?徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）若，且在，上存在零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，存在，使，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得当，时，恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★
答案：（1），，；（2）；（3），，的最大值为10．

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