资源简介

基本不等式
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、和积定值法
1.两个变量的和与积的最值分析
(1)明确前提“一正、二定、三相等”，其中“正”为前提也是数据的敏感度，“定”为目的也是处理方向，“取等”为细节也是逻辑的严谨
(2)明确和与积的转化方向，和转化为积用“”，积转化为和用“”
(3)灵活处理两个变量的变形，根据所求的两个变量的和或积通过变形转化条件的定值
(4)部分一个变量的最值问题可根据其所求，将该变量的两个部分通过凑的方式转化出其和或积具备定值
2.关注和积的延伸考点：由调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数组成的不等式链的转化
二、分式处理
1.大多数分式的处理常需要进行分离常数法形成耐克函数形式
(1)形如类型的处理常可设分母一次式为进行化简整理，同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.少部分分式会出现两个变量的齐次式形式要注意转换应用
三、“1”的代换与倒数和
1.
两个变量的和与其各自倒数的和的关联应用，巧用“1”来代换
(1)两个变量呈现“”与“”类型转变为
(2)
两个变量呈现“”与“”
类型转变为
(3)
一个变量呈现“”
类型转变为
例1．（2021?松江区二模）已知实数、满足，有结论：
①存在，，使得取到最大值；
②存在，，使得取到最小值；
正确的判断是　　
A．①成立，②成立
B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立
D．①不成立，②成立
【难度】★★★
例2．（2020秋?杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为　　
A．
B．2
C．4
D．
【难度】★★★★
例3．（2013?东莞一模）已知函数的反函数为，若（a）（b），则的最小值为　　
A．1
B．
C．
D．
【难度】★★★
例4．（2019秋?黄浦区校级月考）若对任意实数，，则最小值是_______
【难度】★★★
例5．（2021?浦东新区二模）已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
例6．（2020秋?浦东新区校级期末）当，时，则的取值范围是_______
【难度】★★★
例7．（2021?黄浦区校级三模）已知非负实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★
例8．（2020秋?浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？
（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？
【难度】★★★
1．（2020秋?宝山区校级期末）设，，为正实数，则的最小值为_______
【难度】★★★
2．（2020秋?南开区期末）已知正数，满足，则的最小值为_______
【难度】★★★
3．（2020秋?宝山区校级月考）已知实数、、满足，，则的最小值为_______
【难度】★★★★
4．（2020?上海模拟）已知，则的最小值是_______
【难度】★★★
5．（2020秋?徐汇区校级期中）已知实数，满足且，若，则的最小值是_______
【难度】★★★★
6．（2020?浦东新区校级模拟）若直线始终平分曲线的周长，则的最小值为_______
【难度】★★★
1．使得对所有正实数，都成立的实数的最小值为　　
A．8
B．9
C．10
D．前三个答案都不对
【难度】★★★★
2．（2020秋?浦东新区期末）对于任意的正实数，，则的取值范围为_______
【难度】★★★★
1．（2021?奉贤区校级二模）已知，且．式子的最小值是_______
【难度】★★★
2．（2020秋?徐汇区期末）已知函数（其中、满足：对任意的，，有，则的最小值是_______
【难度】★★★★
3．（2017秋?徐汇区校级期中）不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小
值为_______
【难度】★★★
4．（2021?浦东新区校级三模）若正实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
5．（2021?青浦区三模）若正实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
6．（2021?嘉定区二模）已知正数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★
7．（2021?上海模拟）设，，且，则的最小值为_______
【难度】★★★
8．（2021春?浦东新区校级月考）若，则的最大值是_______
【难度】★★
9．（2021春?上海月考）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
10．（2021春?宝山区校级月考）函数的最小值为_______
【难度】★★
11．（2020秋?浦东新区校级期末）已知、都是正数，且，则的最小值为_______
【难度】★★
12．（2020秋?嘉定区期末）已知，则不等式等号成立时，_______
【难度】★★
13．（2020秋?普陀区期末）设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是_______
【难度】★★★
14．（2020秋?闵行区期末）若，都是正数，且，则的最大值_______
【难度】★★★
15．（2020秋?青浦区期末）下列不等式中，恒成立的是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
16．（2020秋?徐汇区校级期中）若，，，，，下列各式中正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
17．（2020秋?徐汇区校级期中）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．
【难度】★★★基本不等式
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、和积定值法
1.两个变量的和与积的最值分析
(1)明确前提“一正、二定、三相等”，其中“正”为前提也是数据的敏感度，“定”为目的也是处理方向，“取等”为细节也是逻辑的严谨
(2)明确和与积的转化方向，和转化为积用“”，积转化为和用“”
(3)灵活处理两个变量的变形，根据所求的两个变量的和或积通过变形转化条件的定值
(4)部分一个变量的最值问题可根据其所求，将该变量的两个部分通过凑的方式转化出其和或积具备定值
2.关注和积的延伸考点：由调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数组成的不等式链的转化
二、分式处理
1.大多数分式的处理常需要进行分离常数法形成耐克函数形式
(1)形如类型的处理常可设分母一次式为进行化简整理，同类处理可先看倒数
(2)
形如或类型的处理常亦可设分母一次式为进行化简整理
2.少部分分式会出现两个变量的齐次式形式要注意转换应用
三、“1”的代换与倒数和
1.
两个变量的和与其各自倒数的和的关联应用，巧用“1”来代换
(1)两个变量呈现“”与“”类型转变为
(2)
两个变量呈现“”与“”
类型转变为
(3)
一个变量呈现“”
类型转变为
例1．（2021?松江区二模）已知实数、满足，有结论：
①存在，，使得取到最大值；
②存在，，使得取到最小值；
正确的判断是　　
A．①成立，②成立
B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立
D．①不成立，②成立
【难度】★★★
答案：．
例2．（2020秋?杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为　　
A．
B．2
C．4
D．
【难度】★★★★
答案：．
例3．（2013?东莞一模）已知函数的反函数为，若（a）（b），则的最小值为　　
A．1
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例4．（2019秋?黄浦区校级月考）若对任意实数，，则最小值是_______
【难度】★★★
答案：8．
例5．（2021?浦东新区二模）已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：，．
例6．（2020秋?浦东新区校级期末）当，时，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
例7．（2021?黄浦区校级三模）已知非负实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
例8．（2020秋?浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？
（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？
【难度】★★★
答案：（1），45人；（2），第一次159人，第二次13人；
1．（2020秋?宝山区校级期末）设，，为正实数，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2020秋?南开区期末）已知正数，满足，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：4．
3．（2020秋?宝山区校级月考）已知实数、、满足，，则的最小值为_______
【难度】★★★★
答案：．
4．（2020?上海模拟）已知，则的最小值是_______
【难度】★★★
答案：9．
5．（2020秋?徐汇区校级期中）已知实数，满足且，若，则的最小值是_______
【难度】★★★★
答案：．
6．（2020?浦东新区校级模拟）若直线始终平分曲线的周长，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
1．使得对所有正实数，都成立的实数的最小值为　　
A．8
B．9
C．10
D．前三个答案都不对
【难度】★★★★
答案：．
2．（2020秋?浦东新区期末）对于任意的正实数，，则的取值范围为_______
【难度】★★★★
答案：．
1．（2021?奉贤区校级二模）已知，且．式子的最小值是_______
【难度】★★★
答案：2．
2．（2020秋?徐汇区期末）已知函数（其中、满足：对任意的，，有，则的最小值是_______
【难度】★★★★
答案：．
3．（2017秋?徐汇区校级期中）不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小
值为_______
【难度】★★★
答案：16．
4．（2021?浦东新区校级三模）若正实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
答案：7
5．（2021?青浦区三模）若正实数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
答案：15．
6．（2021?嘉定区二模）已知正数、满足，则的最小值为_______
【难度】★★
答案：9．
7．（2021?上海模拟）设，，且，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
8．（2021春?浦东新区校级月考）若，则的最大值是_______
【难度】★★
答案：．
9．（2021春?上海月考）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：．
10．（2021春?宝山区校级月考）函数的最小值为_______
【难度】★★
答案：8．
11．（2020秋?浦东新区校级期末）已知、都是正数，且，则的最小值为_______
【难度】★★
答案：5．
12．（2020秋?嘉定区期末）已知，则不等式等号成立时，_______
【难度】★★
答案：．
13．（2020秋?普陀区期末）设、均为实数，若函数在区间，上有零点，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
14．（2020秋?闵行区期末）若，都是正数，且，则的最大值_______
【难度】★★★
答案：．
15．（2020秋?青浦区期末）下列不等式中，恒成立的是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
16．（2020秋?徐汇区校级期中）若，，，，，下列各式中正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
17．（2020秋?徐汇区校级期中）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．
【难度】★★★
答案：（1）可达8天（2）最小值为1

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