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函数性质1
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、函数性质的图像特征
1.函数性质作为通性通法研究函数，与函数的图像息息相关，需要灵活结合图像解决函数性质问题
2.结合曲线方程的动点轨迹法研究部分性质
(1)函数的奇偶性、对称性图像可利用曲线的对称性来配合应用，特别是求解析式时利用间接动点轨迹法来求解特别好用
3.结合图像的横纵坐标关联来观察研究函数的性质，特别是应用抽像函数的关系式时有很大优势
(1)奇偶性体现的是横坐标取（轴上关于原点对称）时与具有关系式：亦可写成（值相等为偶函数）或：亦可写成（值相反为奇函数），图像特征是关于轴对称或原点对称
(2)轴对称性体现的是关于对称的两个点取横坐标时对应函数值关系，注意关系式多样化，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：（值相等为轴对称函数），如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
(3)单调性体现的是函数图像的上升或下降趋势，取横坐标为与时则观察函数值与的大小关系观察，注意关系式多样化如，，
(4)周期性体现在图像的循环上，以固定区间长度取横坐标时函数值相等
(5)还有一些抽象函数的关系式考查对应法则的应用可以利用图像的点的关系轻松突破，如
体现单位长度时函数值的倍关系
二、函数性质的关系式特征
1.奇偶性关系式的研究应从三个方面观察：定义域、关系式中取值的任意性及取值的特殊性
(1)定义域关于原点对称不一定含原点，特别是边界取值应关注，常考虑区间边界含参或左开右闭类型
(2)关系式属于对任意取值恒成立，在处理解析式含参时可灵活取特殊值求得参数，需要注意的是三角函数的奇偶性含参数时大部分可利用对称轴方程对称中心来求解，但少部分还是要用到取值
2.单调性的关系式研究主要配合图像，通过关系式理解读懂后结合到图像上来观察
(1)利用单调性，配合奇偶性、对称性进行图像应用解不等式是主要方法，特别注意复合函数利用单调性赋值求解析式是特殊用法要单独掌握其模式
3.对称性的关系式研究主要围绕同一个函数对称或两个函数对称关系
4.周期性的关系式研究注意最小正周期与周期关系以及关系式的赋值迭代
例1．（2021春?宝山区校级期中）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，，计算（1）（2）（3）_______
【难度】★★★
答案：1．
例2．（2021?杨浦区二模）已知函数为奇函数，若，则（1）_______
【难度】★★★
答案：．
例3．（2021?杨浦区校级三模）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不
等式的解集为_______
【难度】★★★
答案：．
例4．（2019?上海二模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，
，若对于属于，都有，则实数的取值范围为_______
答案：，．
例5．（2021?河东区二模）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
例6．（2021?黄浦区二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若
（1），则_______
【难度】★★★
答案：．
例7．（2019?杨浦区二模）若定义域为，，的函数是奇函数，则实数的值为_______
【难度】★★★
答案：
例8．（2018?杨浦区校级三模）已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案
例9．（2020秋?虹口区期末）设是正常数，函数满足（1）．
（1）求的值，并判断函数的奇偶性；
（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
答案：（1）奇函数；（2）．
1．（2021春?杨浦区校级期中）已知奇函数的一个周期为2，当时，，则_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2021?长宁区二模）定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：，．
3．（2020?闵行区二模）已知是定义在上的偶函数，当，，，且，总有，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
答案：．
4．（2019?闵行区校级模拟）若函数是偶函数，则_______
【难度】★★★
答案：1025．
5．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为_______
【难度】★★★★
答案：，，．
6．（2021?上海模拟）设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是　　
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
【难度】★★★★
答案：．
7．（2020?宝山区二模）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，则函数　　
A．是偶函数，且在上单调递减
B．是偶函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且单调递减
D．是奇函数，且单调递增
【难度】★★★★
答案：．
8．（2021?上海模拟）已知定义在上的函数．
（1）若是奇函数，求函数的零点；
（2）是否存在实数，使在上调递减且在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
答案：（1）．（2），
1．（2019?奉贤区二模）已知函数为定义在上的奇函数，且在，单调递减，当时，恒有成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：．
2．（2021春?宝山区校级期中）已知定义域是全体实数的函数满足，且
，，现定义函数，为：
，其中，
那么下列关于，叙述正确的是　　
A．都是偶函数且周期为
B．都是奇函数且周期为
C．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D．都不是周期函数
【难度】★★★★
答案：．
1．（2021春?黄浦区校级月考）定义在上的函数、，其中是奇函数满足且，则（1）_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2020秋?杨浦区期末）若是定义在上的奇函数，当时，，则（6）_______
【难度】★★
答案：．
3．（2020?徐汇区二模）若是奇函数，则实数的值为_______
【难度】★★
答案：2．
4．（2020?上海模拟）设函数在内有定义，下列函数：①；②；③；④；其中必为奇函数的是_______
【难度】★★★
答案：①③．
5．（2020?长宁区二模）已知，，，，，1，2，．若函数在上递减且为偶函数，则_______
【难度】★★
答案：
6．（2019?闵行区校级模拟）若函数，为非奇非偶函数，则有　　
A．对于任意的，都有且
B．存在，使且
C．存在，，使且
D．对于任意的，都有或
【难度】★★★★
答案：．
7．（2018?青浦区二模）已知函数是上的偶函数，对于任意都有（3）成立，当，，，且时，都有．给出以下三个命题：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②函数在区间，上为增函数；
③函数在区间，上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【难度】★★★★
答案：．
8．（2021?黄浦区三模）已知函数为实常数）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★
答案：（1）当时，非奇非偶，当时，奇（2）1．
9．（2020?长宁区三模）已知函数，其中．
（1）讨论的奇偶性；
（2）当为偶函数时，求使恒成立的的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）偶非奇非偶（2）．函数性质1
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、函数性质的图像特征
1.函数性质作为通性通法研究函数，与函数的图像息息相关，需要灵活结合图像解决函数性质问题
2.结合曲线方程的动点轨迹法研究部分性质
(1)函数的奇偶性、对称性图像可利用曲线的对称性来配合应用，特别是求解析式时利用间接动点轨迹法来求解特别好用
3.结合图像的横纵坐标关联来观察研究函数的性质，特别是应用抽像函数的关系式时有很大优势
(1)奇偶性体现的是横坐标取（轴上关于原点对称）时与具有关系式：亦可写成（值相等为偶函数）或：亦可写成（值相反为奇函数），图像特征是关于轴对称或原点对称
(2)轴对称性体现的是关于对称的两个点取横坐标时对应函数值关系，注意关系式多样化，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：（值相等为轴对称函数），如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
(3)单调性体现的是函数图像的上升或下降趋势，取横坐标为与时则观察函数值与的大小关系观察，注意关系式多样化如，，
(4)周期性体现在图像的循环上，以固定区间长度取横坐标时函数值相等
(5)还有一些抽象函数的关系式考查对应法则的应用可以利用图像的点的关系轻松突破，如
体现单位长度时函数值的倍关系
二、函数性质的关系式特征
1.奇偶性关系式的研究应从三个方面观察：定义域、关系式中取值的任意性及取值的特殊性
(1)定义域关于原点对称不一定含原点，特别是边界取值应关注，常考虑区间边界含参或左开右闭类型
(2)关系式属于对任意取值恒成立，在处理解析式含参时可灵活取特殊值求得参数，需要注意的是三角函数的奇偶性含参数时大部分可利用对称轴方程对称中心来求解，但少部分还是要用到取值
2.单调性的关系式研究主要配合图像，通过关系式理解读懂后结合到图像上来观察
(1)利用单调性，配合奇偶性、对称性进行图像应用解不等式是主要方法，特别注意复合函数利用单调性赋值求解析式是特殊用法要单独掌握其模式
3.对称性的关系式研究主要围绕同一个函数对称或两个函数对称关系
4.周期性的关系式研究注意最小正周期与周期关系以及关系式的赋值迭代
例1．（2021春?宝山区校级期中）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，，计算（1）（2）（3）_______
【难度】★★★
例2．（2021?杨浦区二模）已知函数为奇函数，若，则（1）_______
【难度】★★★
例3．（2021?杨浦区校级三模）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不
等式的解集为_______
【难度】★★★
例4．（2019?上海二模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，
，若对于属于，都有，则实数的取值范围为_______
例5．（2021?河东区二模）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例6．（2021?黄浦区二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若
（1），则_______
【难度】★★★
例7．（2019?杨浦区二模）若定义域为，，的函数是奇函数，则实数的值为_______
【难度】★★★
例8．（2018?杨浦区校级三模）已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
例9．（2020秋?虹口区期末）设是正常数，函数满足（1）．
（1）求的值，并判断函数的奇偶性；
（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
1．（2021春?杨浦区校级期中）已知奇函数的一个周期为2，当时，，则_______
【难度】★★★
2．（2021?长宁区二模）定义域为的奇函数在，上单调递减．设，若对于任意，，都有，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
3．（2020?闵行区二模）已知是定义在上的偶函数，当，，，且，总有，则不等式的解集为_______
【难度】★★★
4．（2019?闵行区校级模拟）若函数是偶函数，则_______
【难度】★★★
5．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为_______
【难度】★★★★
6．（2021?上海模拟）设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是　　
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
【难度】★★★★
7．（2020?宝山区二模）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，则函数　　
A．是偶函数，且在上单调递减
B．是偶函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且单调递减
D．是奇函数，且单调递增
【难度】★★★★
8．（2021?上海模拟）已知定义在上的函数．
（1）若是奇函数，求函数的零点；
（2）是否存在实数，使在上调递减且在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
1．（2019?奉贤区二模）已知函数为定义在上的奇函数，且在，单调递减，当时，恒有成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
2．（2021春?宝山区校级期中）已知定义域是全体实数的函数满足，且
，，现定义函数，为：
，其中，
那么下列关于，叙述正确的是　　
A．都是偶函数且周期为
B．都是奇函数且周期为
C．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D．都不是周期函数
【难度】★★★★
1．（2021春?黄浦区校级月考）定义在上的函数、，其中是奇函数满足且，则（1）_______
【难度】★★★
2．（2020秋?杨浦区期末）若是定义在上的奇函数，当时，，则（6）_______
【难度】★★
3．（2020?徐汇区二模）若是奇函数，则实数的值为_______
【难度】★★
4．（2020?上海模拟）设函数在内有定义，下列函数：①；②；③；④；其中必为奇函数的是_______
【难度】★★★
5．（2020?长宁区二模）已知，，，，，1，2，．若函数在上递减且为偶函数，则_______
【难度】★★
6．（2019?闵行区校级模拟）若函数，为非奇非偶函数，则有　　
A．对于任意的，都有且
B．存在，使且
C．存在，，使且
D．对于任意的，都有或
【难度】★★★★
7．（2018?青浦区二模）已知函数是上的偶函数，对于任意都有（3）成立，当，，，且时，都有．给出以下三个命题：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②函数在区间，上为增函数；
③函数在区间，上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【难度】★★★★
8．（2021?黄浦区三模）已知函数为实常数）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★
9．（2020?长宁区三模）已知函数，其中．
（1）讨论的奇偶性；
（2）当为偶函数时，求使恒成立的的取值范围．
【难度】★★★

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