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函数性质2
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、函数性质的图像特征
1.函数性质作为通性通法研究函数，与函数的图像息息相关，需要灵活结合图像解决函数性质问题
2.结合曲线方程的动点轨迹法研究部分性质
(1)函数的奇偶性、对称性图像可利用曲线的对称性来配合应用，特别是求解析式时利用间接动点轨迹法来求解特别好用
3.结合图像的横纵坐标关联来观察研究函数的性质，特别是应用抽像函数的关系式时有很大优势
(1)奇偶性体现的是横坐标取（轴上关于原点对称）时与具有关系式：亦可写成（值相等为偶函数）或：亦可写成（值相反为奇函数），图像特征是关于轴对称或原点对称
(2)轴对称性体现的是关于对称的两个点取横坐标时对应函数值关系，注意关系式多样化，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：（值相等为轴对称函数），如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
(3)单调性体现的是函数图像的上升或下降趋势，取横坐标为与时则观察函数值与的大小关系观察，注意关系式多样化如，，
(4)周期性体现在图像的循环上，以固定区间长度取横坐标时函数值相等
(5)还有一些抽象函数的关系式考查对应法则的应用可以利用图像的点的关系轻松突破，如
体现单位长度时函数值的倍关系
二、函数性质的关系式特征
1.奇偶性关系式的研究应从三个方面观察：定义域、关系式中取值的任意性及取值的特殊性
(1)定义域关于原点对称不一定含原点，特别是边界取值应关注，常考虑区间边界含参或左开右闭类型
(2)关系式属于对任意取值恒成立，在处理解析式含参时可灵活取特殊值求得参数，需要注意的是三角函数的奇偶性含参数时大部分可利用对称轴方程对称中心来求解，但少部分还是要用到取值
2.单调性的关系式研究主要配合图像，通过关系式理解读懂后结合到图像上来观察
(1)利用单调性，配合奇偶性、对称性进行图像应用解不等式是主要方法，特别注意复合函数利用单调性赋值求解析式是特殊用法要单独掌握其模式
3.对称性的关系式研究主要围绕同一个函数对称或两个函数对称关系
4.周期性的关系式研究注意最小正周期与周期关系以及关系式的赋值迭代
例1．（2018?徐汇区二模）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图象的一个对称中心是_______
【难度】★★★★
答案：．
例2．（2021?上海模拟）设定义域为的递增函数满足：对任意的，均有，且，则_______
【难度】★★★
答案：
例3．（2021?青浦区二模）已知函数y＝f（x）的定义域为R，给出下列两个结论：
①若函数y＝f（x）的图象是轴对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是轴对称图形；
②若函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是中心对称图形；
它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②不成立
B．①不成立，②成立
C．①②均不成立
D．①②均成立
【难度】★★★
答案：C．
例4．（2018?青浦区二模）已知函数是上的偶函数，对于任意都有（3）成立，当，，，且时，都有．给出以下三个命题：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②函数在区间，上为增函数；
③函数在区间，上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【难度】★★★
答案：．
例5．（2019?浦东新区三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是　　
A．，
B．，
C．，，
D．，
【难度】★★★★
答案：．
例6．（2019?黄浦区校级模拟）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为．
（1）已知函数是，上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是，上级类周期函数，且是，上的单调递增函数，当，时，，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．（3）时，；时，．
例7．（2018?闵行区校级一模）已知函数，若点，在的图象上运动，则点，在的图象上运动．
（1）求的最小值，及相应的值；
（2）求函数的解析式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性；
（3）在函数和的图象上是否分别存在点、关于直线对称，若存在，求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
答案：（1）最小值为2，对应的为0，（2）增函数，（3）存在，，
1．（2019?闵行区校级模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2021?浦东新区二模）已知函数，若对任意的，都存在，使成立，称是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是　　
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★
答案：．
3．（2020?金山区二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当，时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
4．（2019?杨浦区校级模拟）若对任意，都有，那么在上　　
A．一定单调递增
B．一定没有单调减区间
C．可能没有单调增区间
D．一定没有单调增区间
【难度】★★★
答案：．
5．（2018?浦东新区二模）设、是上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是　　
A．
B．
C．，
D．
【难度】★★★
答案：．
6．（2018?杨浦区二模）记函数的定义域为，如果存在实数，使得对任意满足且的恒成立，则称为函数．
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明是函数；
【难度】★★★
答案：（1）存在，是函数．
（2）恒成立，，．
7．（2018?浦东新区二模）已知函数定义域为，对于任意恒有．
（1）若（1），求的值；
（2）若，时，，求函数，，的解析式及值域；
（3）若，时，，求在区间，，上的最大值与最小值．
【难度】★★★★
答案：（1）（2）值域为，，，．（3）综上：时，在，上最大值为0，最小值为
，为偶数时，在，上最大值为，最小值为
，为奇数时，在，上最小值为，最大值为．
1．（2019?宝山区校级一模）已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有　　
A．7对
B．8对
C．9对
D．以上都不对
【难度】★★★★
答案：．
2．（2020?普陀区二模）定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点，与点，都关于点，对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是　　
A．，，
B．，
C．，，
D．，
【难度】★★★★
答案：．
1．（2021?上海模拟）已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则_______
【难度】★★
答案：
2．（2020?宝山区校级二模）已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数，的反函数是_______
【难度】★★★
答案：，，．
3．（2017?静安区二模）设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则_______
【难度】★★★
答案：．
4．（2020?松江区模拟）已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
5．（2021?奉贤区校级二模）已知函数的反函数图象的对称中心是，则实数的值是　　
A．2
B．3
C．
D．
【难度】★★
答案：．
6．（2021?普陀区二模）设函数的反函数为．
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，试求的值．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）．
7．（2018?普陀区二模）定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立．
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，，求函数在闭区间，上的值域；
（3）设函数的值域为，，证明：函数为周期函数．
【难度】★★★★
答案：（1），；（2），；（3）证明略函数性质2
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一、函数性质的图像特征
1.函数性质作为通性通法研究函数，与函数的图像息息相关，需要灵活结合图像解决函数性质问题
2.结合曲线方程的动点轨迹法研究部分性质
(1)函数的奇偶性、对称性图像可利用曲线的对称性来配合应用，特别是求解析式时利用间接动点轨迹法来求解特别好用
3.结合图像的横纵坐标关联来观察研究函数的性质，特别是应用抽像函数的关系式时有很大优势
(1)奇偶性体现的是横坐标取（轴上关于原点对称）时与具有关系式：亦可写成（值相等为偶函数）或：亦可写成（值相反为奇函数），图像特征是关于轴对称或原点对称
(2)轴对称性体现的是关于对称的两个点取横坐标时对应函数值关系，注意关系式多样化，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：（值相等为轴对称函数），如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
，如取横坐标为与时则观察函数值与关系式：
(3)单调性体现的是函数图像的上升或下降趋势，取横坐标为与时则观察函数值与的大小关系观察，注意关系式多样化如，，
(4)周期性体现在图像的循环上，以固定区间长度取横坐标时函数值相等
(5)还有一些抽象函数的关系式考查对应法则的应用可以利用图像的点的关系轻松突破，如
体现单位长度时函数值的倍关系
二、函数性质的关系式特征
1.奇偶性关系式的研究应从三个方面观察：定义域、关系式中取值的任意性及取值的特殊性
(1)定义域关于原点对称不一定含原点，特别是边界取值应关注，常考虑区间边界含参或左开右闭类型
(2)关系式属于对任意取值恒成立，在处理解析式含参时可灵活取特殊值求得参数，需要注意的是三角函数的奇偶性含参数时大部分可利用对称轴方程对称中心来求解，但少部分还是要用到取值
2.单调性的关系式研究主要配合图像，通过关系式理解读懂后结合到图像上来观察
(1)利用单调性，配合奇偶性、对称性进行图像应用解不等式是主要方法，特别注意复合函数利用单调性赋值求解析式是特殊用法要单独掌握其模式
3.对称性的关系式研究主要围绕同一个函数对称或两个函数对称关系
4.周期性的关系式研究注意最小正周期与周期关系以及关系式的赋值迭代
例1．（2018?徐汇区二模）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图象的一个对称中心是_______
【难度】★★★★
例2．（2021?上海模拟）设定义域为的递增函数满足：对任意的，均有，且，则_______
【难度】★★★
例3．（2021?青浦区二模）已知函数y＝f（x）的定义域为R，给出下列两个结论：
①若函数y＝f（x）的图象是轴对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是轴对称图形；
②若函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是中心对称图形；
它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②不成立
B．①不成立，②成立
C．①②均不成立
D．①②均成立
【难度】★★★
例4．（2018?青浦区二模）已知函数是上的偶函数，对于任意都有（3）
成立，当，，，且时，都有．给出以下三个命题：
①直线是函数图象的一条对称轴；
②函数在区间，上为增函数；
③函数在区间，上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【难度】★★★
例5．（2019?浦东新区三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是　　
A．，
B．，
C．，，
D．，
【难度】★★★★
例6．（2019?黄浦区校级模拟）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给
定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周
期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为．
（1）已知函数是，上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是，上级类周期函数，且是，上的单调递增函数，当，时，，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【难度】★★★★
例7．（2018?闵行区校级一模）已知函数，若点，在的图象上，则点，在的图象上．
（1）求的最小值，及相应的值；
（2）求函数的解析式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性；
（3）在函数和的图象上是否分别存在点、关于直线对称，若存在，求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
1．（2019?闵行区校级模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则_______
【难度】★★★
2．（2021?浦东新区二模）已知函数，若对任意的，都存在，使成立，称是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是　　
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★
3．（2020?金山区二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当，时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
4．（2019?杨浦区校级模拟）若对任意，都有，那么在上　　
A．一定单调递增
B．一定没有单调减区间
C．可能没有单调增区间
D．一定没有单调增区间
【难度】★★★
5．（2018?浦东新区二模）设、是上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足
（1）；（2）对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合构
成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是　　
A．
B．
C．，
D．
【难度】★★★
6．（2018?杨浦区二模）记函数的定义域为，如果存在实数，使得对任意满足且的恒成立，则称为函数．
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明是函数；
【难度】★★★
7．（2018?浦东新区二模）已知函数定义域为，对于任意恒有．
（1）若（1），求的值；
（2）若，时，，求函数，，的解析式及值域；
（3）若，时，，求在区间，，上的最大值与最小值．
【难度】★★★★
1．（2019?宝山区校级一模）已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有　　
A．7对
B．8对
C．9对
D．以上都不对
【难度】★★★★
2．（2020?普陀区二模）定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点，与点，都关于点，对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是　　
A．，，
B．，
C．，，
D．，
【难度】★★★★
1．（2021?上海模拟）已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则_______
【难度】★★
2．（2020?宝山区校级二模）已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数，的反函数是_______
【难度】★★★
3．（2017?静安区二模）设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则_______
【难度】★★★
4．（2020?松江区模拟）已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
5．（2021?奉贤区校级二模）已知函数的反函数图象的对称中心是，则实数的值是　　
A．2
B．3
C．
D．
【难度】★★
6．（2021?普陀区二模）设函数的反函数为．
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，试求的值．
【难度】★★★
7．（2018?普陀区二模）定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立．
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，，求函数在闭区间，上的值域；
（3）设函数的值域为，，证明：函数为周期函数．
【难度】★★★★

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