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函数的最值与值域
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、常见值域求法
1.理解函数的值域求法常规处理核心在于二元方程的变量处理思路，能够灵活的处理掉自变量从而产生的相关结论
(1)利用图像法来观察自变量到函数值的转变
(2)利用换元法来进行自变量关联换元
(3)利用自变量关联具有范围特质进行有界处理
2.函数值域的少见处理方法
(1)方程思想，处理关于自变量的方程解的分布情况，如判别式法
(2)解析几何的参数方程思想，关于自变量两部分可以视作动点的横纵坐标参数方程，实现解析法求解
(3)函数性质分析，奇偶性、单调性、对称性及周期性属函数通性，可配合图像特质解决某些问题
二、复合与分段函数
1.分段函数的值域问题要关注两段或多段函数的值域联动，关联并集的元素分析一样要求不停比对数据
(1)分段函数的值域为各段值域的并集
(2)借助各段函数的图像处理参数的动态问题
2.复合函数的值域问题要关注换元的等价性，换元时不注重等价会造成后期一系列问题的错误
三、函数值域的逆向处理
1.含参时给定值域情况下求参问题，需要考虑清楚值域的产生原因，从而由果索因达到解决
(1)二次函数含参数的最值分析
(2)定义域与值域的配对问题，或顺向分析定义域下的最值进行配对或逆向结合图形倒推定义域情况
(3)分段函数的值域分析结合两段图像及参数的动态观察
例1．（2019?青浦区二模）函数的最大值为_______
【难度】★★★
例2．（2016?长宁区二模）对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为_______
【难度】★★★★
例3．（2015?徐汇区二模）设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若函数
的值域为，，则函数的值域为_______
【难度】★★★
例4．（2017?徐汇区二模）设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函
数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为，
的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，
是
的一个“保值域函数”，则_______
【难度】★★★
例5．（2021?青浦区二模）已知函数，若对任意的，，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★★
例6．（2021?金山区二模）已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
例7．（2013?嘉定区二模）已知函数，，构造函数定义如下：当时，，当时，，那么　　
A．有最小值0，无最大值
B．有最小值，无最大值
C．有最大值1，无最小值
D．无最小值，也无最大值
【难度】★★★
例8．（2013?长沙模拟）已知，．若对任意，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A．，
B．
C．
D．，
【难度】★★★
例9．（2021?宝山区二模）将关于的函数的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为，并设所对应的函数为．
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设（4），若函数对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【难度】★★★★
1．（2021?浦东新区校级三模）已知实数，函数，，若对任意，，总存在，，使得，则的最大值为_______
【难度】★★★
2．（2018?宝山区二模）奇函数定义域为，当时，（这里为正常数），若
对一切成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★
3．（2011?浦东新区校级模拟）已知，，．若对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
4．（2020?松江区模拟）已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
5．（2021?宝山区校级模拟）已知函数，．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）给定，如果对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
1．（2018?黄浦区二模）已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是_______
【难度】★★★★
2．（2020?浦东新区校级模拟）对定义在，上的函数，如果同时满足以下三个条件：
①对任意，，总有；
②（1）；
③若，，，有成立．
则称函数为理想函数．
（1）判断是否为理想函数，并说明理由；
（2）若为理想函数，求的最小值和最大值；
（3）若为理想函数，假设存在，满足，求证：．
【难度】★★★★
1．（2021?青浦区二模）已知函数最小值为，则_______
【难度】★★
2．（2020?黄浦区二模）已知函数的定义域和值域都是，，则_______
【难度】★★
3．（2019?闵行区校级三模）函数的值域是，，则函数的值域为_______
【难度】★★
4．（2019?闵行区校级一模）已知定义域在，上的函数的值域为，，则函数的值域是_______
【难度】★★★
5．定义：区间，的长度为．已知函数的定义域为，，值域为，，则区间，长度的最大是_______
【难度】★★★
6．（2021?浦东新区三模）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
7．（2021?嘉定区二模）已知函数，若对任意的，，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
8．若函数且的值域为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
9．（2018?闵行区二模）若函数且没有最小值，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
10．（2020?长宁区三模）下列函数中，值域是，的函数是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
11．（2018?徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）若，且在，上存在零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，存在，使，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得当，时，恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★函数的最值与值域
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、常见值域求法
1.理解函数的值域求法常规处理核心在于二元方程的变量处理思路，能够灵活的处理掉自变量从而产生的相关结论
(1)利用图像法来观察自变量到函数值的转变
(2)利用换元法来进行自变量关联换元
(3)利用自变量关联具有范围特质进行有界处理
2.函数值域的少见处理方法
(1)方程思想，处理关于自变量的方程解的分布情况，如判别式法
(2)解析几何的参数方程思想，关于自变量两部分可以视作动点的横纵坐标参数方程，实现解析法求解
(3)函数性质分析，奇偶性、单调性、对称性及周期性属函数通性，可配合图像特质解决某些问题
二、复合与分段函数
1.分段函数的值域问题要关注两段或多段函数的值域联动，关联并集的元素分析一样要求不停比对数据
(1)分段函数的值域为各段值域的并集
(2)借助各段函数的图像处理参数的动态问题
2.复合函数的值域问题要关注换元的等价性，换元时不注重等价会造成后期一系列问题的错误
三、函数值域的逆向处理
1.含参时给定值域情况下求参问题，需要考虑清楚值域的产生原因，从而由果索因达到解决
(1)二次函数含参数的最值分析
(2)定义域与值域的配对问题，或顺向分析定义域下的最值进行配对或逆向结合图形倒推定义域情况
(3)分段函数的值域分析结合两段图像及参数的动态观察
例1．（2019?青浦区二模）函数的最大值为_______
【难度】★★★
答案：．
例2．（2016?长宁区二模）对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为_______
【难度】★★★★
答案：．
例3．（2015?徐汇区二模）设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若函数的值域为，，则函数的值域为_______
【难度】★★★
答案：，
例4．（2017?徐汇区二模）设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函
数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为，
的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，
是
的一个“保值域函数”，则_______
【难度】★★★
答案1．
例5．（2021?青浦区二模）已知函数，若对任意的，，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★★
答案：，．
例6．（2021?金山区二模）已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
例7．（2013?嘉定区二模）已知函数，，构造函数定义如下：当时，，当时，，那么　　
A．有最小值0，无最大值
B．有最小值，无最大值
C．有最大值1，无最小值
D．无最小值，也无最大值
【难度】★★★
答案：．
例8．（2013?长沙模拟）已知，．若对任意，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A．，
B．
C．
D．，
【难度】★★★
答案：．
例9．（2021?宝山区二模）将关于的函数的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为，并设所对应的函数为．
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设（4），若函数对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1），和，．（2），．
1．（2021?浦东新区校级三模）已知实数，函数，，若对任意，，总存在，，使得，则的最大值为_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2018?宝山区二模）奇函数定义域为，当时，（这里为正常数），若
对一切成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：
3．（2011?浦东新区校级模拟）已知，，．若对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：或．
4．（2020?松江区模拟）已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
5．（2021?宝山区校级模拟）已知函数，．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）给定，如果对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1），．（2）．
1．（2018?黄浦区二模）已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是_______
【难度】★★★★
答案：3．
2．（2020?浦东新区校级模拟）对定义在，上的函数，如果同时满足以下三个条件：
①对任意，，总有；
②（1）；
③若，，，有成立．
则称函数为理想函数．
（1）判断是否为理想函数，并说明理由；
（2）若为理想函数，求的最小值和最大值；
（3）若为理想函数，假设存在，满足，求证：．
【难度】★★★★
答案：（1）是，（2）时最小值，时最大值（1）．（3）略
1．（2021?青浦区二模）已知函数最小值为，则_______
【难度】★★
答案：
2．（2020?黄浦区二模）已知函数的定义域和值域都是，，则_______
【难度】★★
答案：
3．（2019?闵行区校级三模）函数的值域是，，则函数的值域为_______
【难度】★★
答案：，．
4．（2019?闵行区校级一模）已知定义域在，上的函数的值域为，，则函数的值域是_______
【难度】★★★
答案：，．
5．（2009?虹口区二模）定义：区间，的长度为．已知函数的定义域为，，值域为，，则区间，长度的最大是_______
【难度】★★★
答案：
6．（2021?浦东新区三模）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
7．（2021?嘉定区二模）已知函数，若对任意的，，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
8．（2016?普陀区三模）若函数且的值域为，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
9．（2018?闵行区二模）若函数且没有最小值，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
10．（2020?长宁区三模）下列函数中，值域是，的函数是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
11．（2018?徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）若，且在，上存在零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，存在，使，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得当，时，恒成立，求实数的最大值．
【难度】★★★★
答案：（1），，；（2）；（3），，的最大值为10．

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