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方程与不等式
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、解方程与不等式
1.方程与不等式的处理可以从两个大类分析，即数与形两大角度，从数的角度分析围绕着等价变形作文章，需关注变形是否等价，难点是变形的方向难以找到或找不到；从形的角度分析围绕着图像的交点与上下关系作文章，需关注图像的一些临界状态变化及特殊分析，难点是图像的处理
2.方程与不等式的等价变形
(1)不等式的两边乘除、乘方应注意不等号变向问题，特别是含参时考虑零的情况
(2)含根号、对数等有范围限制的变形要注意等价性
(3)换元时注意等价性，如进行换元在上有两解时会随手写成
3.方程与不等式的图像观察
(1)方程含参问题涉及根的情况分析（不具体根的进一步应用）都可通过图像的上下转化为交点的规律分析
(2)常见通过变形（通常叫参变分离）来达到，利用常函数的“横线”上下平移来观察交点情况
(3)部分通过适度变形或变形中适时观察，发现两个函数的图像具有明显特质来实现交点情况
(4)关注：对任意，存在，使得或属于值域的包含关系而不是交点问题
(5)恒成立问题或存在性问题都可转化为最值情况通过图像的上下或找最值或找“临界”
(6)常见通过变形（通常叫参变分离）来达到类似，利用常函数的“横线”上下平移来观察
(7)部分通过适度变形或变形中适时观察，发现其中一个函数的图像的动态情况
(8)关注：有时可利用特殊点的函数值大小比较来达到图像的上下定位
二、方程与不等式含参常见高频用法
1.不等式解集问题
(1)注意到图像法与解集的关联易发现解集的区间边界可能涉及对应方程的根（图像交点），但是这里面要注意到一个特殊性（范围限制），如：解集为，则可能边界为根号限制的范围而不是半圆与直线交点，但一定是对应方程的根，其原因就是等价变形时右方为负恒成立不能平方。
2.方程与不等式解的问题，含参涉及等价变形三种用法：讨论、端点观察、分离
(1)引入恒成立、不成立、解集为空、解集为等各类描述，注意一些新颖的描述条件应想清楚怎样转化，如：不等式解集（含参）的最大值为在解读时容易分析出根，但注意求参后应进行验证是否为最大值（利用根求得只能阐述解集，不能阐述最大值，可能是解集区间最小值也符号合）
(2)引入函数性质、分段函数、复合函数等复杂化图像应用
(3)引入新定义、信息等阅读理解
例1．（2018?静安区模拟）设函数，若存在同时满足以下条件：
①对任意的，都有成立；
②，
则的取值范围是_______
【难度】★★★
例2．（2018?杨浦区校级三模）已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例3．（2019?普陀区模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例4．（2020?金山区二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当，时，若函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
例5．（2020?闵行区二模）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
例6．（2021?宝山区校级模拟）已知函数，．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）给定，如果对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
1．（2020?上海模拟）若函数的反函数是，则不等式的解集为______
【难度】★★★
2．（2018?上海模拟）函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是______
【难度】★★★
3．（2021?宝山区二模）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______
【难度】★★★★
4．（2020?闵行区校级模拟）设、的定义域都为，且是周期为4的奇函数，当，时，的周期为2，且，其中．若关于的方程在区间，上有8个不同的实数根，则的取值范围是______
【难度】★★★
5．（2017?奉贤区二模）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
6．（2021?上海模拟）定义在上的函数满足，当，时，，若函数在内恰有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
7．（2019?杨浦区校级模拟）设常数，若函数存在反函数．
（1）求证：，并求出反函数；
（2）若关于的不等式对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
1．（2020?青浦区二模）已知函数，关于的方程有以下结论：
①当时，方程在，内最多有3个不等实根；
②当时，方程在，内有两个不等实根；
③若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为．
④若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为．
其中所有正确结论的序号是　　
A．②④
B．①④
C．①③
D．①②③
【难度】★★★★
2．（2019?浦东新区二模）已知，则对任意非零实数，，，，方程的解集不可能为　　
A．
B．，
C．，2，2018，
D．，9，81，
【难度】★★★★
3．（2018?黄浦区二模）已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若方程的三个实数根、、满足：，且，求实数的值．
【难度】★★★★
1．（2021?浦东新区二模）方程的解集为______
【难度】★★★
2．（2020?青浦区二模）已知函数，则方程的解______
【难度】★★
3．（2018?普陀区二模）若函数的反函数为，则函数的零点为______
【难度】★★
4．（2021?徐汇区校级三模）函数的零点为______
【难度】★★
5．（2020?宝山区校级二模）已知是定义在上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______
【难度】★★★
6．（2020?长宁区二模）已知函数．若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
7．（2018?虹口区二模）是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是______
【难度】★★★★
8．（2021?上海模拟）已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
9．（2020?上海模拟）已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为______
【难度】★★★
10．（2020秋?金山区校级月考）已知函数为偶函数，．
（1）求实数的值；
（2）若，时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；
（3）求函数在，上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值．
【难度】★★★★方程与不等式
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、解方程与不等式
1.方程与不等式的处理可以从两个大类分析，即数与形两大角度，从数的角度分析围绕着等价变形作文章，需关注变形是否等价，难点是变形的方向难以找到或找不到；从形的角度分析围绕着图像的交点与上下关系作文章，需关注图像的一些临界状态变化及特殊分析，难点是图像的处理
2.方程与不等式的等价变形
(1)不等式的两边乘除、乘方应注意不等号变向问题，特别是含参时考虑零的情况
(2)含根号、对数等有范围限制的变形要注意等价性
(3)换元时注意等价性，如进行换元在上有两解时会随手写成
3.方程与不等式的图像观察
(1)方程含参问题涉及根的情况分析（不具体根的进一步应用）都可通过图像的上下转化为交点的规律分析
(2)常见通过变形（通常叫参变分离）来达到，利用常函数的“横线”上下平移来观察交点情况
(3)部分通过适度变形或变形中适时观察，发现两个函数的图像具有明显特质来实现交点情况
(4)关注：对任意，存在，使得或属于值域的包含关系而不是交点问题
(5)恒成立问题或存在性问题都可转化为最值情况通过图像的上下或找最值或找“临界”
(6)常见通过变形（通常叫参变分离）来达到类似，利用常函数的“横线”上下平移来观察
(7)部分通过适度变形或变形中适时观察，发现其中一个函数的图像的动态情况
(8)关注：有时可利用特殊点的函数值大小比较来达到图像的上下定位
二、方程与不等式含参常见高频用法
1.不等式解集问题
(1)注意到图像法与解集的关联易发现解集的区间边界可能涉及对应方程的根（图像交点），但是这里面要注意到一个特殊性（范围限制），如：解集为，则可能边界为根号限制的范围而不是半圆与直线交点，但一定是对应方程的根，其原因就是等价变形时右方为负恒成立不能平方。
2.方程与不等式解的问题，含参涉及等价变形三种用法：讨论、端点观察、分离
(1)引入恒成立、不成立、解集为空、解集为等各类描述，注意一些新颖的描述条件应想清楚怎样转化，如：不等式解集（含参）的最大值为在解读时容易分析出根，但注意求参后应进行验证是否为最大值（利用根求得只能阐述解集，不能阐述最大值，可能是解集区间最小值也符号合）
(2)引入函数性质、分段函数、复合函数等复杂化图像应用
(3)引入新定义、信息等阅读理解
例1．（2018?静安区模拟）设函数，若存在同时满足以下条件：
①对任意的，都有成立；
②，
则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，，．
例2．（2018?杨浦区校级三模）已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：
例3．（2019?普陀区模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，，．
例4．（2020?金山区二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当，时，若函数有三个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例5．（2020?闵行区二模）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例6．（2021?宝山区校级模拟）已知函数，．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）给定，如果对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1），．（2）．
1．（2020?上海模拟）若函数的反函数是，则不等式的解集为______
【难度】★★★
答案：．
2．（2018?上海模拟）函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
3．（2021?宝山区二模）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______
【难度】★★★★
答案：14．
4．（2020?闵行区校级模拟）设、的定义域都为，且是周期为4的奇函数，当，时，的周期为2，且，其中．若关于的方程在区间，上有8个不同的实数根，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
5．（2017?奉贤区二模）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
6．（2021?上海模拟）定义在上的函数满足，当，时，，若函数在内恰有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
7．（2019?杨浦区校级模拟）设常数，若函数存在反函数．
（1）求证：，并求出反函数；
（2）若关于的不等式对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1）；（2）．
1．（2020?青浦区二模）已知函数，关于的方程有以下结论：
①当时，方程在，内最多有3个不等实根；
②当时，方程在，内有两个不等实根；
③若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为．
④若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为．
其中所有正确结论的序号是　　
A．②④
B．①④
C．①③
D．①②③
【难度】★★★★
答案：．
2．（2019?浦东新区二模）已知，则对任意非零实数，，，，方程的解集不可能为　　
A．
B．，
C．，2，2018，
D．，9，81，
【难度】★★★★
答案：．
3．（2018?黄浦区二模）已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若方程的三个实数根、、满足：，且，求实数的值．
【难度】★★★★
答案：（1）（2）存在点
（3）．
1．（2021?浦东新区二模）方程的解集为______
【难度】★★★
答案：．
2．（2020?青浦区二模）已知函数，则方程的解______
【难度】★★
答案：．
3．（2018?普陀区二模）若函数的反函数为，则函数的零点为______
【难度】★★
答案：．
4．（2021?徐汇区校级三模）函数的零点为______
【难度】★★
答案：．
5．（2020?宝山区校级二模）已知是定义在上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______
【难度】★★★
答案：3.5．
6．（2020?长宁区二模）已知函数．若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，，．
7．（2018?虹口区二模）是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是______
【难度】★★★★
答案：或
8．（2021?上海模拟）已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：，．
9．（2020?上海模拟）已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为______
【难度】★★★
答案：，．
10．（2020秋?金山区校级月考）已知函数为偶函数，．
（1）求实数的值；
（2）若，时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；
（3）求函数在，上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．（3）．

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