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解斜三角形
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、斜三角形中的多解问题
1.一个模型的应用：利用给定角构建如图模型，其中三个核心数据至少涉及两个，以作为“钟摆”来摆动观察的变化情况
(1)，钟摆无交点，三角形无解，为直角三角形
(2)
，钟摆一个交点，三角形一解，为直角三角形
(3)
，钟摆两交点，三角形两解，为一个锐角三角形和一个钝角三角形
(4)
，钟摆两交点，三角形一解，为锐角三角形（另一交点不符合角）
2.这个模型的还可利用铅垂法，来观察的变化情况，可按，
，等分析
3.部分题只考查解的情况问题不要求进一步求范围时，亦可
4.一个细节：锐角三角形中任意两角都满足
二、斜三角形中的最值与范围
1.三角形中的范围与最值问题可进行两个方向上的转化，向角度转化解决常常会转化为三角函数求值域或最值来解决，向边长转化解决常常会转化后利用基本不等式解决
2.角度转化常发生在给定一个角或求得一个角，结合条件将所求转化为其他两角的关系式再结合内角和化为一个角的三角函数求得值域或最值
(1)注意角的取值范围，这将影响最后的三角函数定义域，如：锐角三角形三边成连续整数且最大角，求角的取值范围就经常出错
3.边长转化常结合条件将所求转化为三边关系再结合基本不等式求得最值，注意一下通常在求范围问题时转化为边的问题求解不太方便
(1)注意化边时观察是否具有同次式（有的叫齐次式）
(2)注意边的取值范围，有时需要用到三角形的两边之和大于第三边及放缩法
例1．（2021春?虹口区校级期中）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，若，则的取值范围为_______
【难度】★★★★
例2．（2021春?宝山区校级期中）在锐角中，，，的取值范围为_______
【难度】★★★
例3．设三角形的内角，，所对的边长分别是，，，且，若不是钝角三角形，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
例4．（2021?上海模拟）设的三个内角分别为，，．若对于任意形状的，均成立，则实数的最大值为_______
【难度】★★★
例5．在中，．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值；
（3）若，求面积的最大值与周长的范围．
【难度】★★★
例6．（2019春?徐汇区校级期中）某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形为盆栽展示区，沿、修建观赏长廊，四边形是盆栽养护区，若，，米．
（1）求两区域边界的长度；
（2）若区域为锐角三角形，求观赏长廊总长度的取值范围．
【难度】★★★
例7．（2018秋?普陀区期末）在中，三个内角，，所对的边依次为，，，且．
（1）求的值；
（2）设，求的取值范围．
【难度】★★★
例8．（2018?杨浦区校级三模）已知三角形的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）求
的取值范围．
【难度】★★★
1．（2019春?杨浦区校级期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角是，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是_______
【难度】★★★
2．（2018?浦东新区三模）已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_______
【难度】★★★
3．在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
4．设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，，则的取值范围为　　
A．，
B．
C．，
D．
【难度】★★★
5．（2021?上海模拟）已知中，、、的对边分别为，，，且有．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【难度】★★★
6．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的取值范围．
【难度】★★★
1．（2021春?闵行区校级期中）设的内角、、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
2．（2019秋?宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为　　
A．3
B．4
C．
D．
【难度】★★★★
1．（2021春?嘉定区校级期中）在锐角三角形中，角，，分别对应边，，，若，则的取值范围是_______
【难度】★★★
2．在锐角中，内角，，对的边分别为，，．若，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
3．（2019春?浦东新区校级期中）如果满足，，的恰有一个，则实数的取
值范围是_______
【难度】★★
4．（2021?徐汇区二模）在中，已知，，若，则的最小值是_______
【难度】★★
5．（2021?徐汇区校级三模）在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为_______
【难度】★★★
6．（2019秋?嘉定区期中）在中，，则的取值范围是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【难度】★★
7．（2015秋?闵行区期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
8．（2020秋?浦东新区校级月考）小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为．
（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值，约为多少分钟？（分钟保留两位小数）
（2）求东方明珠塔的高度约为多少米．（保留两位小数）
【难度】★★★解斜三角形
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、斜三角形中的多解问题
1.一个模型的应用：利用给定角构建如图模型，其中三个核心数据至少涉及两个，以作为“钟摆”来摆动观察的变化情况
(1)，钟摆无交点，三角形无解，为直角三角形
(2)
，钟摆一个交点，三角形一解，为直角三角形
(3)
，钟摆两交点，三角形两解，为一个锐角三角形和一个钝角三角形
(4)
，钟摆两交点，三角形一解，为锐角三角形（另一交点不符合角）
2.这个模型的还可利用铅垂法，来观察的变化情况，可按，
，等分析
3.部分题只考查解的情况问题不要求进一步求范围时，亦可
4.一个细节：锐角三角形中任意两角都满足
二、斜三角形中的最值与范围
1.三角形中的范围与最值问题可进行两个方向上的转化，向角度转化解决常常会转化为三角函数求值域或最值来解决，向边长转化解决常常会转化后利用基本不等式解决
2.角度转化常发生在给定一个角或求得一个角，结合条件将所求转化为其他两角的关系式再结合内角和化为一个角的三角函数求得值域或最值
(1)注意角的取值范围，这将影响最后的三角函数定义域，如：锐角三角形三边成连续整数且最大角，求角的取值范围就经常出错
3.边长转化常结合条件将所求转化为三边关系再结合基本不等式求得最值，注意一下通常在求范围问题时转化为边的问题求解不太方便
(1)注意化边时观察是否具有同次式（有的叫齐次式）
(2)注意边的取值范围，有时需要用到三角形的两边之和大于第三边及放缩法
例1．（2021春?虹口区校级期中）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，若，则的取值范围为_______
【难度】★★★★
答案：，．
例2．（2021春?宝山区校级期中）在锐角中，，，的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：
例3．设三角形的内角，，所对的边长分别是，，，且，若不是钝角三角形，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：，．
例4．（2021?上海模拟）设的三个内角分别为，，．若对于任意形状的，均成立，则实数的最大值为_______
【难度】★★★
答案：．
例5．在中，．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值；
（3）若，求面积的最大值与周长的范围．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）1；（3）的最大值为．周长的范围为，．
例6．（2019春?徐汇区校级期中）某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形为盆栽展示区，沿、修建观赏长廊，四边形是盆栽养护区，若，，米．
（1）求两区域边界的长度；
（2）若区域为锐角三角形，求观赏长廊总长度的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）6（2），．
例7．（2018秋?普陀区期末）在中，三个内角，，所对的边依次为，，，且．
（1）求的值；
（2）设，求的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）（2），
例8．（2018?杨浦区校级三模）已知三角形的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）求
的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）．（2）．
1．（2019春?杨浦区校级期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角是，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
2．（2018?浦东新区三模）已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
3．在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
4．设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，，则的取值范围为　　
A．，
B．
C．，
D．
【难度】★★★
答案：．
5．（2021?上海模拟）已知中，、、的对边分别为，，，且有．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）．（2），．
6．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）．（2），．
1．（2021春?闵行区校级期中）设的内角、、满足，则的最小值为_______
【难度】★★★★
答案：．
2．（2019秋?宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为　　
A．3
B．4
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
1．（2021春?嘉定区校级期中）在锐角三角形中，角，，分别对应边，，，若，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
2．在锐角中，内角，，对的边分别为，，．若，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：．
3．（2019春?浦东新区校级期中）如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是_______
【难度】★★
答案：或．
4．（2021?徐汇区二模）在中，已知，，若，则的最小值是_______
【难度】★★
答案：．
5．（2021?徐汇区校级三模）在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为_______
【难度】★★★
答案：
6．（2019秋?嘉定区期中）在中，，则的取值范围是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【难度】★★
答案：．
7．（2015秋?闵行区期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
答案：．
8．（2020秋?浦东新区校级月考）小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为．
（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值，约为多少分钟？（分钟保留两位小数）
（2）求东方明珠塔的高度约为多少米．（保留两位小数）
【难度】★★★
答案：（1）（分钟），（2）4754.81米．

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