资源简介

数形结合
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、数形结合思想
1.数与形相辅相成，重点掌握数的几何意义及转化，以及形的代数解读及转化
2.常见数形分析
(1)构建函数模型并结合图像求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合图像研究方程根的分布；
(3)构建函数模型并结合图像研究量与量之间的大小；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求解根的个数；
(8)研究图形的形状，位置关系、性质等
二、变量的分析
1.数形结合常围绕变量的变化情况进行分析
2.常见的变量分析
(1)恒成立与存在性问题
(2)解的问题或根的分布问题
(3)最值与取值范围问题
(4)多解与分类讨论问题
(5)探究与规律问题等
三、常见处理方法与应用技巧
1.数形思想常围绕变形、转化、构造、换元等处理方法
例1．（2020秋?金山区校级月考）已知函数的图象关于轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数的图象．若对任意的，，，当时，恒有，则实数的最大值是________
【难度】★★★★
例2．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为________
【难度】★★★
例3．（2021?松江区二模）已知曲线，若对于曲线上的任意一点，都有，则的最小值为_______
【难度】★★★
例4．（2019?黄浦区校级三模）已知函数（其中是自然对数的底数）的图象上存在点与的图象上的点关于轴对称，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例5．（2018?徐汇区校级一模）已知二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，
经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______（其坐标与无关）．
【难度】★★★★
例6．（2021?上海模拟）设，方程有四个不相等的实根，2，3，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
例7．（2020秋?松江区期末）已知，当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是　　
A．
B．，，
C．
D．
【难度】★★★★
例8．（2018?徐汇区二模）已知函数，其定义域为，，，
（1）当时，求函数的反函数；
（2）如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．
【难度】★★★
1．（2019秋?浦东新区校级期末）设函数，，如果对任意的实数，，任意的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
2．（2019?黄浦区校级三模）函数，在，上存在反函数，则的取值范围是_______
【难度】★★★
3．（2020秋?浦东新区校级期末）已知，，若函数为奇函数，则的最小值为_______
【难度】★★★
4．（2018?浦东新区二模）已知是定义在上的偶函数，且在，上是增函数，如果对于
任意，，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
5．（2020?浦东新区二模）已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为_______
【难度】★★★
6．（2019?杨浦区校级模拟）若对任意，都有，那么在上　　
A．一定单调递增
B．一定没有单调减区间
C．可能没有单调增区间
D．一定没有单调增区间
【难度】★★
7．（2018?浦东新区二模）设、是上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：
（1）；（2）对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合构
成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是　　
A．
B．
C．，
D．
【难度】★★★
1．（2018?闵行区校级一模）设、分别是函数和的零点，若存在、，使得，和
“零点相关”．若函数和
“零点相关”，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
2．（2021春?奉贤区期中）设函数，，函数，，．
（1）当函数是奇函数，求；
（2）证明是单调递增函数；
（3）当是奇函数时，解关于的不等式．
【难度】★★★★
1．（2019?虹口区校级模拟）若命题“对任意，恒成立”是假命题，则实数的取值
范围是_______
【难度】★★
2．（2020秋?松江区期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）_______
【难度】★★★
3．（2019?黄浦区校级三模）函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_______
【难度】★★★
4．（2019?浦东新区校级三模）已知和的图象的对称轴完全相同，则时，的取值范围是_______
【难度】★★★
5．（2019?闵行区校级模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则_______
【难度】★★★
6．（2019?上海二模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于，都有，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
7．若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　
A．与有关，且与有关
B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关
D．与无关，但与有关
【难度】★★★
8．（2018?黄浦区二模）已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
【难度】★★★★数形结合
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、数形结合思想
1.数与形相辅相成，重点掌握数的几何意义及转化，以及形的代数解读及转化
2.常见数形分析
(1)构建函数模型并结合图像求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合图像研究方程根的分布；
(3)构建函数模型并结合图像研究量与量之间的大小；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求解根的个数；
(8)研究图形的形状，位置关系、性质等
二、变量的分析
1.数形结合常围绕变量的变化情况进行分析
2.常见的变量分析
(1)恒成立与存在性问题
(2)解的问题或根的分布问题
(3)最值与取值范围问题
(4)多解与分类讨论问题
(5)探究与规律问题等
三、常见处理方法与应用技巧
1.数形思想常围绕变形、转化、构造、换元等处理方法
例1．（2020秋?金山区校级月考）已知函数的图象关于轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数的图象．若对任意的，，，当时，恒有，则实数的最大值是________
【难度】★★★★
答案：2．
例2．（2019?普陀区二模）设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间，上是增函数，则不等式（2）的解集为________
【难度】★★★
答案：，，．
例3．（2021?松江区二模）已知曲线，若对于曲线上的任意一点，都有，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
例4．（2019?黄浦区校级三模）已知函数（其中是自然对数的底数）的图象上存在点与的图象上的点关于轴对称，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
例5．（2018?徐汇区校级一模）已知二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______（其坐标与无关）．
【难度】★★★★
答案：和
例6．（2021?上海模拟）设，方程有四个不相等的实根，2，3，，则的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：．
例7．（2020秋?松江区期末）已知，当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是　　
A．
B．，，
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
例8．（2018?徐汇区二模）已知函数，其定义域为，，，
（1）当时，求函数的反函数；
（2）如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）；（2），，，，．
1．（2019秋?浦东新区校级期末）设函数，，如果对任意的实数，，任意的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：，，．
2．（2019?黄浦区校级三模）函数，在，上存在反函数，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
3．（2020秋?浦东新区校级期末）已知，，若函数为奇函数，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
4．（2018?浦东新区二模）已知是定义在上的偶函数，且在，上是增函数，如果对于任意，，恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
5．（2020?浦东新区二模）已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为_______
【难度】★★★
答案：．
6．（2019?杨浦区校级模拟）若对任意，都有，那么在上　　
A．一定单调递增
B．一定没有单调减区间
C．可能没有单调增区间
D．一定没有单调增区间
【难度】★★
答案：．
7．（2018?浦东新区二模）设、是上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是　　
A．
B．
C．，
D．
【难度】★★★
答案：．
1．（2018?闵行区校级一模）设、分别是函数和的零点，若存在、，使得，和
“零点相关”．若函数和
“零点相关”，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：，．
2．（2021春?奉贤区期中）设函数，，函数，，．
（1）当函数是奇函数，求；
（2）证明是单调递增函数；
（3）当是奇函数时，解关于的不等式．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）证明略（3）．
1．（2019?虹口区校级模拟）若命题“对任意，恒成立”是假命题，则实数的取值
范围是_______
【难度】★★
答案：．
2．（2020秋?松江区期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）_______
【难度】★★★
答案：1．
3．（2019?黄浦区校级三模）函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_______
【难度】★★★
答案：．
4．（2019?浦东新区校级三模）已知和的图象的对称轴完全相同，则时，的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：，．
5．（2019?闵行区校级模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则_______
【难度】★★★
答案：．
6．（2019?上海二模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于，都有，则实数的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：，．
7．（2017?浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　
A．与有关，且与有关
B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关
D．与无关，但与有关
【难度】★★★
答案：．
8．（2018?黄浦区二模）已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
【难度】★★★★
答案：（1）（2）存在点

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