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恒成立与存在性
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、常见恒成立应用
1.恒成立问题贯穿整个高中，
体现了在变量的变化过程中的各种解题思想，应灵活的根据条件描述并展开联想、关联、变形等等处理手段来找到解法
(1)通过分离参数转化为最值（如），须注意最值不要搞错
(2)通过变形转化为两个函数图像体现恒在上方或恒在下方
(3)通过讨论各种可能使之恒成立
(4)通过代数式的几何意义转化为几何图形问题（如解析几何中动直线问题、斜率问题、距离问题）
(5)通过方程的恒解问题研究恒过定点
(6)通过代数式的参数无关问题分析恒为定值
2.注意恒成立问题与能成立问题、恰成立问题、不成立问题的区分
二、常见存在性应用
1.存在性问题贯穿整个高中，
体现了在变量的变化过程中的各种解题思想，应灵活的根据条件描述并展开联想、关联、变形等等处理手段来找到解法
(1)通过分离参数转化为最值（如），须注意最值不要搞错
(2)通过变形转化为两个函数图像体现在上方或在下方存在点的问题
(3)通过讨论各种可能使之成立来体现存在性
(4)通过方程的存在性问题来体现包含关系
例1．设定义在上的两个函数、，其值域依次是，和，，有下列4个命题：
①“”是“对任意、恒成立”的充要条件；
②“”是“对任意、恒成立”的充分不必要条件；
③“”是“对任意恒成立”的充要条件；
④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件．
其中正确的命题是______（请写出所有正确命题的序号）．
【难度】★★★★
例2．设函数，当在实数范围内变化时，在圆盘内，且不在任一的图象上的点的全体组成的图形的面积为______
【难度】★★★★
例3．已知函数在，上是减函数，且对任意的，，，总有
成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
例4．已知，且任意，，，都存在以为边的三角形，则的取值范围为_______
【难度】★★★
例5．已知实数，，且，如果存在实数使得恒成立，则的最大值为_______
【难度】★★★★
1．设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图象恒在的图象的上方，则正数的取值范围为______
【难度】★★★
2．对于函数，有下列4个命题：
①任取、，，都有恒成立；
②，对于一切，恒成立；
③函数有3个零点；
④对任意，不等式恒成立．
则其中所有真命题的序号是______
【难度】★★★
3．在中，角，，所对的边分别为，，．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______
【难度】★★★
4．（2021春?上海月考）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
5．（2020秋?宝山区校级期末）已知函数为常数，且，对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有　　
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【难度】★★★
1．已知数列满足，，若，对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若任意，，则实数的取值范围为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【难度】★★★★
3．已知定义在，上的函数满足：
①（1）；
②对所有，，，且，有．
若对所有，，，恒成立，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
1．（2019秋?嘉定区期末）若不等式对任意满足的实数、恒成立，则实数的最大值为_______
【难度】★★★
2．（2018秋?徐汇区校级期中）已知，．若同时满足条件：
①任意满足或；
②存在满足，则的取值范围是_______
【难度】★★★
3．（2021?浦东新区校级三模）已知实数，函数，，若对任意，，
总存在，，使得，则的最大值为_______
【难度】★★★★
4．设，其中，，．若对一切恒成立，则
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是；
⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交．
以上结论正确的是______（写出所有正确结论的编号）．
【难度】★★★
5．（2020秋?浦东新区校级期中）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为．若对任意的，均有恒成立，则的最小值为_______
【难度】★★★
6．（2018?宝山区二模）奇函数定义域为，当时，（这里为正常数），若
对一切成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
7．设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
8．（2020?金山区二模）我们把一系列向量，2，，按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★恒成立与存在性
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、常见恒成立应用
1.恒成立问题贯穿整个高中，
体现了在变量的变化过程中的各种解题思想，应灵活的根据条件描述并展开联想、关联、变形等等处理手段来找到解法
(1)通过分离参数转化为最值（如），须注意最值不要搞错
(2)通过变形转化为两个函数图像体现恒在上方或恒在下方
(3)通过讨论各种可能使之恒成立
(4)通过代数式的几何意义转化为几何图形问题（如解析几何中动直线问题、斜率问题、距离问题）
(5)通过方程的恒解问题研究恒过定点
(6)通过代数式的参数无关问题分析恒为定值
2.注意恒成立问题与能成立问题、恰成立问题、不成立问题的区分
二、常见存在性应用
1.存在性问题贯穿整个高中，
体现了在变量的变化过程中的各种解题思想，应灵活的根据条件描述并展开联想、关联、变形等等处理手段来找到解法
(1)通过分离参数转化为最值（如），须注意最值不要搞错
(2)通过变形转化为两个函数图像体现在上方或在下方存在点的问题
(3)通过讨论各种可能使之成立来体现存在性
(4)通过方程的存在性问题来体现包含关系
例1．设定义在上的两个函数、，其值域依次是，和，，有下列4个命题：
①“”是“对任意、恒成立”的充要条件；
②“”是“对任意、恒成立”的充分不必要条件；
③“”是“对任意恒成立”的充要条件；
④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件．
其中正确的命题是______（请写出所有正确命题的序号）．
【难度】★★★★
答案：①④．
例2．设函数，当在实数范围内变化时，在圆盘内，且不在任一的图象上的点的全体组成的图形的面积为______
【难度】★★★★
答案：．
例3．已知函数在，上是减函数，且对任意的，，，总有
成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
例4．已知，且任意，，，都存在以为边的三角形，则的取值范围为_______
【难度】★★★
答案，，或，．
例5．已知实数，，且，如果存在实数使得恒成立，则的最大值为_______
【难度】★★★★
答案：2．
1．设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图象恒在的图象的上方，则正数的取值范围为______
【难度】★★★
答案：．
2．对于函数，有下列4个命题：
①任取、，，都有恒成立；
②，对于一切，恒成立；
③函数有3个零点；
④对任意，不等式恒成立．
则其中所有真命题的序号是______
【难度】★★★
答案：①③④
3．在中，角，，所对的边分别为，，．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：．
4．（2021春?上海月考）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
5．（2020秋?宝山区校级期末）已知函数为常数，且，对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有　　
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【难度】★★★
答案：．
1．已知数列满足，，若，对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：．
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若任意，，则实数的取值范围为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【难度】★★★★
答案：．
3．已知定义在，上的函数满足：
①（1）；
②对所有，，，且，有．
若对所有，，，恒成立，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
1．（2017秋?嘉定区期末）若不等式对任意满足的实数、恒成立，则实数的最大值为_______
【难度】★★★
答案：．
2．（2016秋?徐汇区校级期中）已知，．
若同时满足条件：
①任意满足或；
②存在满足，则的取值范围是_______
【难度】★★★
答案：．
3．（2021?浦东新区校级三模）已知实数，函数，，若对任意，，总存在，，使得，则的最大值为_______
【难度】★★★★
答案：．
4．设，其中，，．若对一切恒成立，则
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是；
⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交．
以上结论正确的是______（写出所有正确结论的编号）．
【难度】★★★
答案：①②③．
5．（2020秋?浦东新区校级期中）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为．若对任意的，均有恒成立，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：．
6．（2018?宝山区二模）奇函数定义域为，当时，（这里为正常数），若对一切成立，则的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：
7．设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
8．（2020?金山区二模）我们把一系列向量，2，，按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：．

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