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等差与等比数列
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、定义与递推的证明
1.要灵活的掌握等差或等比数列递推呈现形式，特别是在复杂的递推公式处理时应关注相邻项的呈现形式并有目的的转化
2.等差数列的定义与递推相邻项呈现形式
(1)：，，，
(2)研究对象的关注，如研究：，
等体现相邻项
3.等比数列的定义与递推相邻项呈现形式
(1)：，，，
(2)类似等差数列一样也要关注研究对象，如研究：：
二、公式与计算
1.等差等比的公式涉及通项与和两套公式，在套用公式计算时要求准确抓住基本量来处理公式，特别是奇偶分段数列的公式计算时项数问题极易出错
2.等差数列公式
(1)通项公式：，特定项公式
(2)前项和公式：，，特殊：或（奇数）
3.等比数列公式
(1)通项公式：，特定项公式
(2)前项和公式：，
三、数列性质
1.等差与等比的性质主要围绕下标规律观察并进行运算得到，
(1)下标和性质：下标和相等，项数一致形成结论（常用于两项对两项）
(2)下标差性质：任两项关系都可由下标差来观察，对等差，等比，特别地，两式项数一致时常进行对应相减（等差）或相除（等比），如：
(3)下标分组：项分组形成或奇偶分组
(4)等差数列中奇数项和与偶数项和的关联
四、函数与最值
1.数列的函数思想常表现在解答题中，通过处理最值来求得恒成立的参数问题，要掌握数列的单调性来解决数列的函数最值问题
例1．（2019?闵行区校级模拟）若数列满足为常数，，，则称数列为
等方数列，为公方差，已知正数等方数列的首项且，，成等比数列，，设集合
，，，取的非空子集，若的元素都是整
数，则为“梦幻子集”，那么集合中的“梦幻子集”的个数为_______
【难度】★★★
答案：63．
例2．（2019?上海二模）已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为（1），第二项及以后所有项和为（2），第项及以后所有项和为，若是首项为1，公差为2的等差数列的前项和，则当时，_______
【难度】★★★★
答案：．
例3．（2021?浦东新区二模）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是　　
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在使得，则实数唯一．
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
【难度】★★★
答案：．
例4．（2021?徐汇区二模）已知是公差为的等差数列，若存在实数，，，，满足方程组，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
例5．（2020?嘉定区二模）设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例6．（2021?宝山区二模）如果数列同时满足以下四个条件：
（1），2，，；
（2）点，在函数的图像上；
（3）向量与互相平行；
（4）与的等差中项为，2，，；
那么，这样的数列，，，的个数为　　
A．78
B．80
C．82
D．90
【难度】★★★★
答案：．
例7．（2020?虹口区二模）设等比数列的前项和为，首项，且，已知，，若存在正整数，，使得，，成等差数列，则的最小值为　　
A．16
B．12
C．8
D．6
【难度】★★★
答案：．
例8．已知公比为的等比数列的前项和为，，则下列结论中：
（1），，成等比数列；
（2）；
（3）
正确的结论为　　
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（2）（3）
【难度】★★★★
答案：．
例9．（2020春?黄浦区校级期中）已知是等差数列，，是等比数列，，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求当是偶数时，数列的前项和；
（3）若，是否存在实数使得不等式对于任意的，恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
答案：（1）；（2）；（3）存在实数满足条件．
1．（2021春?徐汇区校级月考）数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，的方差为，数据，，，，的方差为，则_______
【难度】★★★
答案：4．
2．（2018?上海模拟）设正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则_______
【难度】★★★★
答案：．
3．设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，2，，则数列的公比为________
【难度】★★★
答案：
4．（2018秋?长宁区校级月考）由9个正数组成的矩阵中，每行中三个数成等差数列，且、、成等比数列，给出下列判断：①第2列中，、、必成等比数列；②第1列中的、、不一定成等比数列；③；④若9个数之和等于9，则；其中正确的个数为　　
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★★
答案：．
5．（2019?浦东新区校级模拟）实数，满足且，由、、、按一定顺序构成的数列　　
A．可能是等差数列，也可能是等比数列
B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是等差数列，但可能是等比数列
D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【难度】★★★
答案：．
6．（2018?上海模拟）等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1），，成等差数列，也可能成等比数列；
（2），，成等差数列，但不可能成等比数列；
（3），，可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4），，不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是　　
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
【难度】★★★
答案：．
7．（2020?徐汇区校级模拟）已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【难度】★★★
答案：（1），；（2）．
1．（2020秋?嘉定区期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使，则的最小值为_______
【难度】★★★★
答案：．
2．（2020?杨浦区校级二模）已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间，内，则公差的取值范围是_______
【难度】★★★★
答案：．
1．等差数列中首项为，公差为，成等比数列，则公比________
【难度】★★
答案：
2．（2021?浦东新区三模）设函数，的零点为、、，若、、成等比数列，则实数的值为_______
【难度】★★
答案：．
3．（2021?上海模拟）已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为_______
【难度】★★
答案：
4．（2019?宝山区二模）已知无穷等比数列，，，各项的和为，且，若，则的最小值为_______
【难度】★★★
答案：10．
5．（2018?闵行区校级一模）已知，，，，成等比数列，则实数的值是______
【难度】★★
答案：．
6．等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比_______
【难度】★★★
答案：．
7．在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为_______
【难度】★★★
答案：200．
8．（2021?杨浦区二模）已知数列是无穷等比数列，若，则数列的前项和　　
A．无最大值，有最小值
B．有最大值，有最小值
C．有最大值，无最小值
D．无最大值，无最小值
【难度】★★★
答案：．
9．（2020?松江区模拟）若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
【难度】★★★
答案：．
10．（2019?上海模拟）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
11．（2019秋?浦东新区校级期中）数列为等差数列，已知．
（1）当时，，，成等比数列，求及的值；
（2）当时，若对任意，正整数满足，并使，，，，，，，成等比数列．求数列的通项公式．
【难度】★★★
答案：（1），；（2），．
12．（2019秋?闵行区校级期中）已知是公差为的等差数列，它的前项和为，等比数列的前项和为，，，．
（1）求公差的值；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若，判别是否有解，并说明理由．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2），；（3）（6）（7），不存在等差与等比数列
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、定义与递推的证明
1.要灵活的掌握等差或等比数列递推呈现形式，特别是在复杂的递推公式处理时应关注相邻项的呈现形式并有目的的转化
2.等差数列的定义与递推相邻项呈现形式
(1)：，，，
(2)研究对象的关注，如研究：，
等体现相邻项
3.等比数列的定义与递推相邻项呈现形式
(1)：，，，
(2)类似等差数列一样也要关注研究对象，如研究：：
二、公式与计算
1.等差等比的公式涉及通项与和两套公式，在套用公式计算时要求准确抓住基本量来处理公式，特别是奇偶分段数列的公式计算时项数问题极易出错
2.等差数列公式
(1)通项公式：，特定项公式
(2)前项和公式：，，特殊：或（奇数）
3.等比数列公式
(1)通项公式：，特定项公式
(2)前项和公式：，
三、数列性质
1.等差与等比的性质主要围绕下标规律观察并进行运算得到，
(1)下标和性质：下标和相等，项数一致形成结论（常用于两项对两项）
(2)下标差性质：任两项关系都可由下标差来观察，对等差，等比，特别地，两式项数一致时常进行对应相减（等差）或相除（等比），如：
(3)下标分组：项分组形成或奇偶分组
(4)等差数列中奇数项和与偶数项和的关联
四、函数与最值
1.数列的函数思想常表现在解答题中，通过处理最值来求得恒成立的参数问题，要掌握数列的单调性来解决数列的函数最值问题
例1．（2019?闵行区校级模拟）若数列满足为常数，，，则称数列为
等方数列，为公方差，已知正数等方数列的首项且，，成等比数列，，设集合
，，，取的非空子集，若的元素都是整
数，则为“梦幻子集”，那么集合中的“梦幻子集”的个数为_______
【难度】★★★
例2．（2019?上海二模）已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为（1），第二项及以后所有项和为（2），第项及以后所有项和为，若是首项为1，公差为2的等差数列的前项和，则当时，_______
【难度】★★★★
例3．（2021?浦东新区二模）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是　　
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在使得，则实数唯一．
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
【难度】★★★
例4．（2021?徐汇区二模）已知是公差为的等差数列，若存在实数，，，，满足方程组，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
例5．（2020?嘉定区二模）设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
例6．（2021?宝山区二模）如果数列同时满足以下四个条件：
（1），2，，；
（2）点，在函数的图像上；
（3）向量与互相平行；
（4）与的等差中项为，2，，；
那么，这样的数列，，，的个数为　　
A．78
B．80
C．82
D．90
【难度】★★★★
例7．（2020?虹口区二模）设等比数列的前项和为，首项，且，已知，，若存在正整数，，使得，，成等差数列，则的最小值为　　
A．16
B．12
C．8
D．6
【难度】★★★
例8．已知公比为的等比数列的前项和为，，则下列结论中：
（1），，成等比数列；
（2）；
（3）
正确的结论为　　
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（2）（3）
【难度】★★★★
例9．（2020春?黄浦区校级期中）已知是等差数列，，是等比数列，，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求当是偶数时，数列的前项和；
（3）若，是否存在实数使得不等式对于任意的，恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
1．（2021春?徐汇区校级月考）数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，的方差为，数据，，，，的方差为，则_______
【难度】★★★
2．（2018?上海模拟）设正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则_______
【难度】★★★★
3．设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，2，，则数列的公比为________
【难度】★★★
4．（2018秋?长宁区校级月考）由9个正数组成的矩阵中，每行中三个数成等差数列，且、、成等比数列，给出下列判断：①第2列中，、、必成等比数列；②第1列中的、、不一定成等比数列；③；④若9个数之和等于9，则；其中正确的个数为　　
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★★
5．（2019?浦东新区校级模拟）实数，满足且，由、、、按一定顺序构成的数列　　
A．可能是等差数列，也可能是等比数列
B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是等差数列，但可能是等比数列
D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【难度】★★★
6．（2018?上海模拟）等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1），，成等差数列，也可能成等比数列；
（2），，成等差数列，但不可能成等比数列；
（3），，可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4），，不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是　　
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
【难度】★★★
7．（2020?徐汇区校级模拟）已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【难度】★★★
1．（2020秋?嘉定区期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使，则的最小值为_______
【难度】★★★★
2．（2020?杨浦区校级二模）已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间，内，则公差的取值范围是_______
【难度】★★★★
1．等差数列中首项为，公差为，成等比数列，则公比________
【难度】★★
2．（2021?浦东新区三模）设函数，的零点为、、，若、、成等比数列，则实数的值为_______
【难度】★★
3．（2021?上海模拟）已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为_______
【难度】★★
4．（2019?宝山区二模）已知无穷等比数列，，，各项的和为，且，若，则的最小值为_______
【难度】★★★
5．（2018?闵行区校级一模）已知，，，，成等比数列，则实数的值是______
【难度】★★
6．等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比_______
【难度】★★★
7．在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为_______
【难度】★★★
8．（2021?杨浦区二模）已知数列是无穷等比数列，若，则数列的前项和　　
A．无最大值，有最小值
B．有最大值，有最小值
C．有最大值，无最小值
D．无最大值，无最小值
【难度】★★★
9．（2020?松江区模拟）若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为　　
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
【难度】★★★
10．（2019?上海模拟）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
11．（2019秋?浦东新区校级期中）数列为等差数列，已知．
（1）当时，，，成等比数列，求及的值；
（2）当时，若对任意，正整数满足，并使，，，，，，，成等比数列．求数列的通项公式．
【难度】★★★
12．（2019秋?闵行区校级期中）已知是公差为的等差数列，它的前项和为，等比数列的前项和为，，，．
（1）求公差的值；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若，判别是否有解，并说明理由．
【难度】★★★★

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