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数列的递推处理
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、递推公式的概念
1.递推公式体现的是一种循环，在处理递推时核心在于明确对象，需要根据递推的表现形式结合所研究的通项相邻项的“结构”，在思考与处理时常进行三层递进式思维，首先观察是否具有已掌握的递推形式，然后再比对数据观察相邻项“结构”并尝试凑出相邻项，最后没有思路的情况下尝试求得前几项探究规律
二、常见递推公式考点
1.线性组合型递推：可变形成，进行待定系数法求解或可取前一项后进行联立
(1)注意延伸类递推中相邻项的变换，可变形观察待定系数
2.指数型递推：形如类型可进行两边取对数
3.分式型递推：形如可两边取倒数
(1)延伸去分母形成：可两边同除以乘积项
4.型递推：涉及考查频率最高，可考虑三个方向
(1)以对象研究相邻项，构建与联立相减实现消“”目的产生全“”关联递推
(2)以对象研究相邻项，可利用实现消“”产生全“”关联递推
(3)以省略号形式出现，可观察发现属的关联通项的前项和，构建省略号前项和联立
5.累加、累乘类型递推：与可依次取进行累加累乘
三、通项的关联项考点
1.通项的关联运算要关注相邻项的运算结构保持一致，俗称“结构”法，如第项含根号则应相邻第项第项都会可表示出根号
(1)等差数列与等比数列的证明与判断问题可以通过定义来利用求差法或求商法来运算，亦可利用“结构”法进行关联拼凑实现
(2)分段数列的递推公式有时给出的相邻项应利用“结构”法去转变为隔项关联
四、不完全归纳法考点
1.在递推不满足上述应用时可求得前几项来进行不完全归纳寻找规律，常见项数分组成规律、周期性规律、隔项规律等
例1．已知数列、满足：，，且，，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为_______
【难度】★★★
例2．已知数列满足，且，，则______（结果用含的式子表示）
【难度】★★★★
例3．已知数列满足，，则的整数部分是______
【难度】★★★
例4．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的方程：
有实数解，那么以下2021个方程，，，，中，无实数解的方程最多有______个．
【难度】★★★
例5．数列的通项公式为，的通项公式为，设，若在数列
中，对任意恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
例6．已知数列，满足，对任何正整数均有，
，设，则数列的前2020项之和为______
【难度】★★★
例7．已知数列满足，，则下列选项错误的是　　
A．数列单调递增
B．数列无界
C．
D．
【难度】★★★
例8．已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论：①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列；则　　
A．①对②错
B．①错②对
C．①②均错误
D．①②均正确
【难度】★★★
例9．已知数列与前项和分别为，，且，，，
对任意的，恒成立，则的最小值是　　
A．1
B．
C．
D．
【难度】★★★
例10．已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；
（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）已知，对于给定的正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
1．设数列是首项为0的递增数列，函数，，满足：对于任意的实数
，，总有两个不同的根，则的通项公式是______
【难度】★★★★
2．已知无穷数列具有如下性质：①为正整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，．在数列中，若当时，，当时，，则首项可取数值的个数为______（用表示）．
【难度】★★★
3．已知数列满足：对任意的均有，其中为不等于0与1的常数，若，
，，8，88，，、3、4、5，则满足条件的所有可能值的和为______
【难度】★★★
4．已知数列的前项和为，且满足，设，则以下四个命题中，真命题为　　
①是等差数列；②中最大项是；③通项公式是；④．
A．①③④
B．①②④
C．②④
D．①③
【难度】★★★
5．已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为　　
A．，
B．
C．，
D．
【难度】★★★
6．记为不超过实数的最大值，例如：，，，设为正整数，数列满足，，则下列命题中的假命题是　　
A．当时，数列的前3项依次为5，3，2
B．对数列总存在正整数，当时，总有
C．当时，
D．对某个正整数，若，则
【难度】★★★
7．数列满足：，，且对任何的正整数都成立，则的值为　　
A．5032
B．5044
C．5048
D．5050
【难度】★★★
8．数列满足：，给出下述命题：
①若数列满足：，则成立；
②存在常数，使得成立；
③若（其中，，，，则；
④存在常数，使得都成立．
上述命题正确的有　　
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
1．若无穷数列满足：，当，时．，，，（其中，
，，，表示，，，，中的最大项），有以下结论：
①若数列是常数列，则
②若数列是公差的等差数列，则；
③若数列是公比为的等比数列，则
④若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项．
则其中正确的结论是______（写出所有正确结论的序号）
【难度】★★★★
2．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围为______
【难度】★★★★
1．已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
2．已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则数列的通项公式为______
【难度】★★★
3．已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为______
【难度】★★★
4．若数列的所有项都是正数，且，则该数列的通项公式______
【难度】★★
5．已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则______
【难度】★★★
6．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______
【难度】★★★
7．对任意，函数满足：，，数列的前15项和，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则______
【难度】★★★
8．已知数列的前项和为，且，若数列收敛于常数，则首项的取值的集合
为______
【难度】★★
9．已知数列的通项公式为，则数列的前项和______
【难度】★★
10．已知数列满足：，且，，若，
则______
【难度】★★★
11．在由正整数构成的无穷数列中，对任意，都有，且对任意的，数列中恰有个，则______
【难度】★★★★
12．已知数列满足，，则下列命题中的真命题是　　
A．，则数列一定是等比数列
B．，，数列不存在极限
C．，数列一定是等比数列
D．，则数列的极限为
【难度】★★★数列的递推处理
授课教师：_____________
授课日期：_____________
一、递推公式的概念
1.递推公式体现的是一种循环，在处理递推时核心在于明确对象，需要根据递推的表现形式结合所研究的通项相邻项的“结构”，在思考与处理时常进行三层递进式思维，首先观察是否具有已掌握的递推形式，然后再比对数据观察相邻项“结构”并尝试凑出相邻项，最后没有思路的情况下尝试求得前几项探究规律
二、常见递推公式考点
1.线性组合型递推：可变形成，进行待定系数法求解或可取前一项后进行联立
(1)注意延伸类递推中相邻项的变换，可变形观察待定系数
2.指数型递推：形如类型可进行两边取对数
3.分式型递推：形如可两边取倒数
(1)延伸去分母形成：可两边同除以乘积项
4.型递推：涉及考查频率最高，可考虑三个方向
(1)以对象研究相邻项，构建与联立相减实现消“”目的产生全“”关联递推
(2)以对象研究相邻项，可利用实现消“”产生全“”关联递推
(3)以省略号形式出现，可观察发现属的关联通项的前项和，构建省略号前项和联立
5.累加、累乘类型递推：与可依次取进行累加累乘
三、通项的关联项考点
1.通项的关联运算要关注相邻项的运算结构保持一致，俗称“结构”法，如第项含根号则应相邻第项第项都会可表示出根号
(1)等差数列与等比数列的证明与判断问题可以通过定义来利用求差法或求商法来运算，亦可利用“结构”法进行关联拼凑实现
(2)分段数列的递推公式有时给出的相邻项应利用“结构”法去转变为隔项关联
四、不完全归纳法考点
1.在递推不满足上述应用时可求得前几项来进行不完全归纳寻找规律，常见项数分组成规律、周期性规律、隔项规律等
例1．已知数列、满足：，，且，，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为_______
【难度】★★★
答案：、、、、．
例2．已知数列满足，且，，则______（结果用含的式子表示）
【难度】★★★★
答案：．
例3．已知数列满足，，则的整数部分是______
【难度】★★★
答案：3．
例4．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的方程：
有实数解，那么以下2021个方程，，，，中，无实数解的方程最多有______个．
【难度】★★★
答案：1010．
例5．数列的通项公式为，的通项公式为，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是______
【难度】★★★★
答案：，．
例6．已知数列，满足，对任何正整数均有，
，设，则数列的前2020项之和为______
【难度】★★★
答案：．
例7．已知数列满足，，则下列选项错误的是　　
A．数列单调递增
B．数列无界
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例8．已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论：①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列；则　　
A．①对②错
B．①错②对
C．①②均错误
D．①②均正确
【难度】★★★
答案：．
例9．已知数列与前项和分别为，，且，，，
对任意的，恒成立，则的最小值是　　
A．1
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例10．已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；
（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）已知，对于给定的正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．（3）当或时，存在数列：，，，当或时，不存在
1．设数列是首项为0的递增数列，函数，，满足：对于任意的实数
，，总有两个不同的根，则的通项公式是______
【难度】★★★★
答案：．
2．已知无穷数列具有如下性质：①为正整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，．在数列中，若当时，，当时，，则首项可取数值的个数为______（用表示）．
【难度】★★★
答案：．
3．已知数列满足：对任意的均有，其中为不等于0与1的常数，若，
，，8，88，，、3、4、5，则满足条件的所有可能值的和为______
【难度】★★★
答案：．
4．已知数列的前项和为，且满足，设，则以下四个命题中，真命题为　　
①是等差数列；②中最大项是；③通项公式是；④．
A．①③④
B．①②④
C．②④
D．①③
【难度】★★★
答案：．
5．已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为　　
A．，
B．
C．，
D．
【难度】★★★
答案：．
6．记为不超过实数的最大值，例如：，，，设为正整数，数列满足，，则下列命题中的假命题是　　
A．当时，数列的前3项依次为5，3，2
B．对数列总存在正整数，当时，总有
C．当时，
D．对某个正整数，若，则
【难度】★★★
答案：．
7．数列满足：，，且对任何的正整数都成立，则的值为　　
A．5032
B．5044
C．5048
D．5050
【难度】★★★
答案：．
8．数列满足：，给出下述命题：
①若数列满足：，则成立；
②存在常数，使得成立；
③若（其中，，，，则；
④存在常数，使得都成立．
上述命题正确的有　　
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
答案：．
1．若无穷数列满足：，当，时．，，，（其中，
，，，表示，，，，中的最大项），有以下结论：
①若数列是常数列，则
②若数列是公差的等差数列，则；
③若数列是公比为的等比数列，则
④若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项．
则其中正确的结论是______（写出所有正确结论的序号）
【难度】★★★★
答案：①②③④．
2．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围为______
【难度】★★★★
答案：，．
1．已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：．
2．已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则数列的通项公式为______
【难度】★★★
答案：．
3．已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为______
【难度】★★★
答案：
4．若数列的所有项都是正数，且，则该数列的通项公式______
【难度】★★
答案：．
5．已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则______
【难度】★★★
答案：．
6．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______
【难度】★★★
答案：69．
7．对任意，函数满足：，，数列的前15项和，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则______
【难度】★★★
答案：．
8．已知数列的前项和为，且，若数列收敛于常数，则首项的取值的集合
为______
【难度】★★
答案：．
9．已知数列的通项公式为，则数列的前项和______
【难度】★★
答案：．
10．已知数列满足：，且，，若，
则______
【难度】★★★
答案：1009．
11．在由正整数构成的无穷数列中，对任意，都有，且对任意的，数列中恰有个，则______
【难度】★★★★
答案：64．
12．已知数列满足，，则下列命题中的真命题是　　
A．，则数列一定是等比数列
B．，，数列不存在极限
C．，数列一定是等比数列
D．，则数列的极限为
【难度】★★★
答案：．

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