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第十三章
《直线与圆》讲义
第1讲
直线方程
知识梳理.直线的倾斜角与斜率
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．
(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．
2．直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°．
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°．
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan
θ＝．
(4)直线的斜率：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan
θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝．
(6)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
题型一.
直线的倾斜角与斜率
1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（　　）
A．0
B．
C．
D．
2．已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a的值为（　　）
A．﹣2
B．4
C．﹣4
D．2
3．已知坐标平面内三点A（﹣1，1），B（1，0），C（2，1）．
（1）求直线AC的斜率和倾斜角；
（2）若D为△ABC的边AC上一动点，求直线BD的斜率k的变化范围．
4．已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
知识梳理.直线的方程
一、直线的点斜式方程与斜截式方程
1．直线的点斜式方程
在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．
(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0．
(2)直线的点斜式方程：
若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．
2．直线的斜截式方程
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．
二、直线的两点式方程与截距式方程
1．直线的两点式方程
已知直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线l的斜率k＝，代入点斜式，得直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1)．
当y1≠y2，x1≠x2时，方程可以写成＝，这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程．
2．直线的截距式方程
直线与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为(0，b)(a≠0，b≠0)，则直线l的两点式方程是＝，可以整理成＋＝1，它是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程．
三、直线的一般式方程
1．直线的一般式方程：直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线的一般式方程．
2．从直线的一般式方程看斜率和截距
直线的一般式方程可表示任何一条直线，其中一般式与其他形式的互化是本节的重点，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其他几种特殊形式，要看A、B、C是否为零．
(1)当B＝0时，x＝－表示与y轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线．
(2)当B≠0时，y＝－x－表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．(常用于求斜率)
(3)当A＝0时，y＝－表示与x轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线．
(4)当ABC≠0时，＋＝1表示在x轴、y轴上截距分别为－和－的直线．(常用于求截距)
题型二.
直线的方程
1．经过点（﹣3，2），倾斜角为60°的直线方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）恒过某一定点，则该定点坐标为（　　）
A．（3，1）
B．（﹣3，1）
C．（3，﹣1）
D．（﹣3，﹣1）
3．在xoy平面内，如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线2x﹣3y+12＝0的斜率之半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　
　．
知识梳理.两条直线的位置关系
一、两条直线相交、平行与重合
1．代数方法判断
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组
的解进行判断(如下表所示)
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平行
无交点
A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或＝≠(A2B2C2≠0)
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)
有无数个解
重合
无数个交点
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)
2．几何方法判断
(1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行。
(2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交?k1≠k2；
②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2．
简记表：
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
3．向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
(1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1．
(2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1；
l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得
3．经过两条直线交点的直线方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)，
则经过l1、l2交点的直线的方程为：A1x＋B1y＋C1＋k(A2x＋B2y＋C2)＝0(k为实数)．
二、两条直线的垂直
1．两条直线垂直的几何方法判断
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
2．两条直线垂直的代数方法判断
已知直线l1，l2的方程分别是l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)
(1)若A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2
(2)若?l1∥l2
题型三.两条直线的位置关系
1．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．0
B．﹣8
C．2
D．10
2．若直线ax+（1﹣a）y＝3与（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，则a等于（　　）
A．3
B．1
C．0或
D．1或﹣3
3．已知：直线l1经过点A（2，a），B（a﹣1，3），直线l2经过点C（1，2），D（﹣2，a+2）
（1）若l1∥l2，求a的值；
（2）若l1⊥l2，求a的值．
4．直线x+a2y+6＝0和（a﹣2）x+3ay+2a＝0无公共点，则a的值是（　　）
A．3
B．0
C．﹣1
D．0或﹣1
知识梳理.点到直线的距离
一、点到直线的距离公式
1．点到直线的距离：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．
2．点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
二、两条平行直线之间的距离公式
1．两平行直线间的距离：两条平行直线之间的距离：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
2．两平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
题型四.
点到直线的距离
1．点（4，t）到直线4x﹣3y＝1的距离不大于3，则t的取值范围是（　　）
A．t
B．0＜t＜10
C．0≤t≤10
D．t＜0或t＞10
2．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，则m值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知两点A（4，﹣3），B（2，﹣1）和直线l：4x+3y﹣2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．
4．已知在△ABC中，A（3，2）、B（﹣1，5），C点在直线3x﹣y+3＝0上，若△ABC的面积为10，求C点的坐标．
题型五.
对称问题
1．已知点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，则点A的坐标为（　　）
A．（3，4）
B．（4，5）
C．（﹣4，﹣3）
D．（﹣5，﹣4）
2．已知点A的坐标为（﹣4，4），直线l的方程为3x+y﹣2＝0，求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．
3．光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在直线l：3x﹣y﹣1＝0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
课后作业.
直线方程
1．将直线y＝0绕点（﹣1，0）顺时针旋转60°得到直线l，则直线l的方程是　
　；直线l在y轴上的截距是　
　．
2．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（　　）
A．0
B．1
C．
D．2
3．已知直线l过点P（﹣6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程．
4．已知直线l1：mx+4y﹣2＝0与l2：2x﹣5y+n＝0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n﹣p的值为（　　）
A．4
B．﹣16
C．0
D．20
5．点P为x轴上的一点，点P到直线3x﹣4y+6＝0的距离为6，则点P的坐标为（　　）
A．（8，0）
B．（﹣12，0）
C．（8，0）或（﹣12，0）
D．（0，0）
6．P，Q分别为直线3x+4y﹣12＝0与6x+8y+6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．
B．3
C．
D．6
7．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．第十三章
《直线与圆》讲义
第1讲
直线方程
知识梳理.直线的倾斜角与斜率
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．
(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．
2．直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°．
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°．
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan
θ＝．
(4)直线的斜率：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan
θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝．
(6)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
题型一.
直线的倾斜角与斜率
1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（　　）
A．0
B．
C．
D．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．
∴tanθ＝﹣1，解得．
故选：D．
2．已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a的值为（　　）
A．﹣2
B．4
C．﹣4
D．2
【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，
∴kAB＝kAC，即，
解得：a＝4，
故选：B．
3．已知坐标平面内三点A（﹣1，1），B（1，0），C（2，1）．
（1）求直线AC的斜率和倾斜角；
（2）若D为△ABC的边AC上一动点，求直线BD的斜率k的变化范围．
【解答】解：（1）由A（﹣1，1），C（2，1），得，
设直线AC的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα．
∴直线AC的倾斜角为30°；
（2）如图：
∵A（﹣1，1），B（1，0），C（2，1），
∴，．
∴直线BD的斜率k的变化范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．
4．已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
【解答】解：如图，
∵直线l与线段AB有公共点且过点P（2，﹣1）
∴直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间
当直线l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB，
当直线l的倾斜角大于90°时，有k≤kPA，
而1，3．
∴直线l的斜率k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
知识梳理.直线的方程
一、直线的点斜式方程与斜截式方程
1．直线的点斜式方程
在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．
(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0．
(2)直线的点斜式方程：
若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．
2．直线的斜截式方程
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．
二、直线的两点式方程与截距式方程
1．直线的两点式方程
已知直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线l的斜率k＝，代入点斜式，得直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1)．
当y1≠y2，x1≠x2时，方程可以写成＝，这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程．
2．直线的截距式方程
直线与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为(0，b)(a≠0，b≠0)，则直线l的两点式方程是＝，可以整理成＋＝1，它是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程．
三、直线的一般式方程
1．直线的一般式方程：直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线的一般式方程．
2．从直线的一般式方程看斜率和截距
直线的一般式方程可表示任何一条直线，其中一般式与其他形式的互化是本节的重点，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其他几种特殊形式，要看A、B、C是否为零．
(1)当B＝0时，x＝－表示与y轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线．
(2)当B≠0时，y＝－x－表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．(常用于求斜率)
(3)当A＝0时，y＝－表示与x轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直线．
(4)当ABC≠0时，＋＝1表示在x轴、y轴上截距分别为－和－的直线．(常用于求截距)
题型二.
直线的方程
1．经过点（﹣3，2），倾斜角为60°的直线方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由直线的倾斜角为60°，得到直线的斜率k＝tan60°，
又直线过（﹣3，2），
则直线的方程为：y﹣2（x+3）．
故选：C．
2．已知直线（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）恒过某一定点，则该定点坐标为（　　）
A．（3，1）
B．（﹣3，1）
C．（3，﹣1）
D．（﹣3，﹣1）
【解答】解：取m，得方程为y，此时对应的直线设为l1；
再取m＝﹣1，得方程为﹣x＝﹣3，此时对应的直线设为l2．
∵直线l1与l2交于点A（3，1）
A点即为所求直线（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4恒过的定点
故选：A．
3．在xoy平面内，如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线2x﹣3y+12＝0的斜率之半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由直线2x﹣3y+12＝0的斜率为，则直线l的斜率为；
由直线2x﹣3y+12＝0，令x﹣0解得y＝4，则直线l与y轴的截距为8，
则直线l的方程为：yx+8．
故选：A．
4．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　3　．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴直线AB的方程是：，即4x+3y﹣12＝0，
设
P（x，y），则x＝3y，
∴xy＝3yy2（y﹣2）2+3≤3．
当且仅当y＝2，x时，取等号，
∴xy的最大值是3．
故答案为：3．
知识梳理.两条直线的位置关系
一、两条直线相交、平行与重合
1．代数方法判断
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组
的解进行判断(如下表所示)
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平行
无交点
A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或＝≠(A2B2C2≠0)
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)
有无数个解
重合
无数个交点
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)
2．几何方法判断
(1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行。
(2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交?k1≠k2；
②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2．
简记表：
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
3．向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
(1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1．
(2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1；
l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得
3．经过两条直线交点的直线方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)，
则经过l1、l2交点的直线的方程为：A1x＋B1y＋C1＋k(A2x＋B2y＋C2)＝0(k为实数)．
二、两条直线的垂直
1．两条直线垂直的几何方法判断
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
2．两条直线垂直的代数方法判断
已知直线l1，l2的方程分别是l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)
(1)若A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2
(2)若?l1∥l2
题型三.两条直线的位置关系
1．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．0
B．﹣8
C．2
D．10
【解答】解：∵直线2x+y﹣1＝0的斜率等于﹣2，
∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，
∴2，解得
，
故选：B．
2．若直线ax+（1﹣a）y＝3与（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，则a等于（　　）
A．3
B．1
C．0或
D．1或﹣3
【解答】解：当a＝1时，两条直线分别化为：x＝3，5y＝2，此时两条直线互相垂直；
当a时，两条直线分别化为：3x﹣5y+6＝0，5x＝﹣4，此时两条直线不互相垂直．
当a，1时，两条直线分别化为：，．
∵直线ax+（1﹣a）y＝3与（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，
∴1，
解得a＝﹣3或1（舍去），
综上可得：a＝﹣3或1．
故选：D．
3．已知：直线l1经过点A（2，a），B（a﹣1，3），直线l2经过点C（1，2），D（﹣2，a+2）
（1）若l1∥l2，求a的值；
（2）若l1⊥l2，求a的值．
【解答】解：（1）直线l1经过点A（2，a），B（a﹣1，3），
∴l1的斜率为k11；
直线l2经过点C（1，2），D（﹣2，a+2），
∴l2的斜率为k2，
若l1∥l2，则1，
解得a＝3；
（2）若l1⊥l2，则k1?k2?（﹣1）＝﹣1，
解得a＝﹣3．
4．直线x+a2y+6＝0和（a﹣2）x+3ay+2a＝0无公共点，则a的值是（　　）
A．3
B．0
C．﹣1
D．0或﹣1
【解答】解：当a＝0时，两直线方程分别为x+6＝0和x＝0，显然无公共点；
当a≠0时，，
解得a＝﹣1．
所以a＝0或﹣1．
故选：D．
知识梳理.点到直线的距离
一、点到直线的距离公式
1．点到直线的距离：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．
2．点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
二、两条平行直线之间的距离公式
1．两平行直线间的距离：两条平行直线之间的距离：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
2．两平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
题型四.
点到直线的距离
1．点（4，t）到直线4x﹣3y＝1的距离不大于3，则t的取值范围是（　　）
A．t
B．0＜t＜10
C．0≤t≤10
D．t＜0或t＞10
【解答】解：由题意得
3，|3t﹣15|≤15，
∴﹣15≤3t﹣15≤15，解得0≤t≤10，
故选：C．
2．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，则m值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，
∴，
解得m，或m＝﹣6．
故选：B．
3．已知两点A（4，﹣3），B（2，﹣1）和直线l：4x+3y﹣2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．
【解答】解：设P（x0，y0），AB中点（3，﹣2）
∵|PA|＝|PB|，
∴直线AB的中垂线
∴方程为y＝x﹣5
∵点P在AB中垂线上，且到l距离为2
∴
∴或．
∴
4．已知在△ABC中，A（3，2）、B（﹣1，5），C点在直线3x﹣y+3＝0上，若△ABC的面积为10，求C点的坐标．
【解答】（本小题满分12分）
解：设点C到直线AB的距离为d
由题意知：（2分）
∵（4分）
直线AB的方程为：，即3x+4y﹣17＝0…（6分）
∵C点在直线3x﹣y+3＝0上，设C（x0，3x0+3）
∴（10分）
∴C点的坐标为：（﹣1，0）或（12分）
题型五.
对称问题
1．已知点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，则点A的坐标为（　　）
A．（3，4）
B．（4，5）
C．（﹣4，﹣3）
D．（﹣5，﹣4）
【解答】解：设点A（x，y）．
∵点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，
∴，解得x＝﹣5，y＝﹣4．
则点A的坐标为（﹣5，﹣4）．
故选：D．
2．已知点A的坐标为（﹣4，4），直线l的方程为3x+y﹣2＝0，求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【解答】解：（1）设点A′的坐标为（x′，y′）．
因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是﹣3，所以kAA'′．
又因为kAA'①．
再因为直线l的方程为3x+y﹣2＝0，AA′的中点坐标是（），所以3?2＝0…②．
由①和②，解得x′＝2，y′＝6．所以A′点的坐标为（2，6）．
（2）关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x+y+c＝0．在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，由此得，即：x′＝﹣8，y′＝6．
于是有M′（﹣8，6）．因为M′点在l′上，
所以3×（﹣8）+6+c＝0，∴c＝18．
故直线l′的方程为3x+y+18＝0．
3．光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得A（﹣3，5）关于x轴的对称点为A′（﹣3，﹣5），
由对称性可知光线从A到B的距离即为A′到B的距离，
由距离公式可得|A′B|5
故选：C．
4．在直线l：3x﹣y﹣1＝0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
【解答】解：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大
显然A、B位于直线L两侧，
作B关于直线L的对称点B'，连接B'A，
则B'A
所在直线与直线L交点即为P，
此时，|PA﹣PB|的差值最大，最大值就是B'A，
设B点关于L对称点B’（a．b），
则（b﹣4）×3＝﹣（a﹣0），3a﹣（b+4）﹣2＝0，
得a＝3，b＝3
AB′的直线方程为2X+Y﹣9＝0解方程2X+Y﹣9＝0
与3x﹣y﹣1＝0可得（2、5）是距离之差最大的点．
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小
显然，A、C位于直线L同侧
作点C关于直线L对称点C'，连接C'A
则C'A与直线L的交点就是点P
此时，PA+PB之和最小，最小值为C'A
设C关于l的对称点为C′（m，n），
可得，1＝0，
求出C′的坐标为（，）．
∴AC′所在直线的方程为19x+17y﹣93＝0．
AC′和l交点的坐标为．
∴点P的坐标为
课后作业.
直线方程
1．将直线y＝0绕点（﹣1，0）顺时针旋转60°得到直线l，则直线l的方程是　　；直线l在y轴上的截距是　　．
【解答】解：直线y＝0绕点（﹣1，0）顺时针旋转60°得到直线l，则直线l的倾斜角为120°，
故直线的斜率等于tan120°，由点斜式求出直线的方程为
y﹣0（x+1），
即．
令x＝0，可得y，故直线在y轴上的截距等于．
故答案为
，．
2．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（　　）
A．0
B．1
C．
D．2
【解答】解：直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值2．
故选：D．
3．已知直线l过点P（﹣6，3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程．
【解答】解：若直线经过原点，则设直线方程为y＝kx，
∵直线l过点P（﹣6，3），∴﹣6k＝3，解得k，此时方程为yx，
若直线不经过原点，则设方程为，
将点P（﹣6，3）代入，得，
此时直线方程为，即x+3y﹣3＝0，
故求得直线方程是yx或x+3y﹣3＝0．
4．已知直线l1：mx+4y﹣2＝0与l2：2x﹣5y+n＝0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n﹣p的值为（　　）
A．4
B．﹣16
C．0
D．20
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y+n＝0互相垂直，
∴1，
∴m＝10，
直线mx+4y﹣2＝0
即
5x+2y﹣1＝0，
垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1＝0，
∴p＝﹣2．
把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n＝0，
可得
n＝﹣12，
∴m+n﹣p＝10﹣12+2＝0，
故选：C．
5．点P为x轴上的一点，点P到直线3x﹣4y+6＝0的距离为6，则点P的坐标为（　　）
A．（8，0）
B．（﹣12，0）
C．（8，0）或（﹣12，0）
D．（0，0）
【解答】解：设P（a，0），由题意可知，
即|3a+6|＝30，
解得a＝﹣12或a＝8，
P点坐标为（﹣12，0）或（8，0）．
故选：C．
6．P，Q分别为直线3x+4y﹣12＝0与6x+8y+6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．
B．3
C．
D．6
【解答】解：∵，∴已知两直线平行，
方程可化为3x+4y﹣12＝0与3x+4y+3＝0，
|PQ|的最小值为平行线间的距离d3，
故选：B．
7．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．
【解答】解：（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝﹣3，则它们之间的距离为9．…（2分）
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l1：y﹣2＝k（x﹣6），l2：y+1＝k（x+3），
即l1：kx﹣y﹣6k+2＝0，l2：kx﹣y+3k﹣1＝0，…（4分）
∴d．
即（81﹣d2）k2﹣54k+9﹣d2＝0．
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴△＝（﹣54）2﹣4（81﹣d2）（9﹣d2）≥0，即0＜d≤3且d≠9．…（9分）
综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3]．
方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|．
而|AB|3．
故所求的d的变化范围为（0，3]．
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而kAB，
∴所求直线的斜率为﹣3．故所求的直线方程分别为
y﹣2＝﹣3（x﹣6），y+1＝﹣3（x+3），即3x+y﹣20＝0和3x+y+10＝0﹣…（13分）

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