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第十一章
《立体几何初步》复习课讲义
专项3
立体几何综合过关
一．选择题（共8小题）
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）
A．11π
B．12π
C．13π
D．14π
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
3．如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为（　　）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
5．如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（　　）立方丈
A．
B．
C．
D．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）
A．
B．
C．2
D．
8．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M、N分别为线段A1B、B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是（　　）
A．
B．
C．1
D．
二．多选题（共4小题）
9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则正确命题是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
10．如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有（　　）
A．PD∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
D．ON⊥PB
11．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E、F分别为棱AB、AD的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．DB1⊥CE
B．直线CF与A1B为相交直线
C．若P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，则E、C、P、F四点共面
D．平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使得平面A′BD⊥平面BDC，给出下列四个结论，其中正确的有（　　）
A．A′B⊥CD
B．四面体A′BCD的体积为
C．A′C与BD所成的角为60°
D．四面体A′BCD的外接球的表面积为
三．填空题（共4小题）
13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离　
　．
14．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA＝3，AB＝2，BC，则二面角P﹣BD﹣A的正切值为　
　．
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的一个动点，且，若AE∥平面DB1C，则m的值等于　
　．
16．点E、F、G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是　
　（写出所有真命题的编号）．
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点F、D1、G的截面是正方形；
③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；
④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1QC的体积是定值；
⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．
四．解答题（共6小题）
17．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
18．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点；
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积；
（3）求EC与平面ABCD所成角的正切值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD＝CD＝1，
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．
20．如图，三棱锥P﹣ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，点Q在线段AC上，且AQ＝2QC．
（Ⅰ）证明：CD∥平面OPQ
（Ⅱ）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值的大小为，求PA．
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF．
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．
22．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．第十一章
《立体几何初步》复习课讲义
专项3
立体几何综合过关
一．选择题（共8小题）
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）
A．11π
B．12π
C．13π
D．14π
【解答】解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：
两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，
∵BC＝4，∠ABC＝120°，
∴CO＝2，
∴几何体的体积V12π，
故选：B．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为2，
∴球的半径为，球的表面积是24π，
故选：C．
3．如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为（　　）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为三角形ABD，三角形ACD的中线．
则GF∥AB，且GFAB＝1，GE∥CD，且GECD＝2，
则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数，
又EF⊥AB，GF∥AB，
∴EF⊥GF，
则△GEF为直角三角形，GF＝1，GE＝2，∠GFE＝90°，
则在直角△GEF中，sin∠GEF，
∴∠GEF＝30°．
故选：D．
4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：∵底面是边长为的正三角形，
∴底面正三角形的面积S，
∴棱柱的体积V＝S?hh，解得h．
设点P在面ABC上的投影为点Q，连接PQ、AQ，则∠PAQ即为所求，
∵P为底面A1B1C1的中心，∴Q也为面ABC的中心，
∴PQ＝h，AQ1，
在Rt△PQA中，tan∠PAQ，
∴PA与平面ABC所成角的正切值为．
故选：B．
5．如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC?AC⊥平面BDE，
故平面ABC⊥平面BDE，
平面ADC⊥平面BDE．
故选：C．
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（　　）立方丈
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意1立方丈＝1000立方尺，故该长方体粮仓的体积为立方丈．
设长方体的高为h，则3×4.5×h＝27，∴h＝2（丈）．
∴，∴．
故V．
故选：D．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵PA⊥平面ABCD，MD?平面ABCD，∴PA⊥MD，
又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，
由题意知AM，MD，
在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，
即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，
在Rt△PMD中，PM，MD，
∴S△PMD，当且仅当时，取等号，
此时，BC＝x+y．
故选：B．
8．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M、N分别为线段A1B、B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是（　　）
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：∵M、N分别为线段A1B、B1C上的动点，点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，
∴MN∥平面ACC1A1，
∴A1M＝CN，
当A1M＝CN＝0时，此时MN的中点Q为平面ACC1A1的中心，即A1C的中点
当A1M＝CN时，此时MN的中点Q为BB1的中点，
∴Q点的轨迹△DEF的高，且△DEF为边长为1的等边三角形，
∴点的轨迹的长度是．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则正确命题是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
【解答】解：m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
对于A，∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β，∵n⊥β，∴m∥n，故A正确；
对于B，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；
对于D，∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，∵β∥γ，∴m⊥γ，故D正确．
故选：AD．
10．如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有（　　）
A．PD∥平面OMN
B．平面PCD∥平面OMN
C．直线PD与直线MN所成角的大小为90°
D．ON⊥PB
【解答】解：在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，设棱长为2a，
如图所示：
①O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，
所以：ON∥PD，由于ON?平面ONM，PD?平面MON，
所以：PD∥平面MON．故A正确．
②由于NM∥AB∥CD，ON∥PD，
所以平面PCD∥平面OMN．故B正确．
③由于NM∥CD，
所以直线PD与直线MN所成角的大小为60°，故C错误．
④设锥体的棱长为2a，
所以OB，所以，
所以△OBP为等腰直角三角形，
由于点N为PB的中点，所以ON⊥PB，故D正确．
故选：ABD．
11．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E、F分别为棱AB、AD的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．DB1⊥CE
B．直线CF与A1B为相交直线
C．若P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，则E、C、P、F四点共面
D．平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形
【解答】解：由题意可知，BB1⊥平面ABCD，
故DB1在平面ABCD内的射影为BD，
因为BD与CE不垂直，故DB1与CE不垂直，
故选项A错误；
因为A1F//BC，且AF≠BC，
所以四边形CFA1B为梯形，则CF与BA1必相交，
故选项B正确；
点P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，
取C1D1的中点M，连结A1M，MC，PF，
因为F，P分别为A1D1和D1C1的中点，
所以PF//A1M，
又四边形A1MCE为平行四边形，
所以PF//CE，
故E、C、P、F四点共面，
故选项C正确；
由选项C可知，PF，PC，CE为截面的边，截面又与平面ABB1A1以及平面ADD1A1相交，
则可得截面的两条边，所以截面共有五条边，
故选项D错误．
故选：BC．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使得平面A′BD⊥平面BDC，给出下列四个结论，其中正确的有（　　）
A．A′B⊥CD
B．四面体A′BCD的体积为
C．A′C与BD所成的角为60°
D．四面体A′BCD的外接球的表面积为
【解答】解：如图，将四面体A′BCD放入长方体中，
∵BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BDC，平面A′BD∩平面BDC＝BD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵A′B?平面A′BD，
∴A′B⊥CD，故A正确；
四面体A′BCD的体积VS△BCD?h1；故B错误；
由于BD∥PC，故A′C与BD所成的角即为PC与A′C所成的角，
∵CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，
∴A′C＝A′P，
又∵PC，故△A′PC为等边三角形，A′C与BD所成的角为60°，故C正确；
由CD⊥BD，A'C⊥A'B，可得以BC的中点为球心的球经过A'，B，C，D，
且BC，可得球半径为，则四面体A'﹣BCD的外接球表面积为4π3π，故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离　　．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
∵在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，
∴A（1，0，0），E（1，，1），F（0，，0），B（1，1，0），
，，，
设平面AEF的法向量，
则，取x＝1，得，
∴点B到截面AEC1F的距离：
d．
故答案为：．
14．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA＝3，AB＝2，BC，则二面角P﹣BD﹣A的正切值为　　．
【解答】解：过A作AH⊥BD与H，连接PH，因为PA⊥面ABCD，所以∠PHA即为二面角P﹣BD﹣A的平面角．
在直角△PHB中，因为PA＝3，AH，
所以tan∠PHA
故答案为：．
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的一个动点，且，若AE∥平面DB1C，则m的值等于　1　．
【解答】解：取B1C的中点F，连接EF、DF
∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1B，
∵AD∥B1B，∴EF∥AD，可得EF、AD确定一个平面，设此平面为α
∵AE∥平面DB1C，AE?平面α，且平面DB1C∩α＝DF
∴AE∥DF，结合EF∥AD得四边形AEFD是平行四边形
因此AD＝EFA1A，可得D为A1A的中点
∴1
故答案为：1
16．点E、F、G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是　③④⑤　（写出所有真命题的编号）．
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点F、D1、G的截面是正方形；
③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；
④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1QC的体积是定值；
⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．
【解答】解：以三棱锥A1﹣ABC为例，则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；
∵FG∥D1D，
∴过点F、D1、G的截面为矩形FGD1D，故②错误；
∵FG⊥DE，DE⊥AF，
∴DE⊥平面AFG，
当P在直线FG上运动时，AP?平面AFG，
∴DE⊥AP，故③正确；
当Q在直线BC1上运动时，△AD1Q的面积为定值，C到平面AD1Q的距离为定值，
∴A﹣D1QC的体积是定值，故④正确；
连接D1C，则DC1⊥平面A1BCD1，∴M的轨迹是线段A1D1，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．
四．解答题（共6小题）
17．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，
所以AD⊥半圆弦所在平面，CM?半圆弦所在平面，
∴CM⊥AD，
M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD＝D，
∴CM⊥平面AMD，CM?平面CMB，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：存在P是AM的中点，
理由：连接BD、AC交于O，取AM的中点P，连接OP，连接PD，PB，
可得MC∥OP，MC?平面BDP，OP?平面BDP，
所以MC∥平面PBD．
18．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点；
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积；
（3）求EC与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC
…（1分）
∵BC∥AD
∴EF∥AD
…（2分）
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD
…（3分）
（2）解：∵AP＝AB，BP＝2，AP⊥平面ABCD
∴AB＝AP
…（4分）
∵S矩形ABCD＝AB?BC＝2
∴VP﹣ABCDS矩形ABCD?PA
…（5分）
∴三棱锥E﹣ABC的体积VVP﹣ABCD
…（6分）
（3）解：取AB的中点G，连接EG，CG，则∠ECG为EC与平面ABCD所成角，
∵EG，CG，
∴tan∠ECG．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD＝CD＝1，
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．
【解答】（I）证明：设AC∩BD＝H，连结EH．
在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，
故EH∥PA．又EH?平面BDE，PA不包含于平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
由（I）得，DB⊥AC．
又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，
得DH＝CH，BH，，
在Rt△BHC中，，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为．
20．如图，三棱锥P﹣ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，点Q在线段AC上，且AQ＝2QC．
（Ⅰ）证明：CD∥平面OPQ
（Ⅱ）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值的大小为，求PA．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，交PO于M，连接OD，QM，则
∵点O，D分别是AB，PB的中点，
∴OD∥AP，ODAP，
∴，
∴MQ∥CD，
∵MQ?平面OPQ，CD?平面OPQ，
∴CD∥平面OPQ
（Ⅱ）解：连接OC，则
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AB，PO⊥OC
∵AC＝BC，点O是AB的中点，
∴OC⊥AB，且OA＝OB＝OCa，
作OH⊥PB于H，连接CH，则
∵PO⊥OC，OC⊥AB，PO∩AB＝A，
∴OC⊥平面PAB，
∴CH⊥PB，
∴∠CHO是二面角A﹣PB﹣C的平面角，
∵二面角A﹣PB﹣C的余弦值的大小为，
∴cos∠CHO，
∴tan∠CHO＝2，
在Rt△COH中，∴HOa，
∴HBa，
在Rt△POB中，由射影定理可得OB2＝BH?BP，
∴BP
∴PA．
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF．
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．
【解答】（1）证明：在等腰直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝60°，CB＝CD，
由余弦定理得BD2＝CD2+CB2﹣2CD?CB?cos（180°﹣∠DAB）＝3CD2，
∴BD，
在△ABD中，∠DAB＝60°，BD，∴△ABD是直角三角形，且AD⊥DB，
又AE⊥BD，AD?平面AED，且AD∩AE＝A，
∴BD⊥平面AED．
（2）解：过C作CM⊥BD交BD于M，
∵FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴FC⊥BD，
又FC∩CM＝C，
∴BD⊥平面FCM，
∴CM⊥BD，FM⊥BD，
故∠FMC为二面角F﹣BD﹣C的平面角．…（9分）
在△CDB中，CD＝CB，∠DCB＝120°，∴CM，
∴tan∠FMC2．即二面角F﹣BD﹣C的正切值为2．…（12分）
22．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）AB∥平面DEF，
如图．在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，
又AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．…（4分）
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，且EM，
∵棱锥E﹣DFC的体积为，
∴V，解得a＝2．…（8分）
（Ⅲ）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF．
三角形BDF为正三角形，过B做BK⊥DF，
延长BK交DC于K，过K做KP∥DA，交AC于P．则点P即为所求．
证明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，
∴PK⊥平面BCD，PK⊥DF，又
BK⊥DF，PK∩BK＝K，
∴DF⊥平面PKB，DF⊥PB．又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝KC/2．
故AP：OC＝1：2，AP：AC＝1：3
…（12分）

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