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第十三章
《直线与圆》讲义
第3讲
直线与圆综合过关
一．选择题（共12小题）
1．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，则实数m的值是（　　）
A．﹣2
B．﹣7
C．3
D．1
【解答】解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点
在直线x+2y﹣2＝0上，
∴．
∴m＝3，
故选：C．
2．已知直线l1：（k﹣3）x+（5﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0垂直，则k的值是（　　）
A．1或3
B．1或5
C．1或4
D．1或2
【解答】解：由题意得2（k﹣3）2﹣2（5﹣k）＝0，
整理得k2﹣5k+4＝0，
解得k＝1或k＝4．
故选：C．
3．x轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：x轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值，
就是求解（0，2）关于x轴的对称点，连接对称点与（1，1）的距离，即可，
（0，2）关于x轴的对称点为（0，﹣2），
所以．
x轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是．
故选：C．
4．若方程x2+y2﹣x+y+m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（　　）
A．
B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，2）
【解答】解：由圆的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即
1+1﹣4m＞0，求得
m，
故选：A．
5．圆x2+y2＝50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40＝0的公共弦长为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【解答】解：x2+y2＝50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40＝0②；
②﹣①得：2x+y﹣15＝0为公共弦所在直线的方程，
原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：
故选：C．
6．已知直线l1：ax+4y﹣c＝0与直线l2：6x+8y+3＝0平行，且l1与圆M：x2+（y+c）2＝1相切，则c的值为（　　）
A．±1
B．±
C．±2
D．±3
【解答】解：因为直线l1：ax+4y﹣c＝0与直线l2：6x+8y+3＝0平行，所以a＝3，
又l1与圆M：x2+（y+c）2＝1相切，
所以1，
所以c＝±1．
故选：A．
7．将直线xy＝0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（　　）
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
【解答】解：根据题意得：直线xy＝0绕原点按顺时针方向旋转30°的直线方程为x+y＝0，
∵圆心（2，0）到直线x+y＝0的距离dr，
∴所得直线与圆的位置关系是相切．
故选：A．
8．已知圆C：x2+y2+mx﹣4＝0上存在两点关于直线x﹣y+3＝0对称，则实数m的值（　　）
A．8
B．﹣4
C．6
D．无法确定
【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3＝0对称，
所以直线x﹣y+3＝0过圆心（，0），
从而3＝0，即m＝6．
故选：C．
9．以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4＝0与2x﹣y﹣6＝0同时相切的圆的标准方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5
B．（x+1）2+（y+1）2＝5
C．（x﹣1）2+y2＝5
D．x2+（y﹣1）2＝5
【解答】由题意得，点到两条直线的距离相等，且为圆的半径．
∴，解得a＝1．
∴r
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5．
故选：A．
10．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，
∴整理得：（x﹣4）2+y2＝1，∴圆心为C（4，0），半径r＝1．
又∵直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴点C到直线y＝kx+2的距离小于或等于2，
∴2，
化简得：3k2+4k≤0，解之得k≤0，∴k的最小值是．
故选：A．
11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
【解答】解：∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，
故点P是圆O与圆C的交点，
因此两圆相切或相交，即|m﹣1|m+1，
解得4≤m≤6．
∴m的最小值为4．
故选：D．
12．过直线y＝2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，
直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，
∵圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2，
∴点M坐标为（3，2），半径r，
点M到直线l：2x﹣y＝0的距离为PM，
由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM，
得∠APM＝30°，
∴∠APB＝2∠APM＝60°．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是　（﹣1，1）　．
【解答】解：∵点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，
∴（1﹣a）2+（1+a）2＜4．
即a2＜1．
解得：﹣1＜a＜1．
∴实数a的取值范围为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
14．已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5＝0上任意一点，P点关于直线2x+y﹣1＝0的对称点在圆上，则实数a等于　﹣10　．
【解答】解：根据题意得：圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，
由圆的方程得：圆心C坐标为（﹣2，），
代入直线2x+y﹣1＝0中，得：﹣41＝0，
解得：a＝﹣10．
故答案为：﹣10
15．若直线x+y+m＝0上存在点P可作圆O：x2+y2＝1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为　　．
【解答】解：由题意可得，当PO和直线x+y+m＝0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO＝30°，PO＝2r＝2，
则圆心O到直线x+y+m＝0的距离小于等于2，即2，解得m∈，
故答案为．
16．当且仅当a＜r＜b时，圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y﹣15＝0的距离为2，则以（a，b）为圆心，且和直线4x﹣3y+1＝0相切的圆的方程为　（x﹣1）2+（y﹣5）2＝4　．
【解答】解：圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣15＝0的距离d3，
由于圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y﹣15＝0的距离为2，
故有|d﹣r|＜2，即|3﹣r|＜2，解得1＜r＜5．
再由a＜r＜b可得，a＝1，b＝5，
故（1，5）到直线4x﹣3y+1＝0的距离为2，
∴以（a，b）为圆心，且和直线4x﹣3y+1＝0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2＝4．
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4．
三．解答题（共6小题）
17．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
【解答】解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0，即m（x﹣1）﹣y+1＝0，恒过（1，1），
代入x2+y2﹣2y﹣4＝1+1﹣2﹣4＜0，所以（1，1）在圆的内部，
所以直线l与圆C相交；
（2）圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，即x2+（y﹣1）2＝5，圆心（0，1），半径为，
因为|AB|＝3，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
所以m＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．
18．自A（4，0）引圆x2+y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
【解答】解：方法一
（直接法）
设P（x，y），连接OP，则OP⊥BC，…（2分）
①当x≠0时，kOP?kAP＝﹣1，即，即x2+y2﹣4x＝0．（★）…（8分）
②当x＝0时，P点坐标（0，0）是方程（★）的解，…（12分）
∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2﹣4x＝0（在已知圆内的部分）．…（14分）
方法二
（定义法）
由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2，0），，
由圆的定义知，∴P的轨迹方程为x2+y2﹣4x＝0（在已知圆内的部分）．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若以为直径的圆过原点O，求圆C的方程．
【解答】解：（1）因为22+42﹣4a＞0，所以a＜5．
因为M（0，1）在圆C内，所以12﹣4+a＜0，所以a＜3．
综上知a＜3…（3分）
因为弦AB的中点为M（0，1），所以直线l⊥CM．
因为kCM＝﹣1，所以kl＝1．
所以直线l的方程为y＝x+1…（7分）
（2）由得2x2+a﹣3＝0，故，x2．
不妨设A（，1），B（，1）…（10分）
则，故a＝2…（13分）
故圆C：x2+y2+2x﹣4y+2＝0…（14分）
20．已知点P（1，a）和圆x2+y2＝4．
（1）若过点P的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若a，过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）若过点P的圆的切线只有一条，则知点P圆上，
则1+a2＝4，解得a＝±；
当a时，点P（1，），切线方程为xy﹣4＝0，
当a时，点P（1，），切线方程为xy﹣4＝0，
（2）设原点O到AC、BD的距离为d1，d2，（d1≥0，d2≥0）
则，
于是|AC|，|BD|，
由AC、BD相互垂直，则四边形ABCD的面积
S2，
∵d12+d22≥2d1d2，则d1d2，当且仅当d1＝d2时取“＝”
则d12d22，从而S＝25，
即：四边形ABCD的面积最大值为5．
21．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．
（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆
∴C（﹣1，2），|P1P2|
∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，
当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则，
∴k＝2±，即切线方程为y＝（2±）x．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则，
∴a＝﹣1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0．
综上知，切线方程为y＝（2±）x或x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；
（Ⅱ）因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3＝0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3＝0时，即直线PO的方程为2x+y＝0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（，）．
22．已知圆C过点M（0，﹣2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0
则有（2分）
解得（4分）
∴圆C的方程为：x2+y2﹣6x+4y+4＝0；（5分）
（2）设符合条件的实数a存在，
由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l上．
所以l的斜率kPC＝﹣2，
而，所以．（7分）
把直线ax﹣y+1＝0即y＝ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9＝0．
由于直线ax﹣y﹣1＝0交圆C于A，B两点，
故△＝36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，
即﹣2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．（9分）
由于，假设错误，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．（10分）第十三章
《直线与圆》讲义
第3讲
直线与圆综合过关
一．选择题（共12小题）
1．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，则实数m的值是（　　）
A．﹣2
B．﹣7
C．3
D．1
2．已知直线l1：（k﹣3）x+（5﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0垂直，则k的值是（　　）
A．1或3
B．1或5
C．1或4
D．1或2
3．x轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
4．若方程x2+y2﹣x+y+m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（　　）
A．
B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，2）
5．圆x2+y2＝50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40＝0的公共弦长为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
6．已知直线l1：ax+4y﹣c＝0与直线l2：6x+8y+3＝0平行，且l1与圆M：x2+（y+c）2＝1相切，则c的值为（　　）
A．±1
B．±
C．±2
D．±3
7．将直线xy＝0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x﹣2）2+y2＝3的位置关系是（　　）
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
8．已知圆C：x2+y2+mx﹣4＝0上存在两点关于直线x﹣y+3＝0对称，则实数m的值（　　）
A．8
B．﹣4
C．6
D．无法确定
9．以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4＝0与2x﹣y﹣6＝0同时相切的圆的标准方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5
B．（x+1）2+（y+1）2＝5
C．（x﹣1）2+y2＝5
D．x2+（y﹣1）2＝5
10．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
12．过直线y＝2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二．填空题（共4小题）
13．若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是　
　．
14．已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5＝0上任意一点，P点关于直线2x+y﹣1＝0的对称点在圆上，则实数a等于　
　．
15．若直线x+y+m＝0上存在点P可作圆O：x2+y2＝1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为　
　．
16．当且仅当a＜r＜b时，圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰好有两点到直线3x+4y﹣15＝0的距离为2，则以（a，b）为圆心，且和直线4x﹣3y+1＝0相切的圆的方程为　
　．
三．解答题（共6小题）
17．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
18．自A（4，0）引圆x2+y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若以为直径的圆过原点O，求圆C的方程．
20．已知点P（1，a）和圆x2+y2＝4．
（1）若过点P的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若a，过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值．
21．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．
（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
22．已知圆C过点M（0，﹣2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

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