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第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第3讲
空间向量综合过关
一．选择题（共8小题）
1．对于任意空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），给出下列三个命题：
①∥?；
②若a1＝a2＝a3＝1．则为单位向量；
③⊥?a1b1+a2b2+a3b3＝0．
其中真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：对于①∥?存在实数λ使得，而其中一个分坐标为0，表示不成立，是假命题；
对于②若a1＝a2＝a3＝1．则||1，不为单位向量，不正确；
对于③非0⊥?a1b1+a2b2+a3b3＝0，因此不正确．
综上可得：真命题的个数为0．
故选：A．
2．已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：∵点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），
∴|AB|2＝（t+1）2+（2t﹣1）2+（t﹣t）2＝5t2﹣2t+2
∵t时，|AB|2＝5t2﹣2t+2＝5（t）2取得最小值，
∴当t时，|AB|的最小值为
故选：C．
3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（　　）
A．0
B．
C．
D．
【解答】解：建立如图坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，
∴D1（0，0，3），B（2，2，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），
∴（﹣2，﹣2，3），
（﹣2，2，0）．
∴cos，0．
∴AC与BD1所成角的余弦值为0．
故选：A．
4．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF：FD＝（　　）
A．1：2
B．1：1
C．3：1
D．2：1
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
设正方形ABCD的边长为1，
则B（1，0，0），E（，1，0），P（0，0，a），
设F（0，y，0），
则（﹣1，y，0），（，1，﹣a），
因为BF⊥PE，所以?y＝0，
解得y，即F（0，，0），
所以F为AD的中点，
所以AF：FD＝1：1．
故选：B．
5．如图，点O是正方形纸片ABCD的中心，点E，F分别为AD，BC的中点，现沿对角线AC把纸片折成直二面角，则纸片折后∠EOF的大小为（　　）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解答】解：过F作FG垂直于AC，G在AC上，连接GE；
∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，
∴FG⊥平面ACD（直二面角的性质），
∵FO为平面ADC的斜线，OE在平面ADC内，
由三余弦定理得：cos∠EOF＝cos∠FOG?cos∠AOE…（1）
∵∠FOG＝180°﹣∠AOF，∠GOE＝180°﹣∠AOE（邻补角定义），代入（1）得：
cos∠EOF＝（﹣cos∠AOF）?（﹣cos∠AOE），
即cos∠EOF＝cos∠AOF×cos∠AOE．
由∠AOF＝135°，∠AOE＝45°
∴cos∠EOF＝cos135°?cos45°
则∠EOF＝120°
故选：C．
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AB，BC，BB1的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（　　）
A．在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG平行
B．在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG垂直
C．平面AB1C∥平面EFG
D．直线AB1与EF所成角为45°
【解答】解：设AC，BD的交点为O，BD与EF的交点为P，连接PG，OB1，
则P是OB的中点，∴PG∥OB1，
∴OB1∥平面EFG，故A正确；
在平面BDD1B1内过点O作直线OB1的垂线a，则a⊥PG，
又EF⊥平面BDD1B1，故EF⊥a，
又PG∩EF＝P，故而a⊥平面EFG，故B正确；
∵EG∥AB1，EF∥AC，且AB1与AC相交，EG与EF相交，
∴平面AB1C∥平面EFG，故C正确；
∵AC∥EF，∴∠CAB1为直线AB1与EF所成角，
又△AB1C是等边三角形，故∠CAB1＝60°，故D错误．
故选：D．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，
∴B1C1⊥A1C1，
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，
∴B1C1⊥平面ACC1A1．
如图，在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，
由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角，
∴∠B1EC1＝60°．
由B1C1＝2知，C1E
设AD＝x，则DC．
∵△DCC1的面积为1，
∴．．1，
解得x
即AD
故选：A．
8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的外接球体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，
AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，
即∠AC1B＝30°，可得BC12．
可得BB1．
∴该长方体的对角线长为，其外接球的半径为2，
则该长方体的外接球体积为．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．下列命题中，正确的命题有（　　）
A．||+||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，2，3}构成空间的另一个基底
【解答】解：对于A，当||+||＝||时，，共线成立，但当，同向共线时，||+||≠||，
所以||+||＝||是，共线的充分不必要条件，故A不正确．
对于B，当时，∥，不存在唯一的实数λ，使得λ，故B不正确．
对于C，由于，而2﹣4+3＝1，
根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面，故C正确．
对于D，若{，，}为空间的一个基底，则，，不共面，
由基底的定义可知，，2，3不共面，
则{，2，3}构成空间的另一个基底，故D正确．
故选：CD．
10．给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．若直线l的方向向量（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直
B．若直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α⊥β
D．若平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1
【解答】解：对于A，，则，∴l与m垂直，故A是真命题；
对于B，，则，∴l∥α或l?α，故B是假命题；
对于C，，∴α⊥β不成立，故C是假命题；
对于D，，，∵（1，u，t）是平面α的法向量，
∴，得u+t＝1，故D是真命题．
故选：AD．
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列结论正确的是（　　）
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
【解答】解：如图，取BD的中点O，连结AO，CO，AC，
由AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，
又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，故A正确；
∵ACAD＝CD，∴△ACD是等边三角形，故B正确；
∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成角，且∠ABD＝45°，故C错误；
，设AB＝1，
则（）2，
∴1＝1+2＝1+2（）+2（）+2cos，
∴cos，∴60°，
∴AB与CD所成角为60°，故D正确．
故选：ABD．
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【解答】解：取DD1
中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，
∵AM与DD1
不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；
取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确；
把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S，故C正确；
假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，
连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．
故选：BC．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（7，5，λ），若，则λ＝　﹣3　，若，，共面，则λ＝　　．
【解答】解：由题意，可知：
①⊥?2×7+（﹣1）×5+3λ＝0，解得λ＝﹣3．
②，，共面?存在两个实数m、n，使得mn，
即，根据上面两个式子，可得．
∴λ＝32．
故答案为：﹣3，．
14．P是边长为4的正方形ABCD所在平面外一点，AP＝2，且AP与平面ABCD成45°角，则CP的最小值为　　．
【解答】解：根据题意，当平面PAC垂直于平面ABCD时，CP
最小
在△PAC中，
∴
故答案为
15．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝　　．
【解答】解：∵点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，二面角α﹣l﹣β的大小为60°，
∴，120°，且||＝||＝1，||＝2
?0，?0，?
∵，
∴||＝||
2，
即3，即||
故答案为：
16．已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于　　．
【解答】解：由题意画出图形如图：
因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E＝2EB，CF＝2FC1，
所以BE：CF＝1：2
所以SB：SC＝1：2，
设正方体的棱长为：a，所以ASa，BP，BE，在RT△PBE中，tan∠EPB，
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BAAD＝m，VA⊥平面ABCD．
（1）求证：CD⊥平面VAC；
（2）若VAm，求CV与平面VAD所成角的大小．
【解答】（1）证明：连结AC，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
取AD中点G，连CG，因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形．
所以CG＝GD，∠CGD＝90°，∴∠DCG＝45°，
∴∠DCA＝90°……………………（4分）
所以CD⊥CA，
又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，
CD⊥平面VAC………………（6分）
（2）解：法1：连VG
由?CG⊥面VAD，∴∠CVG是CV与平面VAD所成的角………………（11分）
VC2m；CG＝m，∴∠CVG＝30°
∴CV与平面VAD所成角为30°………………（14分）
法2：以A为原点，射线AB，AD，AV所在直线为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD法向量（m，0，0），又，设向量与夹角为θ，则cosθ，θ，CV与平面VAD所成的角为．
18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF．
∵AD?平面FBC，DE?平面FBC，BC?平面FBC，BF?平面FBC，
∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，
又AD∩DE＝D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
解：（2）连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，
又∵O为AC中点，且FA＝FC，∴AC⊥FO，
又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz
设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF，
∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），F（0，0，），
（），（），（，0，），
设平面BCF的一个法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，﹣1），
设直线AF与平面BCF所成角为θ，
则sinθ，
∴cosθ，
∴直线AF与平面BCF所成角的余弦值为．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；
（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C是边长为4的正方形，所以AA1⊥AC，…（1分）
因为平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，…（2分）
所以AA1⊥平面ABC…（3分）
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AC，AB，AA
所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略）
则A，B，C，A1，B1，C1点坐标分别为：A（0，0，0）；B（0，3，0）；C（4，0，0）；A1（0，0，4）；B1（0，3，4）；C1（4，0，4）…（5分）
则
设平面CA1B1的法向量
所以，所以（6分）
令x′＝1，所以，又易知平面A1B1C1的法向量为（7分）
所以所以二面角C﹣A1B1﹣C1的大小为45°…（8分）
（Ⅲ）设E（x1，y1，z1）；平面AA1C1C的法向量．
因为点E在线段AB1上，所以假设AE＝λAB1，所以（0＜λ≤1）
即E（0，3λ，4λ），所以．…（10分）
又因为平面AA1C1C的法向量易知．
而DE∥面AA1C1C，所以，所以（11分）
所以点E是线段AB1的中点．…（12分）
若采用常规方法并且准确，也给分．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥DC．已知AD＝DC＝PA＝1，AB＝2．
（Ⅰ）
求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）
设M为PB上的点，且PMPB，求证：PD∥平面ACM；
（Ⅲ）
在（Ⅱ）的条件下，求二面角P﹣AC﹣M的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∵（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），
∴0，0．
∵AD∩AP＝A，∴DC⊥平面PAD．
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵PMPB，∴M点的坐标为（0，）．
∴（0，），（﹣1，，）．
设平面ACM的法向量为（x，y，z），
则有，令x＝1，得（1，﹣1，1），
∵（1，0，﹣1），∴0，即．
∵PD?平面ACM，
∴PD∥平面ACM．
解：（Ⅲ）
设平面ACP的法向量为（a，b，c），
∵（0，0，1），（1，1，0），
则有，∴，
令a＝1，得（1，﹣1，0）．
由（Ⅱ）可知平面ACM的法向量为（1，﹣1，1），
∴cos．
即二面角P﹣AC﹣M的余弦值为．
21．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD，AB＝BC＝1，AD＝2，E为AD的中点，O为AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2所示．
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角B﹣A1C﹣D的大小．
【解答】解：（1）证明：在图一中，由AB＝BC＝1，AD＝2，且，∴BE⊥AC，
则在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
∵OA1∩OC＝O，∴BE⊥平面A1OC，
而图1中，AD∥BC，且ED＝BC＝1，
∴四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，
∴CD⊥平面A1OC；
（2）以O为原点，OB方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
∴B（，0，0），E（，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），
（，，0），（0，，），（，0，0），
设平面A1BC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设平面A1CD的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（0，1，1），
cos．
∴二面角B﹣A1C﹣D的大小为．
22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
【解答】证明：（1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC
又BC∥AD，因此AE⊥AD
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD＝A
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD
所以AE⊥PD．（3分）
解：（2）设AB＝2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（1）知AE⊥平面PAD
所以∠EHA为EH与平面PAD所成的角
在Rt△EAH中，，
所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
因为，此时
因此．又AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝2．（5分）
解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC
所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，（7分）
在Rt△AOE中，，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，
又
在Rt△ESO中，，（9分）
即所求二面角的余弦值为．（10分）
解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E，F分别为BC，PC的中点，
所以
所以
设平面AEF的一法向量为m＝（x1，y1，z1）
则因此
取z1＝﹣1，则m＝（0，2，﹣1），（7分）
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面AFC
故为平面AFC的一法向量，又
所以．（9分）
因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．（10分）
解法三：建立如图所示的空间直角坐标系，
设菱形ABCD的边长为2，则，
设P（0，0，t）（t＞0）
由P，H，D三点共线可设，则H（0，2﹣2λ，λt），（4分）
∴，又平面PAD的一个法向量
设EH与平面PAD所成角为θ，则（5分）
令g（λ）＝λ2t2+4（λ﹣1）2+3＝（4+t2）λ2﹣8λ+7（0≤λ≤1）
∴（6分）
∴，（7分）
∴，
设平面AEF的法向量（x，y，z），
则，取y＝2，得，
设平面AFC的一个法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（8分）
∴，（9分）
又∵二面角E﹣AF﹣C是锐二面角
∴二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．（10分）第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第3讲
空间向量综合过关
一．选择题（共8小题）
1．对于任意空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），给出下列三个命题：
①∥?；
②若a1＝a2＝a3＝1．则为单位向量；
③⊥?a1b1+a2b2+a3b3＝0．
其中真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（　　）
A．0
B．
C．
D．
4．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF：FD＝（　　）
A．1：2
B．1：1
C．3：1
D．2：1
5．如图，点O是正方形纸片ABCD的中心，点E，F分别为AD，BC的中点，现沿对角线AC把纸片折成直二面角，则纸片折后∠EOF的大小为（　　）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AB，BC，BB1的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（　　）
A．在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG平行
B．在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG垂直
C．平面AB1C∥平面EFG
D．直线AB1与EF所成角为45°
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．
8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的外接球体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共4小题）
9．下列命题中，正确的命题有（　　）
A．||+||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，2，3}构成空间的另一个基底
10．给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．若直线l的方向向量（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直
B．若直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α⊥β
D．若平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则下列结论正确的是（　　）
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
三．填空题（共4小题）
13．已知向量（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（7，5，λ），若，则λ＝　
　，若，，共面，则λ＝　
　．
14．P是边长为4的正方形ABCD所在平面外一点，AP＝2，且AP与平面ABCD成45°角，则CP的最小值为　
　．
15．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝　
　．
16．已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于　
　．
四．解答题（共6小题）
17．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BAAD＝m，VA⊥平面ABCD．
（1）求证：CD⊥平面VAC；
（2）若VAm，求CV与平面VAD所成角的大小．
18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；
（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥DC．已知AD＝DC＝PA＝1，AB＝2．
（Ⅰ）
求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）
设M为PB上的点，且PMPB，求证：PD∥平面ACM；
（Ⅲ）
在（Ⅱ）的条件下，求二面角P﹣AC﹣M的余弦值．
21．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD，AB＝BC＝1，AD＝2，E为AD的中点，O为AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2所示．
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角B﹣A1C﹣D的大小．
22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

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