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第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第1讲
空间向量及其运算
知识梳理.空间向量及其运算
一、空间向量的概念
1．空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
2．几类特殊的向量
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a．的相反向量：
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
二、空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
　
图1　　　　　
　　　图2
1．加法与减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
①当λ＞0时，与a的方向相同；
②当λ＜0时，与a的方向相反．
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
3．空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．
三、空间向量的数量积
1．空间向量的夹角：
(1)夹角的定义：
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
向量a，b的数量积记作a·b，不能表示为a×b或ab，两向量的数量积其结果为实数，而不是向量，其符号由两向量的夹角θ决定，当0≤θ＜时，a·b＞0，当＜θ≤π时，a·b＜0，当θ＝时，a·b＝0.在进行向量的数量积运算时要注意，向量的数量积不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c?b＝c.
(3)空间两向量的数量积的性质：
①a⊥b?a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；或|a|＝
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
⑦若θ为a，b的夹角，则cosθ＝；
(4)数量积的几何意义
①向量的投影：如图所示，
过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.
②数量积的几何意义：
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
题型一.
空间向量的线性运算——加法、减法、数乘运算
1．下列说法中正确的是（　　）
A．若||＝||，则、的长度相同，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则||＝||
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有
【解答】解：A.，说明与模长相等，但方向不确定；
B．对于的相反向量，则，故，从而B正确；
C．空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，因此不正确；
D．一般的四边形不具有，只有平行四边形才能成立，故不正确．
故只有B正确．
故选：B．
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，
，，，
∴（）（）
（）（）
．
故选：C．
3．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，，用，，表示，则　　．
【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：
（）
（）
，
故答案为：
题型二.空间向量的数量积
1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则?的值为　a2　．
【解答】解：如图所示，
∵，．
∴?
．
故答案为：．
2．在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．
D．
【解答】解：如图，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，E是棱AB中点，
所以，，
所以?（）1﹣2＝﹣1，
故选：A．
3．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（　　）
A．3
B．
C．6
D．
【解答】解：，
则222
＝1+1+1+3×2×1×1×cos60°
＝6．
∴．
故选：D．
4．如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，
且λ，记，，．
∴λ（）＝λ，
（2）根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|，且cos∠DOE，
||2＝||22﹣2?2＝（λ）2﹣2×λ×1cos∠DOEλ2﹣λ（λ）2，
则当λ时，||2取得最小值，
则||的最小值为．
知识梳理.空间向量基本定理
一、共面向量定理
1．共线向量基本定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝λb.
2．平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
3．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
二、空间向量基本定理
1．空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
2．相关概念
(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
题型三.
空间向量的共面定理
1．有下列命题：
①若与，b共面，则xy（x，y∈R）；
②若xy（x，y∈R），则与，共面；
③若、共线，则与所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz
（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的命题为（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
【解答】解：①若与，共面，则xy（x，y∈R）不一定成立，如，而．①错误；
②若xy（x，y∈R），则由平面向量基本定理得与，共面．②正确；
③若、共线，则与所在直线平行不正确，可能在同一条直线上；故错
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
如图所示平行六面体，xyz满足条件，但是P、A、B、C四点不共面．④错误．
故选：B．
2．已知3240，（x+1）82y，且、、不共面，若∥，求x，y的值．
【解答】解：∵∥，且是非零向量
∴λ，即（x+1）82y3λ2λ4λ．
又∵向量，，不共面
∴，解之得x＝﹣13，y＝8
3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若M，A，B，C四点共面，
则a，（a+b+c＝1），
在A中，，不成立；
在B中，1，不成立；
在C中，，不成立；
在D中，，成立．
故选：D．
题型四.
空间向量的基本定理
1．（2012秋?瓯海区校级期中）以下四个命题中正确的是（　　）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
【解答】解：空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故错误；
若{，，}为空间向量的一组基底，则，，三个向量互不共面；则，，，也互不共面，故{，，}可又构成空间向量的一组基底，故B正确；
?△ABC的∠A为直角?△ABC为直角三角形，但△ABC为直角三角形时，∠A可能为锐角，此时，故C错误；
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误
故选：B．
2．（2016秋?福州期末）在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵点P为棱BC的中点，
∴（），
∴（），
又∵，，，
∴（）．
故选：B．
3．（2014秋?龙潭区校级期末）已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若，则实数λ＝　3　．
【解答】解：由于G是三角形ABC的重心，则有
，
故
又由已知故可得λ＝3故答案为：3
知识梳理.空间向量的坐标运算
一、空间直角坐标系
1．在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
3．z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
4．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
5．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
6．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
二、空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
1．a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
2．λa＝(λx1，λy1，λz1)；
3．若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
4．a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
5．|a|＝＝；
6．当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
1．当a≠0时，a∥b?b＝λa?(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)?，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b?＝＝．
2．a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
四、空间向量坐标的应用
已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)。
1．的坐标表示：＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
2．A、B两点距离公式：AB＝||＝.
3．中点坐标公式：设AB的中点为M。则M点的坐标为(，，)
题型五.
空间向量的坐标运算
1．向量（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（　　）
A．∥，⊥
B．∥，⊥
C．∥，⊥
D．以上都不对
【解答】解：∵，∴，
又∵2×2+0+1×4＝0，∴，
故选：C．
2．已知，则向量与的夹角是（　　）
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
【解答】解：，，
∴，
∴，
∴与的夹角为90°．
故选：A．
3．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为　　．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），
（1，0，0）（0，0，1）
，
故答案为：．
4．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；
（3）若向量与共线，求实数λ的值．
【解答】解：（1）∵空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），，．
∴（1，1，0），（﹣1，0，2），
设与的夹角为θ，
则cosθ．
（2）∵（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
k（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4），
∵向量k与k互相垂直，
∴（k）?（k）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，
整理，得2k2+k﹣10＝0，
解得实数k的值为或2．
（3）∵（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴（λ，λ，0）﹣（﹣1，0，2）＝（λ+1，λ，﹣2），
（1，1，0）﹣（﹣λ，0，2λ）＝（1+λ，1，﹣2λ），
∵向量与共线，
∴，解得实数λ的值为﹣1或1．
课后作业.
空间向量及其运算
1．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【解答】解：因为三角形ABC顶点分别为A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）
所以：AB；
AC；
BC
所以：AC2+BC2＝89＝AB2
由勾股逆定理得：
∠ACB＝90°
即三角形为直角三角形．
故选：B．
2．如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．若xyz，则x+y+z等于（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
【解答】解：
，
∵xyz，
∴x＝﹣1，y＝1，z，
∴x+y+z
故选：C．
3．若向量，，且，则实数λ的值是（　　）
A．0
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【解答】解：因为，，
所以，
因为，
所以1+λ+1＝0，
解得λ＝﹣2．
故选：C．
4．空间两个动点A（1﹣x，1﹣x，x），B（2，3﹣x，x），则的最小值为　2　．
【解答】解|AB|
当x＝﹣1时，|AB|最小为2
故答案为：2．
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是　锐角　三角形
【解答】解：∵，，，
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，
设
AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC，CD，BD，
△BCD中，有余弦定理得cosB0，
同理可证，cosC＞0，cosD＞0，
∴B，C，D都是锐角，
∴△BCD是锐角三角形，
故答案为
锐角．
6．已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若k与k2互相垂直，求实数k的值．
【解答】解：（1）设（x，y，z），
则||＝3，即有x2+y2+z2＝9，
且∥，则λ（﹣2，﹣1，2），
即有x＝﹣2λ，y＝﹣λ，z＝2λ，
则4λ2+λ2+4λ2＝9，解得，λ＝±1，
则有（﹣2，﹣1，2），或（2，1，﹣2）；
（2）由于（1，1，0），（﹣1，0，2），
则1+0+0＝﹣1，||，||．
∴cos；
（3）若k与k2互相垂直，
则（k）?（k2）＝0，
即有k22k0，
即为2k2+k﹣10＝0，
解得，k＝2或．第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第1讲
空间向量及其运算
知识梳理.空间向量及其运算
一、空间向量的概念
1．空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
2．几类特殊的向量
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a．的相反向量：
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
二、空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
　
图1　　　　　
　　　图2
1．加法与减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
①当λ＞0时，与a的方向相同；
②当λ＜0时，与a的方向相反．
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
3．空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．
三、空间向量的数量积
1．空间向量的夹角：
(1)夹角的定义：
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
向量a，b的数量积记作a·b，不能表示为a×b或ab，两向量的数量积其结果为实数，而不是向量，其符号由两向量的夹角θ决定，当0≤θ＜时，a·b＞0，当＜θ≤π时，a·b＜0，当θ＝时，a·b＝0.在进行向量的数量积运算时要注意，向量的数量积不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c?b＝c.
(3)空间两向量的数量积的性质：
①a⊥b?a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；或|a|＝
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
⑦若θ为a，b的夹角，则cosθ＝；
(4)数量积的几何意义
①向量的投影：如图所示，
过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.
②数量积的几何意义：
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
题型一.
空间向量的线性运算——加法、减法、数乘运算
1．下列说法中正确的是（　　）
A．若||＝||，则、的长度相同，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则||＝||
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，，用，，表示，则　
　．
题型二.空间向量的数量积
1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则?的值为　
　．
2．在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．
D．
3．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（　　）
A．3
B．
C．6
D．
4．如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
知识梳理.空间向量基本定理
一、共面向量定理
1．共线向量基本定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝λb.
2．平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
3．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
二、空间向量基本定理
1．空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
2．相关概念
(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
题型三.
空间向量的共面定理
1．有下列命题：
①若与，b共面，则xy（x，y∈R）；
②若xy（x，y∈R），则与，共面；
③若、共线，则与所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz
（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的命题为（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．已知3240，（x+1）82y，且、、不共面，若∥，求x，y的值．
3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（　　）
A．
B．
C．
D．
题型四.
空间向量的基本定理
1．（2012秋?瓯海区校级期中）以下四个命题中正确的是（　　）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
2．（2016秋?福州期末）在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2014秋?龙潭区校级期末）已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若，则实数λ＝　
　．
知识梳理.空间向量的坐标运算
一、空间直角坐标系
1．在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
3．z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
4．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
5．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
6．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
二、空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
1．a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
2．λa＝(λx1，λy1，λz1)；
3．若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
4．a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
5．|a|＝＝；
6．当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
1．当a≠0时，a∥b?b＝λa?(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)?，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b?＝＝．
2．a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
四、空间向量坐标的应用
已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)。
1．的坐标表示：＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
2．A、B两点距离公式：AB＝||＝.
3．中点坐标公式：设AB的中点为M。则M点的坐标为(，，)
题型五.
空间向量的坐标运算
1．向量（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（　　）
A．∥，⊥
B．∥，⊥
C．∥，⊥
D．以上都不对
2．已知，则向量与的夹角是（　　）
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
3．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为　
　．
4．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；
（3）若向量与共线，求实数λ的值．
课后作业.
空间向量及其运算
1．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
2．如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．若xyz，则x+y+z等于（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
3．若向量，，且，则实数λ的值是（　　）
A．0
B．1
C．﹣2
D．﹣1
4．空间两个动点A（1﹣x，1﹣x，x），B（2，3﹣x，x），则的最小值为　
　．
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是　
　三角形
6．已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若k与k2互相垂直，求实数k的值．

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