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第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第2讲
空间向量在立体几何中的应用
知识梳理.建立空间直角坐标系与求法向量
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
2．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
3．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
二、平面的法向量
1．平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
2．平面的法向量的性质
(1)如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
(2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
(3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
3．如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α，或l?α．
4．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合?n1∥n2；α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0．
三、三垂线定理及其逆定理
1．射影：(1)已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．
(2)图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．
2．三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
题型一.
求平面的法向量
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为L，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
【解答】解：如图所示，
A（L，0，0），B（L，L，0），C（0，L，0），A1（L，0，L），
G，E，F．
∴，．
设平面GEF的一个法向量为（x，y，z）．
则，∴，取（1，1，1）．
2．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面积ABCD为矩形，
PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，，0），
D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），
（0，，），（1，，0），
设平面ACE的法向量（x，y，z），
则，取y，得（3，，3）．
∴平面ACE的一个法向量为（3，，3）．
题型二.
利用空间向量证明平行与垂直关系
1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝ABPD＝1．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）证明：PC∥平面BAQ．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DP为y轴的正半轴，射线DC为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz．
（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），
则，，，
所以，，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D，
故PQ⊥平面DCQ；
（2）根据题意，，，，
故有，，所以为平面BAQ的一个法向量．
又因为，且，即DA⊥PC，且PC?平面BAQ，
故PC∥平面BAQ．
2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E?平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）解：存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQA1B1，
∵DE∥A1B1，且DEA1B1，∴PQ∥DE且PQ＝DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PD∥QE
又PD?平面AB1E，QE?平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时APAA1．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a．
（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1．
【解答】证明：（1）BC1∥AD1，BC1?平面BDC1，
AD1?平面BDC1，
所以以AD1∥平面BDC1
同理可证B1D1∥平面BDC1，
AD1∩B1D1＝D1，AD1?平面AB1D1，
B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1…（6分）
（2）∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，
A1C1∩AA1＝A1，A1C1?平面A1C，AA1?平面A1C
∴B1D1⊥平面A1C，B1D1?平面AB1D1，
∴平面A1C⊥平面AB1D1．
…（12分）
4．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
【解答】证明：连结AC交BD于O，连结OE．
则OE是△SAC的中位线，
则OE∥SA，
∵AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
知识梳理.异面直线所成角
1．空间中两条直线所成的角
设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin
θ＝sin〈v1，v2〉，cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|．
2．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角：
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2?v1⊥v2，cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|．
3．求两直线所成的角应注意的问题：
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝．但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．
题型三.异面角
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，AB＝2，AD＝2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），
A（0，0，0），E（1，，1），
（0，2，0），（1，，1），
设异面直线BC与AE所成的角为θ，
cos，
∴异面直线BC与AE所成的角的大小为．
故选：B．
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围是　　．
【解答】解：设BP与AD1所成角为θ．
如图所示，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
设|AB|＝1．则B（0，0，0），C（1，0，0），A1（0，1，1），C1（1，0，1），D1（1，1，1），
（1，0，1），（1，0，0），（﹣1，1，1）．
设λ，则（1﹣λ，λ，λ），0≤λ≤1，
∴cos，
∈[]，
∴θ∈[，]．
∴BP与AD1所成角的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
3．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；
（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．
【解答】（I）证明：如图所示，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），Q（0，1，1），C（1，1，0），
（0，2，﹣2），（﹣1，1，1），
由?2﹣2＝0，
∴⊥，
∴PD⊥BQ；
（Ⅱ）解：（﹣1，﹣1，2），
cos，．
∴异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．
知识梳理.线面角
一、直线与平面的夹角
1．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°。?
2．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0°。
3．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．?
4．斜线和平面所成角的范围：(0°，90°)。
二、最小角定理
三、用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos
θ＝sin〈v，n〉或sin
θ＝|cos〈v，n〉|．
题型四.
线面角
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1的地面边长为a，侧棱长为，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，，0），C1（0，0，），A1（，，），B（0，a，0），
（，，），（，，0），（0，0，），
设平面ABB1A1的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，0），
设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos|，
∴θ＝30°，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．
故选：A．
2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于直线l与平面α所成角为，直线l与平面α所成角是直线l与平面α
内所有直线成的角中最小的一个，
而直线l与平面α所成角的范围是[0，]，直线a在平面α内，且与直线l异面，
故直线l与直线a所成的角的取值范围是．
故选：C．
3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．
【解答】解：（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DEBC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA＝AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴ADAB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，
∴BCAB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA＝a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．
（1）∵，，
∴，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴，，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵（），（0，a，a），
∴cos∠DAE，sin∠DAE．
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．（12分）
知识梳理.二面角
一、二面角及其度量
1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α?l?β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A?l?B，二面角的范围为[0，π]．
3．二面角的平面角：在二面角α?l?β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α?l?β的平面角．
4．直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二、用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，设α与β所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin
θ＝sin〈n1，n2〉．当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．
题型五.
二面角
1．如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值　　．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，0），P（1，0，1），
（1，0，1），（0，，0），（﹣1，，0），（0，0，1），
设平面PCB的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，﹣1），
设平面PAB的法向量（x，y，z），
则，取x，得（，1，0），
设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，
则cosθ．
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
故答案为：．
2．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P﹣AC﹣B的正弦值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
取AC的中点D，连接OD，PD，
∵PO⊥底面，∴PO⊥AC，
∵OA＝OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC，
又PO∩OD＝O，∴AC⊥平面POD，则AC⊥PD，
∴∠PDO为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
∵△PAB是边长为2的正三角形，
∴PO，OA＝OC＝1，OD，则PD．
∴sin．
故选：B．
3．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°．
∴DOAC．
∴DO2+BO2＝AB2＝BD2．
∴∠BOD＝90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB?平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则．
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
∴1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB＝2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．
（﹣1，0，1），，（﹣2，0，0）．
设平面ADE的法向量为（x，y，z），则，即，取．
同理可得：平面ACE的法向量为（0，1，）．
∴cos．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
知识梳理.空间中的距离
一、空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
二、点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
三、点到平面的距离
1．点到平面的距离：给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
2．连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．
四、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
1．公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
2．相互平行的直线与平面之间的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
3．相互平行的平面与平面之间的距离：两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
题型六.
空间中的距离
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A到平面A1B1CD的距离为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2，），
故，
设平面A1B1CD的法向量为，
则，
取x＝1，得，
所以点A到平面A1B1CD的距离为．
故选：B．
2．在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为　　．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），A（0，0，0），
（2，0，﹣2），（2，2，﹣2），（2，0，0），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，
取x＝1，得（1，0，1），
∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，∴AD到平面PBC的距离即点A到平面PBC的距离，
∴AD到平面PBC的距离d．
故答案为：．
3．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为1和2，AB＝4．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．
【解答】解法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设AC∩BD＝O．由P﹣ABCD与Q﹣ABCD
都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD，
故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），Q（0，0，﹣2），
所以，，
于是．
从而异面直线AQ与PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，，0），，，
设是平面QAD的一个法向量，
由得．
取x＝1，得．
所以点P到平面QAD的距离．
解法二：（Ⅰ）．取AD的中点M，连接PM，QM．
因为P﹣ABCD与Q﹣ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（Ⅱ）．连接AC、BD设AC∩BD＝O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在
PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．
取OC的中点N，连接PN．
因为，
所以，
从而AQ∥PN．∠BPN（或其补角）是异面直线AQ
与PB所成的角．连接BN，
因为．
所以．
从而异面直线AQ与PB所成的角是．
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、过P作PH⊥QM
于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．
连接OM，则．
所以∠MQP＝45°，
又PQ＝PO+QO＝3，于是．
即点P到平面QAD的距离是
题型七.
空间向量综合——存在问题、折叠问题
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EFAD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD＝2，则AB＝BC＝1，OP，
∴∠PCO＝60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN＝MN，CNMN，BC＝1，
可得：1BN2＝BN2，BN，MN，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ
，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：．
2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，AB＝2，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥E﹣AFC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（Ⅱ）解：设AB＝2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，，所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时，因此．又AD＝2，
所以∠ADH＝45°，
所以PA＝2．
设点F到平面AEC的距离为h，因为PA⊥平面AEC，点F是PC的中点，
∴VE﹣FAC＝VF﹣AEC，
∴三棱锥E﹣FAC的体积为．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．
（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，
∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，
∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，
∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF，
∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，
由①②得BF⊥平面BCDE，
∴平面BFC⊥平面BCDE．
（Ⅱ）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），
∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，
∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，
平面BCDE的法向量（0，0，1），
∴|cos|，解得a＝2，
∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），
设平面EDF的法向量（x，y，z），
则，取z＝1，得（），
同理得平面DFC的一个法向量（0，，2），
∴cos，
∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin．
4．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P?平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB?平面POB，OP?平面POB，∴AE⊥平面POB，
又AE?平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知四边形ABED为菱形，∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中AE＝BC＝2，∴△PAE正三角形，
∴，同理，∵，
∴OP2+OB2＝PB2，∴OP⊥OB，
由（Ⅰ）可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
由题意得，各点坐标为，A（﹣1，0，0），，，E（1，0，0），
∴，，
设，，
设平面AEQ的一个法向量为（x，y，z），
则，即
取x＝0，y＝1，得，∴（0，1，），
设直线PC与平面AEQ所成角为，
则，即，
化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得，
∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．
课后作业.
空间向量
1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D＝A1B＝DBAB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°
故选：C．
2．如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设AB＝BC＝CA＝PC＝a．
知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，
知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．
△PAD的面积为：S，
△PAB中，PA＝PB，AB＝a．
由余弦定理，解得cos∠APB．
从而sin∠APB．
△PAB的面积为S′，
设二面角B﹣AP﹣C为α，
由投影定理得cosα．
故选：B．
3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A．直线A1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点B到平面AEF的距离为
【解答】解：对于A，如图所示，取B1C1中点K，连接KF，B1C，A1D，
由正方体性质可知，A1D∥KF，在△AKF中，，
而AK2≠AF2+KF2，即AF与KF不垂直，
∴直线A1D与AF不垂直，故选项A错误；
对于B，如图所示，取B1C1的中点N，连接A1N、GN，则有GN∥EF，A1N∥AE，
因为CN∩A1N＝N，EF∩AE＝E，所以平面A1GN∥平面AEF．
又因为A1G?平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故选项B正确；
对于C，如图所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，
因为E，F分别为BC，C1C的中点，所以EF∥AD1，
所以A、E、F、D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1．
因为CF＝CE，所以CF2+CS2＝CE2+CS2，即FS2＝ES2，所以FS＝ES
又D1F＝AE，所以D1F+FS＝AE+ES即D1S＝AS，AD1，
所以等腰△AD1S的高h，梯形AEFD1的高为，
所以梯形AEFD1的面积为（EF+AD1）（），故选项C正确；
对于D，，
∴在△AEF中，由余弦定理有，
∴，则，
设点B到平面AEF的距离为d，则由VB﹣AEF＝VF﹣ABE可得，解得，故选项D正确．
故选：BCD．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA＝PD，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；
（Ⅲ）若λ，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP、OB、BD，
∵PA＝PD，∴PO＝AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴BA＝BD，BO⊥AD，
以O为原点，分别以OA、OB、OP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），
D（﹣1，0，0），E（﹣1，，0），P（0，0，1），
（﹣2，0，0），（0，，﹣1），
∴0，∴AD⊥PB．
解：（Ⅱ）由题意Q（﹣1，，），
设平面DQC的一个法向量（x，y，z），（﹣1，，0），（0，，），
由，
令x，y＝1，z，得（），
又平面EDQ的一个法向量（1，0，0），
cos，，
由图形得二面角E﹣DQ﹣C是锐角，∴二面角E﹣DQ﹣C的余弦值为．
（Ⅲ）∵λ，0＜λ＜1，∴Q（﹣2λ，），
设平面DEQ的一个法向量（x，y，z），
（0，，0），（﹣2），
则，
取z＝2λ﹣1，得（1﹣λ，0，2λ﹣1），
∵（1，0，﹣1），∴PA∥平面DEQ，
∴?（1﹣λ）+（﹣1）?（2λ﹣1）＝0，得，
∴当时，PA∥平面DEQ．
5．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别
为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G；
（1）求直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小；
（2）求点D1到平面B1EF的距离d．
【解答】解：（1）设EF与DB交于点G，连接D1G，连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．又BB1⊥EF，且BD∩B1B＝B．
∴EF⊥平面BDD1B1，易得EG⊥面平面D1DBB1，所以∠ED1G就是所求的角，
EFAC＝1，D1G，∴
直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小为arctan．
（2）连接B1G，作D1H⊥B1G，H为垂足．
由于平面B1EF⊥平面BDD1B1，B1G为交线，
∴D1H⊥平面
B1EF．D1H的长是点D1到平面B1EF的距离．
在Rt△D1B1H中，D1H＝D1B1?sina∠D1B1H．
∵D1B1A1B1＝4，sin∠D1B1H＝sina∠B1GB
∴D1H∴点D1到平面B1EF的距离为第十二章
《空间向量与立体几何》讲义
第2讲
空间向量在立体几何中的应用
知识梳理.建立空间直角坐标系与求法向量
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
2．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
3．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
二、平面的法向量
1．平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
2．平面的法向量的性质
(1)如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
(2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
(3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
3．如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α，或l?α．
4．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合?n1∥n2；α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0．
三、三垂线定理及其逆定理
1．射影：(1)已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．
(2)图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．
2．三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
题型一.
求平面的法向量
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为L，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
2．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
题型二.
利用空间向量证明平行与垂直关系
1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝ABPD＝1．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）证明：PC∥平面BAQ．
2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a．
（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1．
4．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
知识梳理.异面直线所成角
1．空间中两条直线所成的角
设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin
θ＝sin〈v1，v2〉，cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|．
2．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角：
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2?v1⊥v2，cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|．
3．求两直线所成的角应注意的问题：
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝．但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．
题型三.异面角
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，AB＝2，AD＝2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围是　
　．
3．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；
（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．
知识梳理.线面角
一、直线与平面的夹角
1．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°。?
2．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0°。
3．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．?
4．斜线和平面所成角的范围：(0°，90°)。
二、最小角定理
三、用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos
θ＝sin〈v，n〉或sin
θ＝|cos〈v，n〉|．
题型四.
线面角
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1的地面边长为a，侧棱长为，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．
知识梳理.二面角
一、二面角及其度量
1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α?l?β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A?l?B，二面角的范围为[0，π]．
3．二面角的平面角：在二面角α?l?β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α?l?β的平面角．
4．直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二、用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，设α与β所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin
θ＝sin〈n1，n2〉．当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．
题型五.
二面角
1．如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值　
　．
2．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P﹣AC﹣B的正弦值是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
知识梳理.空间中的距离
一、空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
二、点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
三、点到平面的距离
1．点到平面的距离：给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
2．连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．
四、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
1．公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
2．相互平行的直线与平面之间的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
3．相互平行的平面与平面之间的距离：两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
题型六.
空间中的距离
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A到平面A1B1CD的距离为（　　）
A．
B．
C．2
D．
2．在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为　
　．
3．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为1和2，AB＝4．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．
题型七.
空间向量综合——存在问题、折叠问题
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，AB＝2，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥E﹣AFC的体积．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．
（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．
4．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P?平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
课后作业.
空间向量
1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A．直线A1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点B到平面AEF的距离为
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA＝PD，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；
（Ⅲ）若λ，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．
5．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别
为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G；
（1）求直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小；
（2）求点D1到平面B1EF的距离d．

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