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专题09：二次函数
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1.（2020·广东·中考真卷） 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是(? ? ? ? )

A.
B.
C.
D.关于的方程无实数根
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2.（2014·广东·中考真卷） 二次函数图象如图，下列正确的个数为（ ）
①；
②；
③；
④有两个解，，当时，，；
⑤；
⑥当时，随增大而减小．
A. B. C. D.
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3.（2004·广东·中考真卷） 抛物线过点、、，平行于轴的直线交抛物线于点、，以为直径的圆交直线于点、，则的值是（ ）
A. B. C. D.
?
4.（2020·广东·中考真卷） 如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
①；②；③；④，
正确的有（ ）

A.个 B.个 C.个 D.个
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5.（2001·广东·中考真卷） 已知抛物线，要达到对所有的实数，抛物线都与轴有交点，必须（ ）
A. B. C. D.
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6.（2001·广东·中考真卷） 已知二次函数＝中，，，则它的图象应是（ ）
A. B. C. D.
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7.（2005·广东·中考真卷） （3分） 一条抛物线经过原点，请写出它的一个函数解析式________．
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8.（2004·广东·中考真卷） 学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子．恰好在水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过的任意平面上的抛物线如图所示，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度与水面距离之间的函数关系式是，请回答下列问题：
（1）花形柱子的高度；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？
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9.（2007·广东·中考真卷） 如图，在直角梯形中，，，，，，四边形是矩形，点、分别在腰、上，点在上．设，矩形的面积为．
（1）求关于的函数关系式；

（2）当矩形的面积等于梯形的面积的一半时，求的值；

（3）当时，矩形是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由．
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10.（1999·广东·中考真卷） 已知二次函数的图象经过点，和．求这个二次函数的解析式．
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11.（1997·广东·中考真卷） 写出抛物线的顶点坐标，并求出不等式的解集．
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12.（2002·广东·中考真卷） 如图．已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，以线段为边作正方形如图所示．
（1）求线段的长；

（2）求点的坐标；

（3）若点是平面直角坐标系中的一点，且的面积等于正方形面积的，若二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的表达式．
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13.（2002·广东·中考真卷） 在如图的方格纸上有、、三点（每个小方格的边长为个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中（或舍去该直角坐标系，在自己另建立适当的直角坐标系中），分别写出点、、的坐标；

（2）根据你得出的、、三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式．
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14.（2004·广东·中考真卷） 已知：如图，在直角坐标系中，以点为圆心、直径为的圆与轴交于、两点．
（1）求点的坐标；

（2）设过点的直线与轴交于点．探究：直线是否的切线并对你的结论加以证明；

（3）在（2）的前提下，连接，记的外接圆面积为、面积为，若，抛物线经过、两点，且它的顶点到轴的距离为．求这条抛物线的解析式．
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15.（2014·广东·中考真卷） 利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根（精确到）．
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16.（2004·广东·中考真卷） 将二次函数配成的形式，并写出函数图象的顶点坐标和对称轴．
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17.（2008·广东·中考真卷） 如图：已知在等腰直角三角形中，，，将一个含的直角三角形的最小内角所在的顶点与直角三角形的顶点重合，当绕着点旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段交于，两点（，可以与，重合）
（1）如图，当等于多少度时，？请给予证明；

（2）如图，设，阴影部分（两三角形重叠部分）面积为，写出与的函数关系式；当为何值时，最大，并求出最大值．（结果保留根号）
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18.（2008·广东·中考真卷） 已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值；

（2）求函数图象与轴的交点坐标．
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19.（2010·广东·中考真卷）
（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；

（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）；

（3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到）
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20.（2016·广东·中考真卷） 如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于点．
（1）求的值；

（2）若点与点关于直线成轴对称，则点的坐标是________；

（3）若过、二点的抛物线与轴的交点为，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．
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21.（2010·广东·中考真卷） 如图，平面直角坐标系中有一矩形（为原点），点、分别在轴、轴上，且点坐标为；将沿折叠（点在边上），使点落在边的点上，并将沿折叠，恰好使点落在的点上．
（1）直接写出、的度数，并求折痕所在直线的函数解析式；

（2）过点作轴，垂足为，的中点为，若抛物线经过、、三点，求抛物线的函数解析式；

（3）若点是矩形内部的点，且点在（2）中的抛物线上运动（不含、点），过点作分别交和于点、，设，试求出与点横坐标的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使、、成立的的取值范围．
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22.（2013·广东·中考真卷） 如图，过点的圆的圆心坐标为，是第一象限圆弧上的一点，且，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．

（1）点的坐标为________,________，抛物线的表达式为________；

（2）如图，求证：；

（3）如图，点为线段上一点，且＝，直线交于点，求的长．
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23.（2007·广东·中考真卷） 如图，两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示．（点、是圆心），分割两个肥皂泡的肥皂膜成一条直线，，分别为两圆的切线．
（1）求的大小．

（2）如图，延长交于点，，交于点．试证明：点、、三点在同一直线上，并求出图中阴影部分的面积．

（3）如图，建立平面直角坐标系，试求过点，，三点的抛物线的解析式？
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24.（2020·广东·中考真卷） 如图，抛物线与轴的交点和，与轴交于点，顶点为．

求该抛物线的解析式；

连接，，，将沿轴以每秒个单位长度的速度向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，，设平移时间为秒，当点与点重合时停止移动．记与四边形重合部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式；

如图，过该抛物线上任意一点向直线作垂线，垂足为，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
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25.（2006·广东·中考真卷） 如图，在中，，是高上的动点，是点关于点的对称点（点在高上，且不与，重合）．过点作的平行线与交于，与交于，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，设，．
①求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②点在何处时，矩形的面积与的面积相等？
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26.（2006·广东·中考真卷） 已知：在四边形中，，，，，分别是，，，上的点，且．设四边形的面积为，．
（1）如图，当四边形为正方形时，
①求关于的函数解析式，并在图中画出函数的草图；
②当为何值时，？

（2）如图，当四边形为菱形，且时，四边形的面积能否等于？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．
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27.（2013·广东·中考真卷） 已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
（1）求，的值；

（2）分别求出直线和的解析式；

（3）若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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28.（2004·广东·中考真卷） 如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是斜边上的一个动点，为上的一点，且，，垂足为点．
（1）求证：；

（2）设，，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
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29.（2004·广东·中考真卷） 已知抛物线（为整数）经过点，顶点为，且与轴有两个不同的交点．
（1）判断点是否在线段上（为坐标原点），并说明理由；

（2）设该抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为、，且，是否存在实数，使？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
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30.（2010·广东·中考真卷） 如图，直线于轴、轴分别交于、；两点，抛物线同时经过、两点，点是抛物线与轴的另一个交点．
（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在线段上，且，求点的坐标．
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31.（2018·广东·中考真卷） 已知抛物线．
（1）证明：该抛物线与轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与轴的两个交点分别为，（点在点的右侧），与轴交于点，，，三点都在上．
①试判断：不论取任何正数，是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点关于直线的对称点为点，点，连接，，，的周长记为，的半径记为，求的值．
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32.（2003·广东·中考真卷） 已知抛物线（是常数）
（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）求证：不论取任何实数，抛物线的顶点都在某一次函数的图象上．并指出此一次函数的解析式；

（3）设此抛物线与轴的交点为，其顶点为．试问：在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请简述理由．
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33.（2003·广东·中考真卷） 如图，已知，与轴分别相交于点、，与轴相且于点，
（1）求证过、、三点的抛物线的解析式；

（2）连接，求的值；

（3）点是抛物线顶点，线段是直径，直线与直线相交于点，
的平分线交于，求的值．
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34.（2003·广东·中考真卷） 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用表示）；

（2）设抛物线与轴的两个交点为、，与轴交点为，若，求的值；

（3）在（2）的条件下，设为抛物线上的一点，它的横坐标为，试问在抛物线上能否找到另一点，使？若点存在，求点的坐标；若点不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）
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35.（2003·广东·中考真卷） 如图，函数（其中，，为常数）的图象分别与轴，轴交于，，三点，为抛物线的顶点，且，．
（1）试确定，，的符号；

（2）求证：；

（3）点与经过，，三点的圆的位置关系如何？请证明你的结论．
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36.（2019·广东·中考真卷） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点，点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接．

（1）求点、、的坐标；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）如图，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
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37.（2002·广东·中考真卷） 已知以为自变量的二次函数的图象经过原点，并与轴相交于点，且在原点的右边．
（1）求这个二次函数的解析式；

（2）一次函数的图象经过点，与这个二次函数的图象交于点，且的面积等于，求这个一次函数的解析式．
?
38.（2019·广东·中考真卷） 已知抛物线＝有最低点．
（1）求二次函数＝的最小值（用含的式子表示）；

（2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线．经过探究发现，随着的变化，抛物线顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为，抛物线与函数的图象交于点，结合图象，求点的纵坐标的取值范围．
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39.（2020·广东·中考真卷） 平面直角坐标系中，抛物线过点，，．顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
用含的式子表示；

求点的坐标：

若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
?
40.（2020·广东·中考真卷） 如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．

求，的值；

求直线的函数解析式；

点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
参考答案与试题解析
专题09：二次函数
一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
根的判别式
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与轴的交点情况可对进行判断；＝时，，可对进行判断；根据抛物线＝与直线＝无交点，可对进行判断．
【解答】
解：，∵ 抛物线开口向下，
∴ ，
∵ 对称轴为直线，
∴ ，
∵ 抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故正确；
，∵ 抛物线与轴有两个交点，
∴ ，即，故正确；
，∵ 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
∴ 抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴ 时，，
即，
∵ ，
∴ ，故错误；
，∵ 抛物线开口向下，顶点为，
∴ 函数有最大值，
∴ 抛物线与直线无交点，
∴ 一元二次方程无实数根，故正确．
综上，只有选项错误.
故选.
【点评】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数＝，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据抛物线开口向上可得，结合对称轴在轴右侧得出，根据抛物线与轴的交点在负半轴可得，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线判断③；根据图象与轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由时，判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．
【解答】
解：①∵ 抛物线开口向上，
∴ ，
∵ 对称轴在轴右侧，
∴ ，异号即，
∵ 抛物线与轴的交点在负半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ，，
∴ ，故②错误；
③∵ 对称轴，，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④由图形可知二次函数与轴的两个交点分别在原点的左右两侧，
即方程有两个解，，当时，，，故④正确；
⑤由图形可知时，，故⑤错误；
⑥∵ ，对称轴，
∴ 当时，随增大而增大，故⑥错误．
综上所述，正确的结论是①③④，共个．
故选：．
【点评】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
3.
【答案】
B
【考点】
二次函数综合题
【解析】
根据题意，为直径的中点，连接，过点作于．知，分别求出，即可．
【解答】
解：由题意得：
点坐标为，
如图，为直径的中点，连接，过点作于．
则，，
则
∴ ．
故选．
【点评】
此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
4.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
∴ ，故①错误；
∵ 抛物线与轴有两个交点，
∴ ，故②正确；
∵ 直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
∴ ，
即，故③正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故④正确.
∴ 结论正确的是②③④，共个.
故选.
【点评】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
5.
【答案】
A
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
抛物线开口向上，要它对所有的实数与轴都有交点，则无论取何值，．
【解答】
解：要使抛物线，要达到对所有的实数，抛物线都与轴有交点，即无论取何值，
都有成立，则
，
∴ ．
解可得：，
故选．
【点评】
主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系：与轴有交点，那么根的判别式不小于．
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象与系数的关系可知．
【解答】
∵ 二次函数＝中，，，
∴ 抛物线开口向下，对称轴，故对称轴在轴的正半轴上，
∵ ，∴ 图象与轴的交点在周的负半轴，故符合条件的只有．
【点评】
本题考查二次函数的图象与系数的关系．
二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）
7.
【答案】
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
抛物线经过原点，除符合抛物线成立的条件外，还需要为．
【解答】
解：如：，答案不唯一．
【点评】
抛物线经过原点，需要符合．
三、 解答题 （本题共计 33 小题 ，每题 10 分 ，共计330分 ）
8.
【答案】
解：（1）把代入抛物线，
得
∴ 米．
（2）把代入，
得
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 半径至少是米．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）本题需先根据已知条件把代入抛物线的解析式，从而得出的值，即可求出答案．
（2）本题需先根据已知条件把代入抛物线求出所要求的式子，再得出的值，即可求出答案．
【解答】
解：（1）把代入抛物线，
得
∴ 米．
（2）把代入，
得
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 半径至少是米．
【点评】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要根据已知条件再结合图形从而得出与的值即是本题的关键．
9.
【答案】
解：（1）过点作于，
∵ 在矩形中，，所以，
∴ ，
∴ ，
即，得，
∴ ．
因此，
∵ ，
即所求的函数关系式为．
（2）依题意，得，
因为，解以上方程得，，．
因为，所以舍去，取．
故当矩形的面积等于梯形的面积的一半时，的值为．
（3）矩形不能成为正方形．
在中，∵ ，∴ ，即
，即．
又∵ ，即，∴ ，
因此矩形不能成为正方形．
【考点】
二次函数综合题
解一元二次方程-公式法
矩形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）过点作于．由于，得到的值，有，再利用而得到关于的函数关系式．
（2）求得梯形的面积，由矩形的面积等于梯形的面积的一半建立方程，求得的值．
（3）由正切的概念可得到，从而得到，故矩形不能成为正方形．
【解答】
解：（1）过点作于，
∵ 在矩形中，，所以，
∴ ，
∴ ，
即，得，
∴ ．
因此，
∵ ，
即所求的函数关系式为．
（2）依题意，得，
因为，解以上方程得，，．
因为，所以舍去，取．
故当矩形的面积等于梯形的面积的一半时，的值为．
（3）矩形不能成为正方形．
在中，∵ ，∴ ，即
，即．
又∵ ，即，∴ ，
因此矩形不能成为正方形．
【点评】
本题利用了梯形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念求解，还应用了一元二次方程的解法．
10.
【答案】
解：设所求函数的解析式为，
把，，分别代入，
得：，
解得；
∴ 所求的函数的解析式为．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
已知了二次函数图象经过的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
【解答】
解：设所求函数的解析式为，
把，，分别代入，
得：，
解得；
∴ 所求的函数的解析式为．
【点评】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
11.
【答案】
解：由，
所以这抛物线的顶点坐标为；
由解得或，
∴ 原不等式的解集为或
【考点】
二次函数的性质
二次函数与不等式（组）
【解析】
用配方法确定二次函数的解析式，先求得抛物线与坐标轴的交点坐标，然后确定不等式的解集．
【解答】
解：由，
所以这抛物线的顶点坐标为；
由解得或，
∴ 原不等式的解集为或
【点评】
本题考查了二次函数的性质及二次函数与不等式的知识，确定顶点坐标的方法可以用配方法，也可以用公式法求解．
12.
【答案】
解：（1）一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
当时，，当时，；
故、两点的坐标为，，
；
（2）过作轴交轴于点，
正方形的边长，
，故点的纵坐标与点一样应为，
，∴ ，故点的横坐标为，
故点坐标为；
（3），，
故边上的高应为，
①如图，过点作于，交于点，
∵ 直线为：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点坐标为，
设经过、、三点的二次函数的解析式为，
将、、三点坐标代入二次函数解析式可得
，
解得，
故二次函数的解析式为．
②如图，过点作延长线于点．
同理求得．则过、、三点的二次函数的解析式为．
综上所述，符合条件的抛物线的解析式是：或．
【考点】
一次函数的综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）根据题意将一次函数的、分别等于，即可求得、两点的坐标；
（2）过作轴交轴与点，根据正方形的性质便可求得点坐标；
（3）先求出点坐标，然后将、、三点坐标代入二次函数解析式，即可求得二次函数解析式．
【解答】
解：（1）一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
当时，，当时，；
故、两点的坐标为，，
；
（2）过作轴交轴于点，
正方形的边长，
，故点的纵坐标与点一样应为，
，∴ ，故点的横坐标为，
故点坐标为；
（3），，
故边上的高应为，
①如图，过点作于，交于点，
∵ 直线为：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点坐标为，
设经过、、三点的二次函数的解析式为，
将、、三点坐标代入二次函数解析式可得
，
解得，
故二次函数的解析式为．
②如图，过点作延长线于点．
同理求得．则过、、三点的二次函数的解析式为．
综上所述，符合条件的抛物线的解析式是：或．
【点评】
本题主要考查了一次函数的综合题，题中涉及用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，解答要注意数形结合思想的运用，是各地中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题．
13.
【答案】
解：（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）设所求的二次函数解析式为：．
把点、、的坐标代入抛物线的解析式中，
可得：，
解得，
∴ 所求的二次函数解析式为．
（答案不唯一，也可以或或为原点创建新的坐标系进行求解）
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
本题主要考查二次函数解析式的确定、先在题目给出的坐标系中读出、、三点的坐标，然后可用待定系数法求出抛物线的解析式．
【解答】
解：（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）设所求的二次函数解析式为：．
把点、、的坐标代入抛物线的解析式中，
可得：，
解得，
∴ 所求的二次函数解析式为．
（答案不唯一，也可以或或为原点创建新的坐标系进行求解）
【点评】
本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式的方法．
14.
【答案】
解：（1）由已知，，
在中，，
∴ 点的坐标为
（2）证法一：∵ 直线过点
∴ ，即，
∴ ，
令，则，
∴ ，
在中，∵ ，，．
∴ 是直角三角形，，
∴ 直线是的切线．
证法二：由证法一得，
∵ ，，
∴
∴ 直线是的切线．
（3）解法一：由（2）得，
∴
∵ ，
∴ 的外接圆的直径为，
∴
而
∵ ，即，
∴
设经过点、、的抛物线的解析式为：，即，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线解析式为或．
解法二：（接上）求得
∴
由已知所求抛物线经过点、、，则抛物线的对称轴是轴，
由题意得抛物线的顶点坐标为
∴ 抛物线解析式可设为
∴ 、在抛物线上，
∴
∴ ?
∴ 抛物线解析式为或．
解法三：（接上）求得∴
因为抛物线的方程为，由已知得
解得或
∴ 抛物线解析式为或．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）在中根据勾股定理就可以求出的长，从而得到点的坐标；
（2）把点的坐标代入直线的解析式，进而可以求出、、的长度，根据勾股定理可以得到、、的长度，根据勾股定理的逆定理就可以证出是直角三角形，得到直线是的切线；
（3）是直角三角形，是斜边，即外接圆的直径．在直角中，根据勾股定理就可以求出的长，就可以求出的外接圆面积．面积为容易得到．根据就可以求出的值，则得到抛物线的顶点的纵坐标，再根据经过、两点，利用待定系数法就可以求出函数的解析式．
【解答】
解：（1）由已知，，
在中，，
∴ 点的坐标为
（2）证法一：∵ 直线过点
∴ ，即，
∴ ，
令，则，
∴ ，
在中，∵ ，，．
∴ 是直角三角形，，
∴ 直线是的切线．
证法二：由证法一得，
∵ ，，
∴
∴ 直线是的切线．
（3）解法一：由（2）得，
∴
∵ ，
∴ 的外接圆的直径为，
∴
而
∵ ，即，
∴
设经过点、、的抛物线的解析式为：，即，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线解析式为或．
解法二：（接上）求得
∴
由已知所求抛物线经过点、、，则抛物线的对称轴是轴，
由题意得抛物线的顶点坐标为
∴ 抛物线解析式可设为
∴ 、在抛物线上，
∴
∴ ?
∴ 抛物线解析式为或．
解法三：（接上）求得∴
因为抛物线的方程为，由已知得
解得或
∴ 抛物线解析式为或．
【点评】
本题主要考查了切线的证明方法，以及待定系数法求函数解析式，计算量较大．
15.
【答案】
解：方程根是函数与轴交点的横坐标．
作出二次函数的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和之间．
先求和之间的根，
当时，；当时，；
因此，（或）是方程的一个近似根，
同理，（或）是方程的另一个近似根．
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
【解析】
根据函数与方程的关系，可得函数图象与轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
【解答】
解：方程根是函数与轴交点的横坐标．
作出二次函数的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和之间．
先求和之间的根，
当时，；当时，；
因此，（或）是方程的一个近似根，
同理，（或）是方程的另一个近似根．
【点评】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
16.
【答案】
解：二次函数配成顶点式为，
故函数图象的顶点坐标为；
对称轴为．
【考点】
二次函数的三种形式
二次函数的性质
【解析】
用配方法二次函数可化为，即，，，可直接得出结论．
【解答】
解：二次函数配成顶点式为，
故函数图象的顶点坐标为；
对称轴为．
【点评】
解答此题的关键是熟知二次函数的解析式的三种形式．
17.
【答案】
解：（1）在等腰直角三角形中，，，
当时，．
又因为，
所以．
（2）作于，
因为在等腰直角三角形中，，
所以，因此．
所以，即．
当和重合、或和重合时，面积最大，如图：作与，
在中，因为，
所以，
又∵ 在中，，
∴ ，
因此，即，
解之得：，
此时．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）在和中，已经知道一组边和一组角相等，只要即可，根据题中数据，即可求出．
（2）作，可根据、求出，然后根据三角形面积公式解答．
【解答】
解：（1）在等腰直角三角形中，，，
当时，．
又因为，
所以．
（2）作于，
因为在等腰直角三角形中，，
所以，因此．
所以，即．
当和重合、或和重合时，面积最大，如图：作与，
在中，因为，
所以，
又∵ 在中，，
∴ ，
因此，即，
解之得：，
此时．
【点评】
此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识，难易程度适中．
18.
【答案】
的值为．
（2）由（1）得函数的解析式为，
令，则，
解方程得：，．
故函数与轴的交点坐标为，．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
抛物线与x轴的交点
【解析】
①二次函数解析式只有一个待定系数，把点代入解析式即可求；
②已知二次函数解析式求函数图象与轴的交点坐标，令，解一元二次方程，可得交点的横坐标．
【解答】
解：（1）∵ 点在的图象上，
∴ ，
∴ ．
答：的值为．
（2）由（1）得函数的解析式为，
令，则，
解方程得：，．
故函数与轴的交点坐标为，．
【点评】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了二次函数与一元二次方程的关系等知识．
19.
【答案】
解：（1）如下图，
，
作出顶点，作出与轴的交点，图象光滑．
（2）正确作出点，；
（3）写出方程的根为，．
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
【解析】
（1）确定顶点坐标和与轴轴交点，作出图形；
（2）方程的根就是二次函数的函数值为时的横坐标的值；
（3）观察图象可知图象交点的横坐标即为方程的根．
【解答】
解：（1）如下图，
，
作出顶点，作出与轴的交点，图象光滑．
（2）正确作出点，；
（3）写出方程的根为，．
【点评】
此题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．
20.
【答案】
，；
（3）设抛物线的函数解析式为，
∵ 过、二点的抛物线与轴的交点为，
∴ ，
解得：，
∴ 抛物线的函数解析式为，
∴ 对称轴方程．
【考点】
函数的综合性问题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；
（2）连接，，，作轴于，轴于，于是得到，，根据点与点关于直线成轴对称，得到直线垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
（3）设抛物线的函数解析式为，把、、代入，解方程组即可得到结论．
【解答】
解：（1）∵ 直线与双曲线交于点，
∴ ，
把代入得：，
解得：；
（2）连接，，，作轴于，轴于，则，，
∵ 点与点关于直线成轴对称，
∴ 直线垂直平分，
∴ ，
∴ ，
在与中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴ ；
（3）设抛物线的函数解析式为，
∵ 过、二点的抛物线与轴的交点为，
∴ ，
解得：，
∴ 抛物线的函数解析式为，
∴ 对称轴方程．
【点评】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
21.
【答案】
解：
在中，
∴
∴ ，
设所在直线的函数解析式是；
，
∴ ；
所以所在直线的函数解析式是；
（2）∵ ，；
又∵ ，
∴ ，，
又为中点
∴
∵ 、、在抛物线图象上
∴
∴ 抛物线的解析式是；
（3）∵
由
得
该函数简图如图所示：
当时，，即
当时，，即
当时，，即．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据折叠的性质知：、、都相等，因此；
在中，已知了，而，由此可求出即的长，即可得到点的坐标；在中，已知的度数及的长，通过解直角三角形可求出的长，也就得到了点的坐标，进而可用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由于，易求得；在中，的长在（1）中已求得，，即可求出的长；进而可在中通过解直角三角形求出、的值，即可得到点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据直线和抛物线的解析式分别表示出、的纵坐标，进而可得到、的表达式，也就能得到关于、的函数关系式，可根据所得函数的性质来判断出、、成立的的取值范围．
【解答】
解：
在中，
∴
∴ ，
设所在直线的函数解析式是；
，
∴ ；
所以所在直线的函数解析式是；
（2）∵ ，；
又∵ ，
∴ ，，
又为中点
∴
∵ 、、在抛物线图象上
∴
∴ 抛物线的解析式是；
（3）∵
由
得
该函数简图如图所示：
当时，，即
当时，，即
当时，，即．
【点评】
此题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、一次函数及二次函数解析式的确定、二次函数的应用等知识．
22.
【答案】
,,
证明：在抛物线表达式中，令＝，即＝，
解得＝或＝，∴ ．
如答图所示，过点作轴于点，则＝＝，＝＝．
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：．
在中，，，＝，
∵ ＝
∴ 为直角三角形，＝，
∴ ＝＝，
∴ ．
如答图所示：
由（2）知＝，又＝，
则在中，由勾股定理得：．
过点作于点，
∵ ，
∴ ．
在中，由勾股定理得：．
由垂径定理可知，＝，
∴ ＝．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）如答图，作辅助线，证明，由此得到点的坐标；再由点、的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）如答图，作辅助线，求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，从而问题得证；
（3）如答图，利用勾股定理依次求出、、的长度，然后利用垂径定理＝求出的长度．
【解答】
如答图所示，过点作轴于点．
∵ ，
∴ ＝，
∵ ＝，＝，
∴ ＝，＝．
∵ 在与中，
∴ ．
∴ ＝＝，＝＝，
∴ ＝＝．
∴ 点坐标为．
∵ 点，在抛物线上，
∴ ，
解得，＝．
∴ 抛物线的表达式为：．
证明：在抛物线表达式中，令＝，即＝，
解得＝或＝，∴ ．
如答图所示，过点作轴于点，则＝＝，＝＝．
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：．
在中，，，＝，
∵ ＝
∴ 为直角三角形，＝，
∴ ＝＝，
∴ ．
如答图所示：
由（2）知＝，又＝，
则在中，由勾股定理得：．
过点作于点，
∵ ，
∴ ．
在中，由勾股定理得：．
由垂径定理可知，＝，
∴ ＝．
【点评】
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、垂径定理等知识点．本题设计考点清晰，层次合理：第（1）问主要考查全等三角形和待定系数法，第（2）问主要考查勾股定理及其逆定理，第（3）问主要考查垂径定理与勾股定理．
23.
【答案】
解：（1）∵ ，
∴ 是一个等边三角形，
∴ ，
又∵ 、分别为两圆的切线，
∴ ，，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 是的直径，
∴ 、、三点共线，
根据圆的轴对称性，该图是一个轴对称图形且直线是它的一条对称轴，
∴ 与互相垂直平分，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，，，
设过，，三点的函数关系式为，
则有，
∴ ，
解这个方程组得，，
所以抛物线的解析式为．
【考点】
切线的性质
待定系数法求二次函数解析式
等边三角形的判定方法
扇形面积的计算
【解析】
（1）由于和是同样的圆，易知，从而可知是一个等边三角形，那么，而、是切线，可知，，从而易求；
（2）由于是切线，可知，那么是直径，故可证、、三点共线，利用相交两圆的性质定理可知和互相垂直平分，易求，，利用特殊三角函数值可求、，进而可求，，利用三角形、扇形面积公式可求以及，从而易求；
（3）根据坐标系可得、、的坐标，设所求函数解析式是为，把三点的值代入，可得关于、、的三元一次方程组，解即可．
【解答】
解：（1）∵ ，
∴ 是一个等边三角形，
∴ ，
又∵ 、分别为两圆的切线，
∴ ，，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 是的直径，
∴ 、、三点共线，
根据圆的轴对称性，该图是一个轴对称图形且直线是它的一条对称轴，
∴ 与互相垂直平分，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，，，
设过，，三点的函数关系式为，
则有，
∴ ，
解这个方程组得，，
所以抛物线的解析式为．
【点评】
本题考查了等边三角形的判定和性质、三点共线的证明、三角形面积的计算、相交两圆的性质定理、扇形面积是计算、用待定系数法求函数解析式．解题的关键是两个同圆相交，分别过圆心，易得等边三角形，并且知道相交两等圆的公共弦与圆心线垂直平分．
24.
【答案】
解：∵ 抛物线过点，，
∴
解得
∴ 抛物线的解析式为.
①时，如图，若与轴交于点，
∵ ，，
∴ ，
∴
，
②时，；
③时，
如图，与交于点，与交于点，过点作于，
∵ ，，
∴ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综合以上可得：
令，则，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当时，上式对于任意恒成立，
∴ 存在．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
动点问题
相似三角形的性质与判定
二次函数综合题
【解析】
（1）将点、代入抛物线的解析式得到关于、的方程组即可；
（2）分三种情况：①时，②时，③时，可由面积公式得出答案；
（3）令，则＝，＝，得出，可求出＝．则得出答案．
【解答】
解：∵ 抛物线过点，，
∴
解得
∴ 抛物线的解析式为.
①时，如图，若与轴交于点，
∵ ，，
∴ ，
∴
，
②时，；
③时，
如图，与交于点，与交于点，过点作于，
∵ ，，
∴ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综合以上可得：
令，则，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当时，上式对于任意恒成立，
∴ 存在．
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，平移的性质，三角形的面积等知识．熟练运用方程的思想方法，正确进行分类是解题的关键．
25.
【答案】
（1）证明：∵ ，关于点对称，
∴
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，，，
∴ 垂直平分，
∴ （三角形中位线定理），
∴ ，四边形是矩形．
（2）解：①由（1）得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即．
∴ ?，
∵ ，
∴ ，∴ ．
②解法（一）：
∵ ?，?，
依题意，得：??，
解得：，（，舍去），
即：当点与点的距离为时，四边形的面积与的面积相等．
解法（二）：要使矩形的面积等于的面积，则需，
即，∴ ，
∴ 当点与点的距离为时，四边形的面积与的面积相等．
【考点】
二次函数综合题
三角形的面积
矩形的判定与性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）易得，，则有，，所以四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，垂直平分（三角形中位线定理）四边形是矩形．
（2）由于矩形的面积，的面积，所以要使矩形的面积等于的面积，则需，建立关于的方程，求得即可．
【解答】
（1）证明：∵ ，关于点对称，
∴
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，，，
∴ 垂直平分，
∴ （三角形中位线定理），
∴ ，四边形是矩形．
（2）解：①由（1）得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即．
∴ ?，
∵ ，
∴ ，∴ ．
②解法（一）：
∵ ?，?，
依题意，得：??，
解得：，（，舍去），
即：当点与点的距离为时，四边形的面积与的面积相等．
解法（二）：要使矩形的面积等于的面积，则需，
即，∴ ，
∴ 当点与点的距离为时，四边形的面积与的面积相等．
【点评】
本题利用了对称的概念，全等三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定，三角形和矩形的面积公式求解．
26.
【答案】
解：（1）①在中，，，
则．
②根据题意，得．
解方程，得，．
即得，．时，．
（2）四边形的面积可以等于．
由条件，易证，．
作于，作且交的延长线于，
∵ ，则，
又在中，，
∴ ．
同理得．
∴ ，．
又∵ ，
∴ 四边形的面积．
∴ 令，
解得，．
即，时，四边形的面积等于．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）①当四边形是正方形时，不难得出，因此四边形也是个正方形．直角三角形中，，，那么可根据勾股定理求出的值，即为的值．由此可得出，的函数关系式．
②可将代入①的函数关系式中，即可得出的值．
（2）与（1）类似不难得出，，因此只需求出和的面积，就可以用来求出四边形的面积．
可分别过，作的垂线，根据的度数来求出这两条高，进而可根据上面分析的步骤求出，的函数关系式，然后将代入函数关系式中，可得出一个关于的方程，如果方程无解则说明不存在这样的情况，如果有解，那么得出的的值就是所求的值．
【解答】
解：（1）①在中，，，
则．
②根据题意，得．
解方程，得，．
即得，．时，．
（2）四边形的面积可以等于．
由条件，易证，．
作于，作且交的延长线于，
∵ ，则，
又在中，，
∴ ．
同理得．
∴ ，．
又∵ ，
∴ 四边形的面积．
∴ 令，
解得，．
即，时，四边形的面积等于．
【点评】
本题主要考查了正方形和平行四边形的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识点．运用数形结合的数学思想方法是解题的基本思路．
27.
【答案】
解：（1）由，得，．
∴ ，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）由（1）可得，
∵ 当时，，
∴ ．
设，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
∴ 直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
①当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即．
解得．
∴ 点的纵坐标是，
∵ 点在直线上，
∴ ，解得，
∴ ．
∴ ，同理可求．
②当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
∴
∴ ，
∴ ．
结合图形可知，，，
∴ ，
∴ 是，
∴ 也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即，，
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式
等腰三角形的判定与性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）求出方程两根代入抛物线解析式即可；
（2）设所求的解析式为，用待定系数法求解；
（3）若为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．
【解答】
解：（1）由，得，．
∴ ，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）由（1）可得，
∵ 当时，，
∴ ．
设，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
∴ 直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
①当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即．
解得．
∴ 点的纵坐标是，
∵ 点在直线上，
∴ ，解得，
∴ ．
∴ ，同理可求．
②当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
∴
∴ ，
∴ ．
结合图形可知，，，
∴ ，
∴ 是，
∴ 也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即，，
【点评】
本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用．
28.
【答案】
（1）证明：（外角）
∴ ．
又∵
∴
∴ ；
（2）解：，
作，
．．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据条件可证明，所以，；
（2），，，，作，，所以可求得
，．
【解答】
（1）证明：（外角）
∴ ．
又∵
∴
∴ ；
（2）解：，
作，
．．
【点评】
主要考查了二次函数的综合运用，利用全等三角形判定和性质求出相等的线段再利用线段的和差关系表示出所求图形的边长及相关线段，利用面积公式求面积是解题的关键．
29.
【答案】
解：（1）点不在线段上，
理由：∵ 抛物线与轴有两个交点，
∴ 方程有两个实数根，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，且．
根据题意可知：点的坐标为，
因此分两种情况进行讨论：
①当时，，，点在第三象限，此时点不在线段上；
②当时，，，点在第一象限，
∵ ，
∴
∴ 点不在线段．综上所述，点不在线段上；
（2）存在实数满足，由于，是方程的两个不相等的根，
因此，．
，
∵ ，
∴ ，
即，
又因为，且，
∴ 的取值范围是：．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）本题可先表示出点的坐标，根据抛物线与轴有两个交点，令，那么得出的一元二次方程应该有两个实数根，即（且），由此可得出的取值范围．然后用的取值范围来判断点是否在线段上即可；
（2）由于，那么，可根据一元二次方程根与系数的关系，来求出此时的取值范围．
【解答】
解：（1）点不在线段上，
理由：∵ 抛物线与轴有两个交点，
∴ 方程有两个实数根，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，且．
根据题意可知：点的坐标为，
因此分两种情况进行讨论：
①当时，，，点在第三象限，此时点不在线段上；
②当时，，，点在第一象限，
∵ ，
∴
∴ 点不在线段．综上所述，点不在线段上；
（2）存在实数满足，由于，是方程的两个不相等的根，
因此，．
，
∵ ，
∴ ，
即，
又因为，且，
∴ 的取值范围是：．
【点评】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系等知识，要注意本题中待定系数的范围不确定，因此要分类讨论．
30.
【答案】
解：（1）∵ 点在轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为；
∵ 点在轴上，
∴ ．
∴ 点的坐标为；
∵ 抛物线经过、，
∴ ，
解得：，；
∴ 此抛物线的函数表达式为．
（2）解法一：
过点作于点；
∵ 点的坐标为，点的坐标为
∴
∵ ，
∴ ；
∵ ，，
∴ ，
∴ ；
解法二：也可以先求出，再求的面积，然后利用求出的长．
求点有两种以上的解法：
法一：由于点在第四象限，可设点；
∵ 点在直线上，
∴ ，
∴ ；
∴ 点的坐标为．
法二：∵ ，，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
∴
∴ 点的坐标为．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据直线于轴、轴分别交于、，求得点、的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中，即可求得、的值，进而确定该抛物线的解析式．
（2）由于、同高不等底，它们的面积比等于底边的比，根据它们的面积关系即可得到，即，易证得，利用相似三角形的相似比及线段的长，即可求得的长即点的纵坐标，然后将其代入直线的解析式中，即可求得点的坐标．
【解答】
解：（1）∵ 点在轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为；
∵ 点在轴上，
∴ ．
∴ 点的坐标为；
∵ 抛物线经过、，
∴ ，
解得：，；
∴ 此抛物线的函数表达式为．
（2）解法一：
过点作于点；
∵ 点的坐标为，点的坐标为
∴
∵ ，
∴ ；
∵ ，，
∴ ，
∴ ；
解法二：也可以先求出，再求的面积，然后利用求出的长．
求点有两种以上的解法：
法一：由于点在第四象限，可设点；
∵ 点在直线上，
∴ ，
∴ ；
∴ 点的坐标为．
法二：∵ ，，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
∴
∴ 点的坐标为．
【点评】
此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，熟练掌握三角形面积的求法，能够将三角形的面积比转换为线段的比例关系是解决（2）题的关键．
31.
【答案】
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 该抛物线与轴总有两个不同的交点；
令，
∴ ，
∴ ，
∴ 或，
∴ ，，，
∴ ，，
令，
∴ ，
∴ （），
∴ ，
①通过定点理由：如图，
∵ 点，，在上，
∴ ，
在中，，
在中，，
∴ ，
∴ 点的坐标为；
②如图，由①知，点，
∵ ，
∴ 点在上，
∵ 点是点关于抛物线的对称轴的对称点，
∴ ，
∴ 是的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设，
在中，，
∴ ，
根据勾股定理得，，
∴ ，，
∴ ．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）令，再求出判别式，判断即可得出结论；
（2）先求出，，，
①判断出，求出，即可求出，即可得出结论；
②先设出，再判断出，得出是的直径，进而求出，，即可得出结论．
【解答】
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 该抛物线与轴总有两个不同的交点；
令，
∴ ，
∴ ，
∴ 或，
∴ ，，，
∴ ，，
令，
∴ ，
∴ （），
∴ ，
①通过定点理由：如图，
∵ 点，，在上，
∴ ，
在中，，
在中，，
∴ ，
∴ 点的坐标为；
②如图，由①知，点，
∵ ，
∴ 点在上，
∵ 点是点关于抛物线的对称轴的对称点，
∴ ，
∴ 是的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设，
在中，，
∴ ，
根据勾股定理得，，
∴ ，，
∴ ．
【点评】
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，对称性，求出点，，的坐标是解本题的关键．
32.
【答案】
解：（1）因为，
所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是．
（2）因为抛物线的顶点为，
所以，
消去得，
由此可见，不论取任何实数，抛物线的顶点都满足函数，
即在一次函数的图象上．
所以函数是所求函数的解析式．
（3）符合条件的点存在．
因为点_在抛物线上，
所以，，
解得或，
①当时，，所以它的顶点是与点重合，不合题意，舍去．所以
②当时，，他的顶点为，
因为点、已经确定，所以的长度为定值，
所以要使的周长最小，只须的和最小．
此时，取最小，所以点为所求的点，
设直线的解析式为，它过点，，
所以，
解得，
所以，
因为点在轴上，所以当时，，
所以当点的坐标为时，的周长最小．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）把函数关系式化为顶点式，可得抛物线的顶点坐标是，对称轴是．
（2）因把抛物线的顶点，写成方程组，消去得，，由此可见函数是所求函数的解析式．
（3）把点，代入二次函数可知，，解得或，分别把值代入题中确定，当时，，他的顶点为，取最小，点为所求的点．设直线的解析式为，把点，，代入解析式可得，解得，因为点在轴上，所以当时，，所以当点的坐标为时，的周长最小．
【解答】
解：（1）因为，
所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是．
（2）因为抛物线的顶点为，
所以，
消去得，
由此可见，不论取任何实数，抛物线的顶点都满足函数，
即在一次函数的图象上．
所以函数是所求函数的解析式．
（3）符合条件的点存在．
因为点_在抛物线上，
所以，，
解得或，
①当时，，所以它的顶点是与点重合，不合题意，舍去．所以
②当时，，他的顶点为，
因为点、已经确定，所以的长度为定值，
所以要使的周长最小，只须的和最小．
此时，取最小，所以点为所求的点，
设直线的解析式为，它过点，，
所以，
解得，
所以，
因为点在轴上，所以当时，，
所以当点的坐标为时，的周长最小．
【点评】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点公式和待定系数法求函数解析式的方法以及线段和的最小值问题．注意分析题意分情况讨论结果．
33.
【答案】
解：（1），，；
∴ 抛物线的解析式为
∴ ．
（2）由垂径定理，作弧的中点，连接、，则
，
∴ ．
（3）由（1）可知：，
可求得直线的解析式为．
设为直线与轴的交点，则的坐标为．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 半径，
∴ ．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）已知了点坐标，即可得出圆的半径和的长，连接，过作的垂线不难求出、的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）可取弧的中点，连接、，那么根据垂径定理和圆周角定理不难得出，由此可求出的正切值．（也可通过求弦切角的正切值来得出的正切值）
（3）由于，而，那么，在直角三角形中，，因此，即，据此可求出其正弦值．
【解答】
解：（1），，；
∴ 抛物线的解析式为
∴ ．
（2）由垂径定理，作弧的中点，连接、，则
，
∴ ．
（3）由（1）可知：，
可求得直线的解析式为．
设为直线与轴的交点，则的坐标为．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 半径，
∴ ．
【点评】
本题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、弦切角定理和垂径定理等知识．
34.
【答案】
解：（1）∵
∴ 抛物线的顶点的坐标为
（2）在中，∵ ，
∴
∴ 点在线段的中垂线上
∴ 轴为抛物线的对称轴
∴ ．
（3）在（2）的条件下，
∴ 抛物线为
方法①：将代入得．
即；
将代入得，即；
∴ 直线的解析式为．
∴ 直线的解析式为．
，
解得，
∴ 点的坐标为．
方法②：若点存在，设，过作轴于，过作轴于
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ①
将代入得．即；
将代入得，即；
将，，
代入（1）式：，
∵ ，，
∴ ，
∴
代入并整理得
∵
∴ ．
∴ 点为所求．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）用配方法进行求解即可．
（2）若，则有，那么、关于轴对称，即抛物线的对称轴为，据此可求出的值．
（3）已知了的横坐标，可代入抛物线中求出点的坐标，那么可根据、的坐标求出直线的函数解析式，由于直线与垂直，因此两直线的斜率的乘积为，由此可求出直线的函数解析式，联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求出交点的坐标．（也可通过构建相似三角形来求解）
【解答】
解：（1）∵
∴ 抛物线的顶点的坐标为
（2）在中，∵ ，
∴
∴ 点在线段的中垂线上
∴ 轴为抛物线的对称轴
∴ ．
（3）在（2）的条件下，
∴ 抛物线为
方法①：将代入得．
即；
将代入得，即；
∴ 直线的解析式为．
∴ 直线的解析式为．
，
解得，
∴ 点的坐标为．
方法②：若点存在，设，过作轴于，过作轴于
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ①
将代入得．即；
将代入得，即；
将，，
代入（1）式：，
∵ ，，
∴ ，
∴
代入并整理得
∵
∴ ．
∴ 点为所求．
【点评】
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．
35.
【答案】
（1）解：设点坐标为点坐标为
由于点在轴负半轴，
因此；
因为，根据射影定理有：，
即，
由于，，
因此，且．
∵ ，
因此抛物线的对称轴在轴左侧，
因此，，
因此．
因此、均为正数，为负数．
（2）证明：由于点在点下方，
因此…①．
由于，①式两边同乘以，得…②，
在（1）中得：，
因此②式可写成，即．
（3）解：点在以为直径的圆外．
证明：设以为直径的圆的半径为，
则有
而到轴的距离为．
根据（2）可知：且，
因此
所以点在圆外．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）由于在的负半轴上，因此，根据射影定理可得出，可据此求出的符号，然后根据对称轴在轴左侧可得出的符号．
（2）由于在点下方，因此点的纵坐标小于点的纵坐标，即，在（1）中不难得出，再根据（即，射影定理）即可求出所求的结论．
（3）本题只需将圆的半径的长和点的纵坐标进行比较即可得出所求结论．
【解答】
（1）解：设点坐标为点坐标为
由于点在轴负半轴，
因此；
因为，根据射影定理有：，
即，
由于，，
因此，且．
∵ ，
因此抛物线的对称轴在轴左侧，
因此，，
因此．
因此、均为正数，为负数．
（2）证明：由于点在点下方，
因此…①．
由于，①式两边同乘以，得…②，
在（1）中得：，
因此②式可写成，即．
（3）解：点在以为直径的圆外．
证明：设以为直径的圆的半径为，
则有
而到轴的距离为．
根据（2）可知：且，
因此
所以点在圆外．
【点评】
本题主要考查了二次函数的性质，韦达定理的应用等知识点．
36.
【答案】
令，
解得＝，＝．
∴ ，．
由得，；
证明：∵ 轴于点，
∴ ＝＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝，＝，
∵ ＝，
∴ ＝＝
∴ ＝＝＝，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝＝＝，
∴ 是等边三角形，
∴ ＝，
∵ 绕点顺时针旋转得到，
∴ ＝＝，
∴ ，
∵ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ 四边形是平行四边形；
∵ 点是抛物线上一动点，
∴ 设点，
①当点在点的左侧时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝或＝（不合题意舍去）；
当点在点的右侧时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝（不合题意舍去）或＝（不合题意舍去），（不合题意舍去）；
当点在之间时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝（不合题意舍去）或＝（不合题意舍去），；
综上所述，点的横坐标为或或；
②由①得，这样的点共有个．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）利用抛物线解析式求得点、、的坐标；
（2）欲证明四边形是平行四边形，只需推知且＝即可；
（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；
②根据①的结果即可得到结论．
【解答】
令，
解得＝，＝．
∴ ，．
由得，；
证明：∵ 轴于点，
∴ ＝＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝，＝，
∵ ＝，
∴ ＝＝
∴ ＝＝＝，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝＝＝，
∴ 是等边三角形，
∴ ＝，
∵ 绕点顺时针旋转得到，
∴ ＝＝，
∴ ，
∵ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ 四边形是平行四边形；
∵ 点是抛物线上一动点，
∴ 设点，
①当点在点的左侧时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝或＝（不合题意舍去）；
当点在点的右侧时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝（不合题意舍去）或＝（不合题意舍去），（不合题意舍去）；
当点在之间时，
∵ 与相似，
∴ 或，
∴ 或，
解得：＝（不合题意舍去），＝（不合题意舍去）或＝（不合题意舍去），；
综上所述，点的横坐标为或或；
②由①得，这样的点共有个．
【点评】
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
37.
【答案】
解：（1）∵ 二次函数的图象经过原点，
∴ ，解得，．
当时，二次函数的解析式为，它的图象经过原点，并与轴相交于原点左边的点，（不合题意，舍去）；
当时，二次函数的解析式为，它的图象经过原点，并与轴相交于原点右边的点，符合题意，所以所求的二次函数的解析式为．
（2）由（1）中二次函数，它的图象经过原点，且与轴相交于点，
设点的坐标为，则，
∴ ，
∵ 二次函数的图形是开口向上，顶点为的抛物线；
∴ 抛物线上没有纵坐标为的点，
∴ ，
当时，，解得，．
则点，．
当函数的图形经过点，时，则：
，
解得；
∴ 所求一次函数的解析式为．
当函数的图形经过点，时，则：
，
解得，
∴ 所求一次函数的解析式为．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）已知函数图象经过原点，可将原点坐标代入抛物线的解析式中，可求得的值，然后根据函数与轴的另一交点在原点右边，可将不合题意的的值舍去．
（2）可根据三角形的面积求得点的纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得点的坐标，根据、两点的坐标即可求出直线的解析式．
【解答】
解：（1）∵ 二次函数的图象经过原点，
∴ ，解得，．
当时，二次函数的解析式为，它的图象经过原点，并与轴相交于原点左边的点，（不合题意，舍去）；
当时，二次函数的解析式为，它的图象经过原点，并与轴相交于原点右边的点，符合题意，所以所求的二次函数的解析式为．
（2）由（1）中二次函数，它的图象经过原点，且与轴相交于点，
设点的坐标为，则，
∴ ，
∵ 二次函数的图形是开口向上，顶点为的抛物线；
∴ 抛物线上没有纵坐标为的点，
∴ ，
当时，，解得，．
则点，．
当函数的图形经过点，时，则：
，
解得；
∴ 所求一次函数的解析式为．
当函数的图形经过点，时，则：
，
解得，
∴ 所求一次函数的解析式为．
【点评】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上点的坐标特点．
38.
【答案】
∵ ＝＝，抛物线有最低点
∴ 二次函数＝的最小值为
∵ 抛物线＝
∴ 平移后的抛物线＝
∴ 抛物线顶点坐标为
∴ ＝，＝
∴ ＝＝
即＝，变形得＝
∵ ，＝
∴
∴
∴ 与的函数关系式为＝
法一：如图，函数＝图象为射线
＝时，＝＝；＝时，＝＝
∴ 函数的图象恒过点
∵ 抛物线＝
＝时，＝；＝时，＝＝
∴ 抛物线恒过点
由图象可知，若抛物线与函数的图象有交点，则
∴ 点纵坐标的取值范围为
法二：
整理的：＝
∵ ，且＝时，方程为＝不成立
∴ ，即＝
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 即
∵ ＝
∴
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）抛物线有最低点即开口向上，，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即得到抛物线的顶点式，进而得到抛物线顶点坐标，即＝，＝，＝即消去，得到与的函数关系式．再由，即求得的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点，函数图象恒过点，由图象可知两图象交点应在点、之间，即点纵坐标在、纵坐标之间．
法二：联立函数解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用表示的式子．由与的范围讨论的具体范围，即求得函数对应的交点纵坐标的范围．
【解答】
∵ ＝＝，抛物线有最低点
∴ 二次函数＝的最小值为
∵ 抛物线＝
∴ 平移后的抛物线＝
∴ 抛物线顶点坐标为
∴ ＝，＝
∴ ＝＝
即＝，变形得＝
∵ ，＝
∴
∴
∴ 与的函数关系式为＝
法一：如图，函数＝图象为射线
＝时，＝＝；＝时，＝＝
∴ 函数的图象恒过点
∵ 抛物线＝
＝时，＝；＝时，＝＝
∴ 抛物线恒过点
由图象可知，若抛物线与函数的图象有交点，则
∴ 点纵坐标的取值范围为
法二：
整理的：＝
∵ ，且＝时，方程为＝不成立
∴ ，即＝
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 即
∵ ＝
∴
【点评】
本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．
39.
【答案】
解：∵ 抛物线过点，
∴ ，
∴ .
如图，设的中点为，
∵ ，，线段上有一点，
∴ ，，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 抛物线，
∴ 对称轴为，
∴ 的中点坐标为，
∵ ，，，，
∴ ，
∴ 点或.
∵ 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，
∴ ，
∴ 点，
∵ 点是抛物线的顶点，
∴ 点，
∴ 直线的解析式为：，
∴ 点坐标为，
又∵ 点，
∴ 直线解析式为：，
∵ 直线与直线是同一直线，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线解析式为：，
∵ ，
∴ 当时，，当时，，
∴ ．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将点坐标代入解析式可求解；
（2）由三角形面积关系，可得＝，由对称轴为＝，可求中点的坐标，由线段的数量关系，可求，可求解；
（3）先求出点坐标，点坐标可求直线解析式，可得点坐标，可求解析式，可得＝，由二次函数的性质可求解．
【解答】
解：∵ 抛物线过点，
∴ ，
∴ .
如图，设的中点为，
∵ ，，线段上有一点，
∴ ，，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 抛物线，
∴ 对称轴为，
∴ 的中点坐标为，
∵ ，，，，
∴ ，
∴ 点或.
∵ 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，
∴ ，
∴ 点，
∵ 点是抛物线的顶点，
∴ 点，
∴ 直线的解析式为：，
∴ 点坐标为，
又∵ 点，
∴ 直线解析式为：，
∵ 直线与直线是同一直线，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线解析式为：，
∵ ，
∴ 当时，，当时，，
∴ ．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式，一次函数图象的性质，求出＝是本题的关键．
40.
【答案】
解：∵ ，
∴ 点，点，
∴ 抛物线解析式为：
，
∴ ，.
如图，过点作于，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ 点横坐标为，
∴ 点坐标为，
设直线的函数解析式为：，
由题意可得：
解得：
∴ 直线的函数解析式为.
∵ 点，点，点，
∴ ，，，对称轴为直线，
∵ 直线与轴交于点，
∴ 点，
∴ .
∵ ，
∴ .
如图，过点作于，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
如图，设对称轴与轴的交点为，即点，
若，
∴ ，，
∴ ，，
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点；
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点；
若，
∴ ，，
当，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 点；
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点.
综上所述：满足条件的点的坐标为或或或．
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
平行线分线段成比例
待定系数法求一次函数解析式
相似三角形的判定
【解析】
（1）先求出点，点坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；
（2）过点作于，由平行线分线段成比例可求，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式；
（3）利用两点距离公式可求，，的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求＝，＝，分＝或＝两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【解答】
解：∵ ，
∴ 点，点，
∴ 抛物线解析式为：
，
∴ ，.
如图，过点作于，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ 点横坐标为，
∴ 点坐标为，
设直线的函数解析式为：，
由题意可得：
解得：
∴ 直线的函数解析式为.
∵ 点，点，点，
∴ ，，，对称轴为直线，
∵ 直线与轴交于点，
∴ 点，
∴ .
∵ ，
∴ .
如图，过点作于，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
如图，设对称轴与轴的交点为，即点，
若，
∴ ，，
∴ ，，
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点；
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点；
若，
∴ ，，
当，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 点；
当，
∴ ，
∴ ，
∴ 点.
综上所述：满足条件的点的坐标为或或或．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

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