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专题23：锐角三角函数
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1.（2002·广东·中考真卷） 在中，．下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
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2.（2020·广东·中考真卷） 如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）

A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
?
3.（2003·广东·中考真卷） 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
?
4.（1999·广东·中考真卷）
A. B. C. D.
?
5.（2007·广东·中考真卷） 函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
?
6.（2003·广东·中考真卷） 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
?
7.（2001·广东·中考真卷） 如图，是半圆的直径，是这个半圆的切线，是切点，且，下列四个结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
?
8.（2020·广东·中考真卷） 如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点，分别在边和边上．连接，交于点，交于点．给出以下结论：
①；
②；
③和的面积相等；
④当点与点重合时，，
其中正确的结论共有(? ? ? ? )

A.个 B.个 C.个 D.个
?
9.（2006·广东·中考真卷） 计算：________．
?
10.（2020·广东·中考真卷） 如图，在四边形中，与相交于点，，，，则________．

?
11.（2003·广东·中考真卷） 计算：________．
?
12.（2004·广东·中考真卷） 如图，圆锥的母线长，高，则圆锥的锥角是________度．
?
13.（2006·广东·中考真卷） 计算：________．
?
14.（2019·广东·中考真卷） 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是________米（结果保留根号）．

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15.（2008·广东·中考真卷） 圆的半径为，它的内接正三角形的边长为________．
?
16.（2003·广东·中考真卷） 化简：________．
?
17.（2001·广东·中考真卷） 梯形中，，、分别在、边上，且，，，，则________．
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18.（2004·广东·中考真卷） 如图，的半径是，，弦的长是________．
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19.（2016·广东·中考真卷） 如图，点是四边形外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若是的直径，．连接、、，若，则点到和的距离之和________．
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20.（2014·广东·中考真卷） 如图，某水上乐园有一个滑梯，高度为米，倾斜角为，暑期将至，为改善滑梯的安全性能，把倾斜角由减至
（1）求调整后的滑梯的长度

（2）调整后的滑梯比原滑梯增加多少米？（精确到米）
（参考数据：，，）
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21.（2015·广东·中考真卷） 计算：．
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22.（2020·广东·中考真卷） 计算：.
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23.（2007·广东·中考真卷） 计算：．
?
24.（2018·广东·中考真卷） 计算：．
?
25.（2015·广东·中考真卷） 计算：．
?
26.（2004·广东·中考真卷） 计算：．
?
27.（2013·广东·中考真卷） 计算：．
?
28.（2007·广东·中考真卷） 如图，有一座高米的铁塔，需要用铁索进行固定．已知点、、在同一条直线上．在处钢索的仰角是，在处钢索的仰角是．请求从处到处的距离？（结果保留个有效数字）
?
29.（2013·广东·中考真卷） 小刘同学为了测量学校教学楼的高度，如图，她先在处测得塔顶的仰角为，再向楼的方向直行米[到达处，又测得楼顶的仰角为，请你帮助小刘计算出学校教学楼的高度（小刘的身高忽略不计）．
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30.（2004·广东·中考真卷） 如图，中，，过上一点作的垂线，交延长线与，交于．
（1）判断的形状，并证明你的结论；

（2）若，，设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
?
31.（2004·广东·中考真卷） 小刚和小强两位同学参加放风筝比赛．当他俩把风筝线的一端固定在同一水平的地面时，测得一些数据如下表：
假设风筝线是拉直的，试比较他俩谁放的风筝较高？高多少米？（精确到米）
（供参考数据：，，）．
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32.（2004·广东·中考真卷） 据气象台预报，有一由南向北移动的台风，其中心在南偏东，离我市的地登陆（如图所示）．已知在台风中心的范围内的地方都会受到台风侵袭，那么我市会不会受到此次台风的侵袭？为什么？
（下列数据供参考：，）
?
33.（2006·广东·中考真卷） 已知：的半径是，直线，为的切线，、两点为切点．
（1）当为何值时，？

（2）若，求的长度（结果保留三位有效数字）．
（参考数据，，，，，）
?
34.（2006·广东·中考真卷） 如图，已知：的半径是，从外一点，引圆的两条切线，，切点分别为，．
（1）若，求的长度（结果精确到）；

（2）当为何值时，．
（参考数据：，，，）
?
35.（2004·广东·中考真卷） 在等腰梯形中，，，且．以为直径作交于点，过点作于点．建立如图所示的平面直角坐标系，已知、两点坐标分别为、．?
（1）求、两点的坐标；

（2）求证：为的切线；

（3）将梯形绕点旋转到，直线上是否存在点，使以点为圆心，为半径的与直线相切？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
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36.（2015·广东·中考真卷） 如图，一条输电线路从地到地需要经过地，图中＝千米，＝，＝，因线路整改需要，将从地到地之间铺设一条笔直的输电线路．

（1）求新铺设的输电线路的长度；（结果保留根号）

（2）问整改后从地到地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
?
37.（2016·广东·中考真卷） 计算：．
?
38.（2004·广东·中考真卷） 如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
（1）若，，，试比较、的大小；

（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
?
39.（2018·广东·中考真卷） 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在中，，，，以点为圆心，以任意长为半径作，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，交于点，．
（1）求证：四边形为的亲密菱形；

（2）求四边形的面积．
?
40.（2020·广东·中考真卷） 如图，在四边形中，，，是的直径，平分．
求证：直线与相切；

如图，记中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．
参考答案与试题解析
专题23：锐角三角函数
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据锐角三角函数的定义，互余两角的三角函数的关系进行分析求解．
【解答】
解：根据题意可知：
根据锐角三角函数中，互余两角的三角函数的关系可知：
项不一定成立，除非，
项成立，
项成立，
项成立．
故选．
【点评】
本题主要考查了锐角三角函数的定义、互余两角的三角函数的关．
2.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形
直线与圆的位置关系
【解析】
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
【解答】
解：∵ 中，，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与的位置关系是相切.
故选.
【点评】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
3.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】
解：∵ ，，，，
∴ 原式．
故选．
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
4.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】
解：原式．
故选．
【点评】
熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5.
【答案】
A
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
特殊角的三角函数值
【解析】
首先由特殊角的三角函数值得出点的坐标，然后把点的坐标代入解析式求出值即可．
【解答】
解：∵ ，，
∴ 点的坐标为，
把点的坐标代入，
得：．
故选：．
【点评】
本题主要考查了特殊角的三角函数值及运用待定系数法求函数的解析式，属于基础题型，比较简单．
6.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据锐角三角函数的定义就可以求解．
【解答】
解：由锐角三角函数的定义可知，，，．
故选．
【点评】
本题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，是基础题．
7.
【答案】
D
【考点】
切线的性质
弦切角定理
解直角三角形
【解析】
根据切线的性质以及勾股定理可得，，．
【解答】
解：∵ 是切线，
∴
∵ 是直径，
∴ ．
∴ ，，．
∵ ，．
∴ ，，均正确，错误．
故选．
【点评】
本题利用了弦切角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
8.
【答案】
C
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
三角形的面积
特殊角的三角函数值
线段垂直平分线的定义
角平分线的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
连接，设与交于点，由折叠的性质可得垂直平分，可判断①；由“”可证，可得＝＝，可判断②；通过证明四边形是菱形，可得＝，由锐角三角函数可求＝，可得＝，可判断④，由题意无法证明和的面积相等，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，设与交于点，
∵ 将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
∴ 垂直平分，
∴ ，，，，故①正确，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确，
∵ ，
∴ 四边形是菱形，
∴ ，
当点与点重合时，则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
∵ 平分，
∴ ，
由角平分线定理，，
∴ ，
∴ ，
故③错误.
故选.
【点评】
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）
9.
【答案】
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
先将特殊角的三角函数值代入原式，然后根据二次根式的乘除法运算规则进行计算．
【解答】
解：．
【点评】
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
10.
【答案】
【考点】
解直角三角形
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
三角形的面积
【解析】
通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，设，，表示，，，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．
【解答】
解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，.
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
设，，
则，，，
由得，，
∴ ，
即，，
∴ ．
故答案为：.
【点评】
本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．
11.
【答案】
【考点】
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
【解析】
本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】
解：．
【点评】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂等考点的运算．
12.
【答案】
【考点】
圆锥的计算
解直角三角形
【解析】
易得的余弦值，求得的度数．．
【解答】
解：母线长，高，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】
本题考查了特殊角的三角函数的应用．
13.
【答案】
【考点】
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
【解析】
根据非数的零指数幂等于，负整数指数幂等于正整数幂的倒数计算．
【解答】
解：．
【点评】
主要考查了零指数幂，负指数幂的运算．负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数；任何非数的次幂等于．
14.
【答案】
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形、，进而可解即可求出答案．
【解答】
解：过点作于点，
在中，，，
可得米．
在中，，，
可得米．
故教学楼的高度是米．
故答案为：.
【点评】
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
15.
【答案】
【考点】
三角形的外接圆与外心
解直角三角形
【解析】
欲求的边长，把中边当弦，作的垂线，在中，求的长；根据垂径定理知：，从而求正三角形的边长．
【解答】
解：如图所示．
在中，，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故它的内接正三角形的边长为．
【点评】
本题主要考查根据三角形外接圆半径求其边长．
16.
【答案】
【考点】
互余两角三角函数的关系
【解析】
根据锐角三角函数的概念，可以证明：
一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个角的正切值等于它的余角的余切值．
【解答】
解：因为和互为余角，
所以．
又因为，
所以．
所以
．
【点评】
解答此题要概念熟练利用互余角的三角函数间的关系式，进行计算．
17.
【答案】
【考点】
梯形
特殊角的三角函数值
【解析】
根据已知可求得的度数，从而就不难求得结果了．
【解答】
解：∵ ，，，，∴
【点评】
本题考查了梯形的性质和特殊角三角函数值的计算．
18.
【答案】
【考点】
垂径定理
解直角三角形
【解析】
先根据题意画出图形，作出辅助线，再根据垂径定理求出的度数，由锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可求出的长．
【解答】
解：如图所示，，，
过作于，则，，
所以，
所以．
故答案是．
【点评】
本题考查的是垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19.
【答案】
【考点】
圆周角定理
勾股定理
解直角三角形
【解析】
如图，连接、．首先证明，推出，，根据，，即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接、．
∵ 是直径，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
在中，∵ ，
∴ ，
在中，∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为．
【点评】
本题考查圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、 解答题 （本题共计 21 小题 ，每题 10 分 ，共计210分 ）
20.
【答案】
解：（1）中，
∵ ，米，
∴
∴ 的长度为米；
（2）∵ 中，，
∴ ．
∴ 改善后的滑梯会加长．
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
本题中两个直角三角形有公共的边，那么可利用这条公共直角边进行求解．（1）求长的时候，可在直角三角形内，根据的角所对的直角边是斜边的一半求解．
（2）在直角三角形中求得的长后用即可求得增加的长度．
【解答】
解：（1）中，
∵ ，米，
∴
∴ 的长度为米；
（2）∵ 中，，
∴ ．
∴ 改善后的滑梯会加长．
【点评】
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的基本出发点．
21.
【答案】
解：
．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
实数的运算
算术平方根
绝对值
【解析】
本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】
解：
．
【点评】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22.
【答案】
解：原式
.
【考点】
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
实数的运算
【解析】
根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【解答】
解：原式
.
【点评】
本题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
23.
【答案】
解：原式
．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
首先计算乘方，然后进行加减运算即可．
【解答】
解：原式
．
【点评】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
24.
【答案】
原式
．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】
原式
．
【点评】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
25.
【答案】
解：原式．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用乘方的意义计算，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】
解：原式．
【点评】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26.
【答案】
．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】
解：原式
．
【点评】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的运算．
27.
【答案】
原式＝．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
零指数幂
特殊角的三角函数值
实数的运算
【解析】
分别进行零指数幂、二次根式的化简、绝对值、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
【解答】
原式＝．
【点评】
本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识点，属于基础题．
28.
【答案】
解：∵ 在中，，．
∴ ．
∴ ．
∵ ，．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
所以从处到处的距离是米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
在中利用三角函数求得的长，再根据等角对等边即可求得的长．
【解答】
解：∵ 在中，，．
∴ ．
∴ ．
∵ ，．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
所以从处到处的距离是米．
【点评】
本题主要考查了仰角的定义，一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
29.
【答案】
学校教学楼的高度约是米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
在和中，分别用表示、的长度，然后根据，代入的值即可求出的长度．
【解答】
解：在和中，
∵ ，，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
代入得：，
解得：（米）．
【点评】
本题主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
30.
【答案】
解：为等腰三角形，理由如下：
在中，，
∴ ．
∵ 为延长线上一点，交与点，
∴ ．
∵ ，，，
∴ ，又，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）∵ ，，
∴ 为正三角形．
∵ ，，
∴ ．
∴ ，
根据勾股定理?，
，即．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
解直角三角形
【解析】
充分利用条件，选择适当的方法证明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特点来确定三角形的边长与面积．
【解答】
解：为等腰三角形，理由如下：
在中，，
∴ ．
∵ 为延长线上一点，交与点，
∴ ．
∵ ，，，
∴ ，又，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）∵ ，，
∴ 为正三角形．
∵ ，，
∴ ．
∴ ，
根据勾股定理?，
，即．
【点评】
本题考查了等腰三角形的判定和综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．
31.
【答案】
解：设小刚、小强的风筝分别为、，
由题意得：（米），
（米），
∵ （米），
∴ 小刚放的风筝比小强放的风筝高约米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
根据题意：小刚、小强的风筝分别为、；可得与线与地面所成角的关系，进而求得、的大小，比较可得答案．
【解答】
解：设小刚、小强的风筝分别为、，
由题意得：（米），
（米），
∵ （米），
∴ 小刚放的风筝比小强放的风筝高约米．
【点评】
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
32.
【答案】
解：如图所示，在直角中，，因而这个三角形是等腰直角三角形，
因而，因而我市不会受到侵袭．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
利用三角函数求出市到台风中心经过的路线的距离，把这个距离与进行比较就可以得到．
【解答】
解：如图所示，在直角中，，因而这个三角形是等腰直角三角形，
因而，因而我市不会受到侵袭．
【点评】
本题主要考查了解直角三角形的方法，注意到三角形是直角三角形是解题的关键．
33.
【答案】
解：（1）连接，
∵ ，是的切线，
∴ ，，
∵
∴
∴ ；
（2）连接，
∵ ，是的切线
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【考点】
切线的性质
解直角三角形
【解析】
（1）连接，平分，若是等腰直角三角形，那么，利用的正弦值即可求出的长；
（2）连接，平分，则，利用的正切值即可求出的长．
【解答】
解：（1）连接，
∵ ，是的切线，
∴ ，，
∵
∴
∴ ；
（2）连接，
∵ ，是的切线
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点评】
本题考查切线的性质和锐角的三角函数．
34.
【答案】
解：（1）∵ ，分别切圆于，，
∴ ．
∴ ．
（2）若，根据切线长定理得．
∴ ．
【考点】
切线的性质
解直角三角形
【解析】
（1）根据切线长定理得到，再根据锐角三角函数的概念求解；
（2）若，根据切线长定理发现等腰直角三角形．再根据等腰直角三角形的性质得到．
【解答】
解：（1）∵ ，分别切圆于，，
∴ ．
∴ ．
（2）若，根据切线长定理得．
∴ ．
【点评】
此题主要是运用了切线长定理和锐角三角函数的概念进行求解．
35.
【答案】
（1）解：连接，如图，
∵ 是的直径，
∴ 轴，
∵ 四边形为等腰梯形，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接，如图，在中，
∵ ，
∴ ，
在等腰梯形中，
∴
∴
又∵
∴
∴ 为的切线．
（3）存在．理由如下：
过作于，且交于
∵ 梯形与梯形关于点成中心对称
∴ ，
∴ 且，
在中，，，
∴
在中，
?，
∴ ．
设点存在，则，
作轴于点，
∴ ，
，
①若点在的延长线上，
∴ ，
∴ ．
②若点在的延长线上，
∴ ，
∴ ．
∴ 在直线上存在点和，使以点为圆心，为半径的与直线相切．
【考点】
切线的判定与性质
等腰梯形的性质
中心对称
解直角三角形
【解析】
（1）连接，根据圆周角定理的推论得到轴，再根据等腰梯形的性质得到，，，即可得到点和点坐标；
（2）连接，由半径相等得到，再根据等腰梯形的性质得到，则，得到，于是有，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过作于，且交于，根据中心对称的性质得到，且，在中，，，得到，在中，
根据含度的直角三角形三边的关系得到，．根据切线的性质得到，作轴于点，再根据含度的直角三角形三边的关系可计算出，，然后分类推论：①若点在的延长线上，②若点在的延长线上，分别求出，即可得到点坐标．
【解答】
（1）解：连接，如图，
∵ 是的直径，
∴ 轴，
∵ 四边形为等腰梯形，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接，如图，在中，
∵ ，
∴ ，
在等腰梯形中，
∴
∴
又∵
∴
∴ 为的切线．
（3）存在．理由如下：
过作于，且交于
∵ 梯形与梯形关于点成中心对称
∴ ，
∴ 且，
在中，，，
∴
在中，
?，
∴ ．
设点存在，则，
作轴于点，
∴ ，
，
①若点在的延长线上，
∴ ，
∴ ．
②若点在的延长线上，
∴ ，
∴ ．
∴ 在直线上存在点和，使以点为圆心，为半径的与直线相切．
【点评】
本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含度的直角三角形三边的关系和圆周角定理的推论以及中心对称的性质．
36.
【答案】
过作，交于点，
在中，＝＝（千米），＝＝（千米），
在中，（千米），
∴ ＝＝＝（千米），
则新铺设的输电线路的长度（千米）；
在中，根据勾股定理得：（千米），
∴ ＝＝（千米），
则整改后从地到地的输电线路比原来缩短了千米．
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
（1）过作，交于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，由求出的长即可；
（2）在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由即可求出输电线路比原来缩短的千米数．
【解答】
过作，交于点，
在中，＝＝（千米），＝＝（千米），
在中，（千米），
∴ ＝＝＝（千米），
则新铺设的输电线路的长度（千米）；
在中，根据勾股定理得：（千米），
∴ ＝＝（千米），
则整改后从地到地的输电线路比原来缩短了千米．
【点评】
此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
37.
【答案】
解：
．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】
解：
．
【点评】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①；②．
此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记、、角的各种三角函数值．
此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（，为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
38.
【答案】
解：（1）在中，
在中，
又
∴ ；
（2）根据（1）得
，
又∵
∴
∴ ．
【考点】
锐角三角函数的增减性
【解析】
（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答】
解：（1）在中，
在中，
又
∴ ；
（2）根据（1）得
，
又∵
∴
∴ ．
【点评】
此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
39.
【答案】
证明：∵ 由已知得：，，
由已知尺规作图痕迹得：是的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，，
∴ ∴ 四边形是菱形，
∵ 与中的重合，它的对角顶点在上，
∴ 四边形为的亲密菱形；
设菱形的边长为，
∵ 四边形是菱形，
∴ ，
∴ ，，
∴
∴ ，
即，
解得：，
过点作于点，
∵ 在中，，
∴ ，
∴ 四边形的面积为：．
【考点】
作图—复杂作图
相似三角形的性质与判定
特殊角的三角函数值
【解析】
（1）根据折叠和已知得出，，，求出，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
证明：∵ 由已知得：，，
由已知尺规作图痕迹得：是的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，，
∴ ∴ 四边形是菱形，
∵ 与中的重合，它的对角顶点在上，
∴ 四边形为的亲密菱形；
设菱形的边长为，
∵ 四边形是菱形，
∴ ，
∴ ，，
∴
∴ ，
即，
解得：，
过点作于点，
∵ 在中，，
∴ ，
∴ 四边形的面积为：．
【点评】
本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形是菱形是解此题的关键．
40.
【答案】
证明：作于，如图所示：
则，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
在和中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 直线与相切．
作于，连接，如图所示：
则四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，，
∴ ，是的切线，
由得：是的切线，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
全等三角形的性质与判定
切线的判定与性质
勾股定理
锐角三角函数的定义
【解析】
（1）证明：作于，证，得出＝，即可得出结论；
（2）作于，连接，则四边形是矩形，得＝，＝＝，则＝，证、是的切线，由切线长定理得＝＝，＝＝，则＝＝，由勾股定理得＝，则，证＝，由圆周角定理得＝，则＝，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
证明：作于，如图所示：
则，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
在和中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 直线与相切．
作于，连接，如图所示：
则四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，，
∴ ，是的切线，
由得：是的切线，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】
本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．

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