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6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．(难点)
1．通过作图得出平面向量基本定理，培养直观想象素养．2．通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养．
一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100牛顿，每只小猴子的拉力是50牛顿．
问题：你认为这筐桃子往哪边运动？
知识点　平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
2．基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
0能与另外一个向量a构成基底吗？
[提示]　不能．基向量是不共线的，而0与任意向量都共线．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．
(　　)
(2)基底中的向量可以是零向量．
(　　)
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A．{e1，e2}　　　　　
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[答案]　B
3．若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________．
[答案]　0　0
4．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，若{a，b}为基底，则＝________．
[答案]　(a＋b)
类型1　对基底的理解
【例1】　(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．与　　　　　　
B．与
C．与
D．与
AC　[选项A，与不共线；选项B，＝－，则与共线；选项C，与不共线；选项D，＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故选项A、C满足题意．]
如何判断两个向量是否能构成基底？
[提示]　两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
1．若向量a，b不共线，则c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为基底．
[解]　设存在实数λ，使c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，
即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量a，b不共线，
所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，
从而c，d不共线，故{c，d}能作为基底．
类型2　用基底表示向量
【例2】　(1)(多选题)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝－a－b
B．＝a＋b
C．＝－a＋b
D．＝a
(2)如图所示，?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，．
(1)ABC　[如图，＝＋＝
－b＋＝－b－a，A正确；
＝＋＝a＋b，B正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；
＝＝－a，D不正确．]
(2)[解]　＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b．
＝＋＋＝－＋＋＝b－a．
1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示．
[解]　由平面几何的知识可知＝，
故＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b－a
＝a＋b．
2．若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，．
[解]　＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a．
＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b．
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
2．已知M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
[解]　＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
类型3　平面向量基本定理的唯一性及其应用
【例3】　如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求．
若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示]　由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即?λ1－μ1?e1＝?μ2－λ2?e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.
[解]　＝＋A＝＋
＝＋(－)＝a＋b．
因为与共线，故可设＝t＝a＋b．
又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得所以＝a＋b．
1．将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BP∶PN的值．
[解]　＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b．
因为B，P，N和O，P，M分别共线，
所以存在实数λ，μ使＝λ＝a－λb，
＝μ＝a＋b，
所以＝＋＝－＝a＋b，
又＝b，所以解得
所以＝，即BP∶PN＝4∶1．
2．将本例中点M，N的位置改为“＝，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示．
[解]　＝－＝－＝b－a，
＝－＝－＝a－b．
因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得＝λ＝b－λa，
所以＝＋＝(1－λ)a＋b．
因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得＝μ＝a－μb，
所以＝＋＝a＋(1－μ)b．
即解得所以＝a＋b．
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2．在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)
A．{，}　　　　　　
B．{，}
C．{，}
D．{，}
D　[由于，不共线，所以是一组基底．]
2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋．故选A．]
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A　[＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．]
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0
D．2x＋y－2＝0
A　[由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ．又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2．]
5．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，则＝________，＝________．
a－b　a＋b　[法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有＝＝＝a，＝＝＝b．
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b．
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又
所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)基底的概念是什么？满足什么条件的两个向量可以构成基底？
(2)平面向量基本定理的内容是什么？
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-6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
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1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(重点)3．向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
1．通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养．2．借助向量的线性运算，培养数学运算素养．
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2．
问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．
(3)向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标．
点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？
[提示]　点的坐标与向量的坐标的区别与联系
区别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等向量的坐标相同．
(　　)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．
(　　)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．
(　　)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
(，)　[由题意知
a＝2cos
45°i＋2sin
45°j＝i＋j＝(，)．]
知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有：
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标
3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________．
(2,5)，(4,3)　[由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j，
得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，
a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j，
又i＝(1,0)，j＝(0,1)，
所以a＋b，a－b的坐标分别是(2,5)，(4,3)．]
4．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量＝________．
[答案]　(3,2)
类型1　平面向量的坐标表示
【例1】　(对接教材P29例3)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b．四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
[解]　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos
45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin
45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，
∴C，
∴＝＝，
即b＝．
(2)＝－＝．
(3)＝＋
＝(2，2)＋
＝．
∴点B的坐标为．
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
[解]　由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
类型2　平面向量的坐标运算
【例2】　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　　　　　
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
(1)A　[法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A．]
(2)[解]　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．
[解]　法一：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，
＝(－10,14)，
∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)．
法二：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋＝＝(－10,14)，－＝＝－＝(2，－10)．
类型3　平面向量坐标运算的应用
【例3】　已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　)
A．　　　　　　　
B．
C．(4,5)
D．(1,3)
C　[设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得
即点D(4,5)，故选C．]
在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解.
3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．
(－1,2)　[设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　)
A．(－2,1)　
B．(2，－1)
C．(2,0)
D．(4,3)
[答案]　B
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是(　　)
A．(1，－2)　　　　　
B．(7,6)
C．(5,0)
D．(11,8)
B　[因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以＋＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．]
3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－5,5)
B．(5，－5)
C．(－1,1)
D．(1,1)
B　[＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．]
4．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
　[因为＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
所以解得所以x＋y＝．]
5．已知点B(1,0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3,4)，c＝(－1,1)与a的关系为a＝3b－2c，则向量a的起点坐标为________．
(8，－10)　[a＝3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)，
设a的起点为A(x，y)，
则a＝＝(1－x，－y)，
所以
所以
所以A(8，－10)．
即a的起点坐标为(8，－10)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)平面向量正交分解的概念是什么？
(2)如何表示平面向量的坐标？
(3)点的坐标与向量的坐标有什么区别？
(4)如何求两个向量的和或差的坐标？
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-6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
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1．掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点)2．理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)4．两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
1．通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养．2．通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养．
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505
km．问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：505＋505＋505＋505＝1
010＋505＋505＝1
515＋505＝2
020(km)．
晶晶：505×4＝2
020(km)．
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便．
问题：(1)当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
(2)λa与a的坐标有什么关系？
知识点　平面向量数乘运算的坐标表示
1．数乘运算的坐标表示
(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．
(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
[提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝．
(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．
(　　)
(3)若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2
．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________．
(－1,3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)．]
3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．
－4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]
4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．
－9　[＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即∥，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．]
类型1　向量数乘的坐标运算
【例1】　(对接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝(　　)
A．(2，－3)　　　　　　
B．(－2，－3)
C．(－2,3)
D．(2,3)
(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)则a＋2b－3c的坐标是________．
(1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以＝(1，－6)，＝(3,9)，所以＋＝(2，－3)．
(2)因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)．]
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用．
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题．
(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．
1．如图，已知||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[建立如图所示的平面直角坐标系，
根据条件不妨设A(1,0)，
则B，C，
则由＝x＋y得
＝x(1,0)＋y，
所以解得x＝2，y＝1，
所以x＋y＝3．]
类型2　向量共线的坐标表示及应用
　向量共线的判定与证明
【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
(1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故选D．]
(2)[解]　∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，
∴∥．
又＝(2,6)，＝(2,4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD．
向量共线的判定方法
提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
　已知平面向量共线求参数
【例3】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解]　法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
这时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
　[由题可得2a＋b＝(4,2)，
∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，
∴4λ－2＝0，即λ＝．]
3．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
[证明]　＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥，且，有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
类型3　共线向量与线段分点坐标的计算
【例4】　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
[提示]　如图所示，
∵P为P1P2的中点，
∴＝，
∴－＝－，
∴＝(＋)
＝，
∴线段P1P2的中点坐标是．
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
[提示]　点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当＝时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
＝；
②当＝时，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝．
3．当＝λ(λ≠－1)时，点P的坐标是什么？
[提示]　∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴＝
＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝，
∴P．
[解]　设P点坐标为(x，y)，||＝2||．
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得∴P点坐标为．
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5,8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．
1．若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”其他条件不变，求点P的坐标．
[解]　因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为．
2．若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．
[解]　由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A(x,0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有＝3，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，
解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②点P不在A，B之间，
则有＝－3，同理，
可求得点A，B的坐标分别为，(0，－9)．
综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)．
求点的坐标时注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为．
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
(3)若＝λ(λ≠0)，
①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；
②λ＝1时，P与P2重合；
③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；
④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．
4．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解]　因为＝＝(0,5)＝，
所以C．
因为＝＝(4,3)＝，
所以D．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝．
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20．
①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为．
1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则等于(　　)
A．(0,5)　　　B．(0,1)　　　C．(2,5)　　　D．(2,1)
D　[＝(－)＝(2,6)－(－2,4)＝(2,1)．]
2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　)
A．(1，－2)
B．(9,3)
C．(－2,4)
D．(－4，－8)
D　[由题意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D．]
3．与向量a＝(－3,4)平行的单位向量是________．
或　[设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则
∴
或
]
4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．
(－4，－8)　[∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，
∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]
5．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
{m|m≠6}　[∵A，B，C三点能构成三角形，
∴，不共线．
又∵＝(1,1)，＝(m－2,4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0，解得m≠6．
∴m的取值范围是{m|m≠6}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)若a＝(x，y)，则λa等于什么？
(2)向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？
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-
1
-6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)4．能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)
1．通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养．2．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．
问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识点　平面向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示
条件
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示
a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2．平面向量数量积的坐标表示的结论
条件
结论
a＝(x，y)
|a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
|a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角
cos
θ＝＝
已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
(　　)
(2)a·b＜0?a与b的夹角为钝角．
(　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．
(　　)
(4)||表示A，B两点之间的距离．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝______，|a＋b|＝________．
1　2　[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，
|a＋b|＝＝2．]
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______．
　[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝．]
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
　[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝．]
类型1　平面向量数量积的坐标运算
【例1】　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．
(1)　[以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝．]
(2)[解]　①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2
A　[由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5．]
类型2　向量模的坐标表示
【例2】　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A．4
B．5
C．3
D．4
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
(1)D　[由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4．故选D．]
(2)[解]　①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5．
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或．
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1．
解得或
∴e＝或e＝．
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
2．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解]　(1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝．
(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b
＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，
∴|c|＝＝．
类型3　向量的夹角与垂直问题
【例3】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞)　　　　
B．∪
C．(－∞，－2)
D．(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
设a，b都是非零向量，a＝?x1，y1?，b＝?x2，y2?，θ是a与b的夹角，那么cos
θ如何用坐标表示？
[提示]　
(1)B　[当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B．]
(2)[解]　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．
①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0．
②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，
综上，||＝，D(1,1)．
1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
[解]　当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2．
由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是∪．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解]　cos＝＝，
即＝，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－或3．
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos
θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值．
2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
3．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解]　(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝．
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有即∴点C的坐标为(0,5)．
∴＝(－2,4)，||＝＝2，
故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为2．
1．已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·b＝2　　　　　　　
B．a∥b
C．b⊥(a＋b)
D．|a|＝|b|
C　[因为向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，设b＝(x，y)，则解得所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝．又0≤θ≤π，∴θ＝．]
3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________．
－3　[a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3．]
4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
－2　[法一：a＋b＝(m＋1,3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R．
(1)若a⊥b，则x＝________；
(2)若a∥b，则|a－b|＝________．
(1)－1或3　(2)2或2　[(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3．
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2．
综上，|a－b|＝2或2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a·a，|a|以及向量a与b的夹角θ的余弦值cos
θ？
(2)若a⊥b，则a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)应满足什么条件？
向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
图1
一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
事实上，如图2所示，记t＝|OA|，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．
图2
过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
|BC|＝|a·|，
因此，△OAB的面积为
S＝|AO|×|BC|＝|AO|×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为
图3
S＝|x1y2－x2y1|．
由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？
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1
-6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
1．通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养．2．通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养．
物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的．
　
问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？
(2)它们之间有什么关系？
知识点1　平面几何中的向量方法
1．向量在平面几何中常见的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
(3)求夹角问题，利用夹角公式：
cos〈a，b〉＝＝．
(4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
|a|＝＝或|AB|＝|A|＝．
2．向量法解决平面几何问题的“三步曲”
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若∥，则直线AB与直线CD平行．
(　　)
(2)若△ABC是直角三角形，则必有·＝0．
(　　)
(3)△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC为等边三角形．
(　　)
(4)||＝．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形　　　　　　
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
D　[由条件知＋＝＋，则－＝－，即＝，∴四边形ABCD为平行四边形．]
3．已知在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
A　[由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．]
知识点2　向量在物理中的应用
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W＝|F||s|·cos〈F，s〉．功是一个实数，它可正，可负，也可为零．
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度v，因此动量的计算是向量的数乘运算．
4．如果一架飞机先向东飞行200
km，再向南飞行300
km，设飞机飞行的路程为s
km，位移为|a|
km，则(　　)
A．s＞|a|
B．s＜|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
A　[路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|＜500，故s＞|a|．]
5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10
m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s．
5　[设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，|v2|＝|v0|cos
60°＝10×＝5(m/s)．]
类型1　向量在平面几何中的应用
【例1】　(1)如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H．求证：HG∥EF．
(2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?
[提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD．
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD．
2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?
[提示]　法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD．
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD．
以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD．
[证明]　(1)∵⊥B，⊥，∴∥．
设＝λ
(λ≠0)，则＝λ．同理＝λ．
于是＝－＝λ(－)＝λ，
∴∥，即HG∥EF．
(2)法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE．
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
1．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)
A．三边均不相等的三角形　　
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C　[由·＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设，的夹角为θ，
而·＝cos
θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．]
类型2　向量在解析几何中的应用
【例2】　已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
[解]　设P(x，y)，R(x0，y0)，
则＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
由＝2，得
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程．
用向量方法解决解析几何问题的步骤
一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；
二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；
三是将结果还原为解析几何问题．
2．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程．
[解]　(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥，
因为点D，E分别为边BC，CA的中点，
所以点D，E的坐标分别为D(－1,1)，E(－3，－1)，
＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥，所以·＝0，
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
类型3　平面向量在物理中的应用
【例3】　(对接教材P40例3)(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．
(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示．
①求F3的大小；
②求F2与F3的夹角．
(1)－40　[因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，＝(－1,4)，
则F·＝－1×8－8×4＝－40，
即三个力的合力所做的功为－40．]
(2)[解]　①由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝．
②设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以×2×cos
θ＝－1×2×－4，
所以cos
θ＝－，
所以θ＝π．
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
3．一条宽为km的河，水流速度为2
km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4
km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解]　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED，
当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE，
在Rt△ADE和?ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
∴||＝＝2，
÷2＝0.5(h)，sin
∠EAD＝，
∴∠EAD＝30°．
∴船实际航行速度大小为4
km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．
1．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为(　　)
A．2x＋y－7＝0　　　　　
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
A　[设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u．又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0．]
2．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)
A．(9,1)　
　B．(1,9)　
　C．(9,0)　
　D．(0,9)
A　[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，
设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，
所以所以所以终点坐标为(9,1)．]
3．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10
km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4
km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°＜θ＜180°)，北岸的点A′在A的正北方向，则游船正好到达A′处时，cos
θ＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
D　[该船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A′处，则|v1|cos
α＝|v2|，即cos
α＝＝，又θ＝π－α，所以cos
θ＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，故选D．]
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．
2　[因为＝－＝－，
所以＝＝2－·＋2，即2＝1，所以||＝2，即AC＝2．]
5．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为________N．
10　[如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10
N．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)用向量解决平面几何问题的步骤是什么？
(2)如何用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题？
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-
1
-6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1．借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用，培养数学运算素养．
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝
km，AC＝1
km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．
问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
知识点1　余弦定理
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccos
A；b2＝a2＋c2－2accos
B；c2＝a2＋b2－2abcos
C
推论
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
在△ABC中，若a2[提示]　不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．
(　　)
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．
(　　)
(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．
(　　)
(4)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
知识点2　解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　)
A．　　　B．8　　　C．10　　　D．7
D　[由余弦定理得
c＝＝＝7．]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　)
A．60°
B．45°
C．120°
D．30°
C　[由cos
A＝＝－，∴A＝120°．]
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos
C＝________．
　[∵a2－c2＋b2＝ab，
∴c2＝a2＋b2－ab．
又∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴2cos
C＝1．∴cos
C＝．]
类型1　已知两边与一角解三角形
【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60
cm，c＝60
cm，A＝，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos
C＝，则BC＝________．
(1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理得：
a＝
＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解]　根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos
B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos
45°＝8，∴b＝2，
又∵cos
A＝
＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
类型2　已知三边解三角形
【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．
[解]　根据余弦定理，cos
A＝
＝＝．
∵A∈(0，π)，∴A＝．
cos
C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝．
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝．
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos
A＝
＝＝，
∵0°cos
B＝
＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
类型3　余弦定理的综合应用
【例3】　在△ABC中，若(a－c·cos
B)·b＝(b－c·cos
A)·a，判断△ABC的形状．
在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示]　成立.因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos
C＝＝0，即cos
C＝0，所以C＝；反之若C＝，则cos
C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
[解]　∵(a－c·cos
B)·b＝(b－c·cos
A)·a，
∴由余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos
B)·b＝(b－ccos
A)·a”换为“acos
A＋bcos
B＝ccos
C”其它条件不变，试判断三角形的形状．
[解]　由余弦定理知cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos
B)·b＝(b－ccos
A)·a”换为“lg
a－lg
c＝lg
sin
B＝－lg
且B为锐角”判断△ABC的形状．
[解]　由lg
sin
B＝－lg
＝lg
，
可得sin
B＝，又B为锐角，∴B＝45°．
由lg
a－lg
c＝－lg
，得＝，∴c＝a．
又∵b2＝a2＋c2－2accos
B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2×＝a2，
∴a＝b，即A＝B．又B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
如何利用余弦定理判断三角形的形状？
[提示]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．5
A　[由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2
cos
60°＝3，所以c＝．]
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B　[由题意知，(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝，∴A＝60°．]
3．在△ABC中，若a＝2bcos
C，则△ABC的形状为________．
等腰三角形　[∵a＝2bcos
C＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos
A＝________．
　[由B＝C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos
A＝
＝＝．]
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．
4　[5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，
∴x1＝，x2＝－2(舍去)，
∴cos
C＝．
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝52＋32－2×5×3×＝16，
∴c＝4，即第三边长为4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)余弦定理的内容是什么？其适用于什么形状的三角形？
(2)解三角形的概念是什么？
(3)如何利用余弦定理判断三角形的形状？
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1
-第2课时　正弦定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养．
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD．
问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？
知识点　正弦定理
1．正弦定理
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
＝＝
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；
(3)sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
(4)＝2R．
如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
[提示]　＝＝＝c．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦定理不适用直角三角形．
(　　)
(2)在△ABC中，bsin
A＝asin
B总成立．
(　　)
(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[由正弦定理得，＝，所以＝．]
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)
A．5
B．10
C．
D．5
B　[由正弦定理得，b＝＝＝10．]
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________．
　[由正弦定理得：＝，所以sin
B＝．
又a>b，所以A>B，所以B＝，
所以C＝π－＝．]
类型1　已知两角一边解三角形
【例1】　(对接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[解]　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋)．
已知两角及一边解三角形的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
1．在△ABC中，已知A＝60°，tan
B＝，a＝2，则c＝________．
　[因为tan
B＝，所以sin
B＝，cos
B＝．又A＝60°，所以sin
C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(120°－B)＝sin
120°cos
B－cos
120°sin
B＝＋．由正弦定理，得＝，即c＝＝＝．]
类型2　已知两边和其中一边的对角解三角形
【例2】　(对接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，解三角形．
[解]　由正弦定理，得sin
B＝＝＝．因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°(B＝150°舍去)．
于是C＝180°－45°－30°＝105°．由正弦定理，得c＝＝＝＋1．
已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值．
(2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角．
(3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．
2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a．
[解]　由正弦定理得：sin
C＝＝＝，
∵c>b,0°∴C＝45°或135°．
当C＝45°时，A＝105°，
a＝＝＝＋1，
当C＝135°时，A＝15°，
a＝＝＝－1．
类型3　三角形形状的判断
【例3】　在△ABC中，若sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？
[提示]　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin
A＝，a＝2Rsin
A；sin
B＝，b＝2Rsin
B；sin
C＝，c＝2Rsin
C.由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化.
[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin
Bcos
C＝2sin
Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin
A＝1，
∴sin
B＝．
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0．
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos
C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．
[解]　∵b＝acos
C，
由正弦定理，得
sin
B＝sin
Acos
C．(
)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin
B＝sin(A＋C)，从而(
)式变为
sin(A＋C)＝sin
Acos
C．
∴cos
Asin
C＝0．
又∵A，C∈(0，π)，
∴cos
A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
三角形形状的判断方法
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走“三角变形”之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝．
(2)化角为边，走“代数变形”之路，常用的转化方式有：①sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝．
3．在△ABC中，若3b＝2asin
B，cos
A＝cos
C，则△ABC形状为(　　)
A．直角三角形　　　
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
C　[由正弦定理知：b＝2Rsin
B，a＝2Rsin
A，
则3b＝2asin
B可化为：
3×2Rsin
B＝2×2Rsin
Asin
B．
因为0°＜B＜180°，
所以sin
B≠0，
所以sin
A＝，可得A＝60°或120°．
又因为cos
A＝cos
C，
所以∠A＝∠C，
所以A＝60°，C＝60°，∠B＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ABC为等边三角形．
故选：C．]
1．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则有(　　)
A．aB．a≥b
C．a>b
D．a，b的大小无法判定
C　[因为＝，所以＝．
因为在△ABC中，sin
A>sin
B>0，所以＝>1，所以a>b．]
2．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B的大小可能为(　　)
A．30°　　　　B．150°　　　　C．60°　　　　D．120°
CD　[由正弦定理＝，得sin
B＝＝
＝．又b＞a,0°＜B＜180°，所以B＝60°或B＝120°，故选CD．]
3．在△ABC中，若c＝2acos
B，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
B　[由正弦定理知c＝2Rsin
C，a＝2Rsin
A，
故sin
C＝2sin
Acos
B＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
Acos
B＝cos
Asin
B，
即sin(A－B)＝0，所以A＝B．
故△ABC为等腰三角形．]
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7
-第3课时　正弦定理习题课
学
习
任
务
核
心
素
养
1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2．能根据条件，判断三角形解的个数．3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)
1．通过对三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养．2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．
天塔是天津广播电视塔的简称，耸立于碧波与云霄之间，是世界上唯一一座“水中之塔”，其势如剑倚天，享有“天塔旋云”之美称．
问题：走在天塔附近，你能估计出天塔的大致高度吗？
知识点1　正弦定理及其变形
(1)定理内容：
＝＝＝2R(R为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
②＝＝＝＝2R；
③a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；
④sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝．
在△ABC中，已知acos
B＝bcos
A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示]　可借助正弦定理把边化成角：2Rsin
Acos
B＝2Rsin
Bcos
A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0．
1．在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　　　　
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B　[由正弦定理可得sin
A＝sin
C?＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
A　[由b知识点2　三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为________．
3　[由S＝absin
C＝×4×3×得S＝3．]
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为________．
　[将c2＝a2＋b2－2abcos
C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，则S△ABC＝absin
C＝．]
类型1　三角形解的个数的判断
【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°．
[解]　(1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin
A＝20sin
80°>20sin
60°＝10，
∴aA，∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a∵bsin
A＝6sin
30°＝3，a>bsin
A，
∴bsin
A由正弦定理得
sin
B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°．
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2．
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；
B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2．
已知三角形的两角和任意一边，求其它的边和角，此时有唯一解；若已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，你认为此时如何确定解的个数？
[提示]　1．从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
(1)若sin
B＝＞1，则满足条件的三角形的个数为0；
(2)若sin
B＝＝1，则满足条件的三角形的个数为1；
(3)若sin
B＝＜1，则满足条件的三角形的个数为1或2．
显然由0＜sin
B＝＜1可得B有两个值，一个大于90°，一个小于90°，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论．
2．从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①　　　　　　　②
①a＝bsin
A；②a≥b
一解
bsin
A＜a＜b
两解
a＜bsin
A
无解
A为钝角或直角
a＞b
一解
a≤b
无解
1．在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解　　　　　
B．有两解
C．无解
D．解的个数不确定
C　[法一：由正弦定理和已知条件，得
＝，∴sin
B＝．
∵＞1，∴此三角形无解．
法二：∵c＝2，bsin
C＝2，∴c＜bsin
C，
故此三角形无解．
法三：作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆(图略)，该圆与CD无交点，则此三角形无解．]
2．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满足条件的三角形有两个，则b的取值范围为________．
(，2)　[因为满足条件的三角形有两个，
所以csin
B＜b＜c，
将B＝60°，c＝2代入，解得＜b＜2．]
类型2　三角形的面积
【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos
＝，求△ABC的面积S．
[解]　∵cos
＝，
∴cos
B＝2cos2
－1＝．
∴B∈，∴sin
B＝．
∵C＝，∴sin
A＝sin
(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝．
∵＝，
∴c＝＝×＝．
∴S＝acsin
B＝×2××＝．
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A．
3．(1)在△ABC中，若a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．
(1)2　(2)或　[(1)∵cos
C＝，∴C∈(0°，90°)，
∴sin
C＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))))＝，
又S△ABC＝absin
C＝×3×b×＝4，
∴b＝2．
(2)由正弦定理得sin
C＝＝＝，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin
A＝或．]
类型3　正、余弦定理在几何图形中的应用
【例3】　如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD．
(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
(2)若AD＝3AC，求AC．
[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝．
(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝．
在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC＝＝．
又∠BAC＋∠CAD＝，
所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3．
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
4．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
[解]　(1)在△DAC中，由余弦定理的推论，得
cos∠CAD＝＝＝，
所以cos∠CAD＝．
(3)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD＞0，且sin∠CAD＞0，所以sin∠BAD＝＝，
sin∠CAD＝＝，
所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝＋＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，代入数据得BC＝×＝3．
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
B　[∵a＝1，b＝，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sin
A＝＝＝，
∵a＜b，∴A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，
∴S△ABC＝ab＝×1×＝．故选B．]
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A．
B．5
C．6
D．7
B　[连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠C＝22＋22－2×2×2×cos
120°＝12，∴BD＝2，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5．]
3．不解三角形，则下列说法中正确的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．a＝9，b＝10，A＝60°，无解
B　[A中a＝bsin
A，有一解；
B中A＞90°，a＞b，有一解；
C中a＜bsin
A，无解；
D中b＞a＞bsin
A，有两解．]
4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan
A＝2，则sin
A＝________，a＝________．
　2　[由tan
A＝2，得sin
A＝2cos
A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sin
A＝，
∵b＝5，B＝，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝2．]
5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，则＝________．
－　[由条件得＝＝，
∴sin
A＝sin
C．
同理可得sin
B＝sin
C．
∴＝＝－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)正弦定理有哪些常见变形？
(2)三角形的面积公式有哪些？
(3)如何判断三角形解的个数？
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1
-第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)
1．通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养．2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养．
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
知识点1　基线的概念与选择原则
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
1．在本课时情境与问题中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
[提示]　利用正弦定理和余弦定理．
知识点2　测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．
(如图所示)
2．李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
[提示]　东南方向．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．
(　　)
(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．
(　　)
(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)
A．α＋β　　　　　　　　
B．α－β
C．β－α
D．α
C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]
3．某人先向正东方向走了x
km，然后他向右转150°，向新的方向走了3
km，结果他离出发点恰好为
km，那么x的值为________．
2或　[如图，在△ABC中，由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos
30°，
即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或．]
类型1　测量距离问题
【例1】　(对接教材P49例9)海上有A，B两个小岛相距10
海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A．10
海里　　　　　
B．
海里
C．5
海里
D．5
海里
D　[根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°．由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示]　当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
A，B间不可达也不可视
测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝
B，C与点A可视但不可达
测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝
C，D与点A，B均可视不可达
测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度为________m．
60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin
30°＝60(m)．]
类型2　测量高度问题
【例2】　(对接教材P50例10)济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2
m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°．你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1
m)
[解]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2
m，
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．
在△ABD中，根据正弦定理，得＝．
∴BD＝＝≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin
80°＝38.5×sin
80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38
m．
测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，C的大小，AB＝a·tan
C
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及∠ACB与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
2．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a
m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　)
A．a
m　　　B．
m　　　C．a
m　　　D．a
m
A　[由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a
m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a
m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin
60°＋asin
15°＝a(m)，故选A．]
类型3　角度问题
【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin
θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4
km，从B到C，方位角是120°，距离是8
km，从C到D，方位角是150°，距离是3
km，试画出示意图．
[提示]　如图所示：
2．在上述问题中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？
[提示]　在问题1的图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8
(km/h)．
[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
即128t2－60t－27＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，
得sin∠BAC＝＝，
则cos∠BAC＝＝．
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，
sin
θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin
45°cos∠BAC－cos
45°sin
∠BAC＝．
(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．
[解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°．
由正弦定理得
＝，
即＝．
所以x＝＝
＝14(海里/小时)．
故乙船的速度为14海里/小时．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6
n
mile，渔船乙以5
n
mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2
h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin
α的值．
[解]　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos
120°＝196，
解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7
n
mile/h．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin
α＝＝＝．
1．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)
A．
km　　　B．
km　　　C．1.5
km　　　D．2
km
A　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．]
2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)
A．8(＋)海里/时
B．8(－)海里/时
C．16(＋)海里/时
D．16(－)海里/时
D　[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°．
由正弦定理得＝，
即＝，得AB＝8(－)，
因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]
3．在高出海平面200
m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m．
200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，
由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200
m，
则BH＝AH＝200
m，CH＝AH·tan
60°＝200
m．
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)
m．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：
(1)A处与D处之间的距离为________；
(2)灯塔C与D处之间的距离为________．
(1)24海里　(2)8海里　[由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．
由正弦定理得AD＝·sin
45°＝24(海里)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos
30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8(海里)．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为8海里．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)仰角、俯角、方向角的定义是什么？
(2)如何求解实际问题中的距离、高度及角度问题？
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝eq
\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2))))))．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝c2a2sin2B
＝(c2a2－c2a2cos2
B)，
又因为cacos
B＝，所以
S2＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))))，
从而可知
S＝eq
\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2))))))．
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1
-第六章
平面向量及其应用
类型1　平面向量的线性运算
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第4～6题的位置，主要考查平面向量的线性运算及几何意义，平面向量基本定理及坐标运算，难度较小．考查分析能力，运算求解能力．核心素养是直观想象、数学运算．
(2)用几个向量表示某个向量的技巧：①观察各个向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
【例1】　(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－　　　　　　
B．－
C．＋
D．＋
A　[法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．]
1．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
　[设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋．
＝＋＝－＋．
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，
∴m＝．]
类型2　平面向量数量积的运算
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第5～8题的位置，主要考查平面向量的数量积、模、夹角运算，难度中等及以下．考查分析能力，想象能力及运算求解能力．
(2)在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．
【例2】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是(　　)
A．(－2,6)
B．(－6,2)
C．(－2,4)
D．(－4,6)
A　[·＝||·||·cos∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||·cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos
30°＝6，·＝2×2×cos
120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．]
2．(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
　　[依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝．取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－．注意到线段MN在线
段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin
B＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为．]
类型3　平面向量的共线
(1)高考对平面向量的共线的考查主要是在选择题或填空题中，难度较小，一般有两类题型：一是已知两个向量共线求参数的值；二是根据条件证明向量共线，再得出其他的结论．
(2)平面向量共线问题常用的方法
①向量a，b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa．
②向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0．
③向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|．
④向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．
【例3】　(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
　[2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]
3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
　[∵a与b不平行，∴a＋2b≠0．
∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)．
∴∴t＝λ＝．]
类型4　平面向量的夹角与垂直
(1)向量的夹角与垂直问题是高考的重点题型，一般出现在选择题或填空题中，难度中等以下，当出现在解答题中时也会与其他知识结合考查，难度较小．
(2)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos
θ＝＝．
(3)平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
【例4】　(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－　　　　B．－　　　　C．　　　　D．
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝________．
(1)D　(2)5　[(1)由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．
(2)因为a⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5．]
4．设a＝(2,0)，b＝(1，)．
(1)若(λa－b)⊥b，求λ的值；
(2)若m＝λa＋μb，且|m|＝2，〈m，b〉＝，求λ，μ的值．
[解]　(1)因为a＝(2,0)，b＝(1，)，
所以λa－b＝(2λ，0)－(1，)＝(2λ－1，－)．
又(λa－b)⊥b，
所以(λa－b)·b＝0，即(2λ－1，－)·(1，)＝0，
所以2λ－1－3＝0，所以λ＝2．
(2)因为a＝(2,0)，b＝(1，)，
所以m＝λa＋μb＝λ(2,0)＋μ(1，)＝(2λ＋μ，μ)．
因为|m|＝2，〈m，b〉＝，
所以
即解得或
所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2．
类型5　向量的模与距离
(1)向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇点”，一般在选择题或填空题中考查，难度中等．
(2)向量的模的计算方法有几何法和坐标法两种，有时两种方法均可使用．
【例5】　(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________．
　－1　[法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝．cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－，∴·＝||·||cos∠DPB＝1××＝－1．
法二：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，∴＝(＋)＝(2,1)，P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，∴||＝，·＝(0，－1)·(－2,1)＝－1．
]
5．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．
　[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，
∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝．]
类型6　利用正、余弦定理解三角形
(1)高考对正、余弦定理的考查既有选择、填空题，也有解答题，常以正弦定理、余弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了高考命题的交汇性．
(2)求解此类问题的关键是正、余弦定理及其变形的灵活应用．
【例6】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin
A＝sin
B，C＝，________？
[解]　方案一：选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝．
由②csin
A＝3，所以c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2．
方案三：选条件③．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
6．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin
A＋sin
C＝，求C．
[解]　(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos
150°．
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2．
所以△ABC的面积为×2×2×sin
150°＝．
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin
A＋sin
C＝sin(30°－C)＋sin
C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝．
而0°1．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．3
C　[因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b
B．2a＋b
C．a－2b
D．2a－b
D　[法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos
60°＝．对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b．故选D．
法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则tan
B＝(　　)
A．
B．2
C．4
D．8
C　[法一：在△ABC中，cos
C＝，则sin
C＝＞，所以C∈．由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3．由正弦定理＝，得sin
B＝，易知B∈，所以cos
B＝，tan
B＝＝4．故选C．
法二：在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以△ABC是等腰三角形．过点B作BD⊥AC于点D(图略)，则BD＝＝eq
\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2))))＝，tan
＝＝，所以tan
B＝＝4．故选C．]
4．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos
A＝．
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
[解]　(1)由已知得sin2A＋cos
A＝，即cos2A－cos
A＋＝0．所以＝0，cos
A＝．
由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin
B－sin
C＝sin
A．
由(1)知B＋C＝，所以sin
B－sin＝sin
．
即sin
B－cos
B＝，sin＝．
由于0从而△ABC是直角三角形．
5．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A．
②
由①②得cos
A＝－．
因为0(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin
B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos
B－sin
B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin
B＋3cos
B＝3＋2sin．
又06．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin
A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解]　(1)由题设及正弦定理得sin
Asin＝sin
Bsin
A．
因为sin
A≠0，所以sin＝sin
B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos．
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°．
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a．
由正弦定理得a＝＝＝＋．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是．
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