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7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
1．通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养．
16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋和5－”就可以满足要求：
(5＋)＋(5－)＝5＋5＝10，
(5＋)(5－)
＝5×5－×
＝25－(－15)
＝40．
问题：能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？
知识点1　复数的概念及其表示
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．以后不作特殊说明时，复数z＝a＋bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
(1)复数z＝3＋2i的虚部是2i还是2?
(2)实数5是复数吗？其虚部是什么？
[提示]　(1)虚部是2；(2)5是复数，虚部为0．
1．复数z＝2＋5i的实部等于________，虚部等于________．
2　5　[复数z＝2＋5i的实部为2，虚部为5．]
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
4　[由已知得2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
知识点2　复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＋y＝________．
5　[因为x＋3i＝(y－2)i，
所以所以所以x＋y＝5．]
知识点3　复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0,1＋i，πi，＋2i，－i，i．1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i　[根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]
5．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i是纯虚数，则实数m＝________．
2　[由已知得解得m＝2．]
类型1　复数的概念
【例1】　给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
1．下列说法中正确的是(　　)
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C　[选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
类型2　复数的分类
【例2】　(对接教材P69例1)实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解]　(1)当x满足
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
2．已知m∈R，复数z＝lg
m＋(m2－1)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
[解]　(1)当z为实数时，m需满足解得m＝1．
(2)当z为虚数时，m需满足解得m＞0，且m≠1．
(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数．
类型3　复数相等的充要条件
【例3】　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示]　由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示]　若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
(1)－3　[∵z<0，∴
∴m＝－3．]
(2)[解]　设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________．
2　[∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解]　由题意可知，1＋1－2i
＋3m－i＝0，
即m＝－＋i．
1．复数(2＋)i的实部是(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．2＋　　　　D．0
D　[复数(2＋)i的实部是0，故选D．]
2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[当a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2．
∴“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．故选A．]
3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A．，1
B．，5
C．±，5
D．±，1
C　[令得a＝±，b＝5．]
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
或　[∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或]
5．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
2　[因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．
则??m＝2．
所以m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复数的定义是什么？如何表示？
(2)复数相等的充要条件是什么？
(3)复数的分类是什么？复数、实数、虚数之间有什么关系？
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-7.1.2　复数的几何意义
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养
1．可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)
1．通过复数的几何意义，体会直观想象的素养．2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养．
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础．
问题：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？
知识点1　复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：
复数z＝a＋bi平面向量．
实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(　　)
A．(3，－5)　　　　　　
B．(3,5)
C．(3，－5i)
D．(3,5i)
A　[复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．]
2．若＝(0，－3)，则对应的复数(　　)
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
C　[向量对应的复数为－3i，在虚轴上．]
知识点2　复数的模
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|(a，b∈R)．
2．求法：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R．
3．模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的模一定是正实数．
(　　)
(2)两个复数相等，它们的模一定相等，反之也成立．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×
4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝．]
知识点3　共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用
表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi．
5．复数z＝－3－2i的共轭复数＝________，||＝________．
－3＋2i　　[z＝－3－2i的共轭复数＝－3＋2i，||＝＝．]
类型1　复数与复平面内的点的关系
【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，
则
解得a＜－3．
(2)点Z在x轴上方，
则
解得a＞5或a＜－3．
即当a＞5或a＜－3时，点Z在x轴上方．
1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解]　点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解]　因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±．
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
1．若关于实数x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第________象限．
二　[因为mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以所以m＜0，p＞0，故复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第二象限．]
类型2　复数与复平面内向量的对应
【例2】　(对接教材P71例2)在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量＋和对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[解]　(1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，则＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，
因此＋＝(1,1)，＝－＝(1，－4)，
故＋对应的复数为1＋i，
对应的复数为1－4i．
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，
若设D(x0，y0)，
则有解得故D(3,7)．
即顶点D对应的复数为3＋7i．
法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，
由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，
所以＝＋＝(3,7)，于是D(3,7)．
即顶点D对应的复数为3＋7i．
复数与向量的对应和转化
对应：复数z与向量是一一对应关系．
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．
解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理．
2．(1)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　)
A．－2－i　　B．1＋2i　　C．－2＋i　　D．－1＋2i
(2)在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2
B．－2i
C．－3i
D．3＋i
(1)C　(2)B　[(1)由题意得A(－1,2)，则B(－2,1)，所以向量表示的复数为－2＋i．
(2)复数3－i对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i．]
类型3　复数的模及其应用
【例3】　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1
B．
C．
D．2
(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________．
1．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？
[提示]　|z|＝，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离．
2．复数z满足|z－i|＝1，其几何意义是什么？
[提示]　由|z－i|＝1可知点z到点(0,1)的距离为1．
(1)B　(2)－15＋8i　[(1)因为x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，
|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i．]
1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝．
2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
3．若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．
　[∵z为实数，∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3．∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，
∴z1＝2－5i，∴|z1|＝．]
4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
[解]　法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－1．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C　[复数z的共轭复数＝－2－i，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．]
2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
D　[由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)，
∴＝－＝(5,5)，
∴向量对应的复数为5＋5i，故选D．]
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．2
A　[依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．]
4．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．
－2＋3i　[∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i．]
5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________．
∪　[因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，所以解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复平面的概念是什么？
(2)复数与复平面内的点有什么关系？
(3)复数与复平面内的向量有什么关系？
(4)如何求复数的模？
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-7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
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1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)
1．通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养．
乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算．
问题：复数集内可进行复数的四则运算吗？
知识点1　复数的加、减运算
1．复数加法、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则有：
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．
(　　)
(2)复数与复数相加减后结果为复数．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)
A．8i　　　B．6　　　C．6＋8i　　　D．6－8i
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]
知识点2　复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
4．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
1－i　[＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
类型1　复数代数形式的加、减运算
【例1】　(对接教材P76例1)(1)计算：＋(2－i)－；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．
[解]　(1)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i．
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i．
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
(1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
类型2　复数代数形式加、减运算的几何意义
【例2】　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．则|z1－z2|＝________．
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解]　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i．
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i．
②∵＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i,
||＝＝．
利用复数加、减运算的几何意义解题有哪些技巧？
[提示]　(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x，y)－(1,2)
＝(x－1，y－2)．
＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵＝，∴
解得故点D对应的复数为2－i．
类型3　复数模的最值问题
【例3】　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
[提示]　满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
[提示]　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2,
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解]　如图所示，
设＝－－i，则||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．
1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i　　　B．2＋i　　　C．3　　　D．－2－i
D　[由
得
∴a＋bi＝－2－i．]
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
C　[由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得
得a＝－2．]
3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．
5　[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5．]
4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．
－1　[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1．]
5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＋＝________，则对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．
2　－8－2i　2　[向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．∵＝－，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复数加法、减法的运算律是什么？复数的加法满足哪些运算律？
(2)复数的加法、减法的几何意义是什么？
(3)如何利用数形结合思想求复数模的最值？
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-
1
-7.2.2　复数的乘、除运算
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)
1．通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养．2．借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养．
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，
才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题：(1)多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
(2)复数(a＋bi)(c＋di)的运算结果是什么？
知识点1　复数的乘法
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
(2)|z|2＝z2，正确吗？
[提示]　(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
1．复数(3＋2i)i等于(　　)
A．－2－3i　　　　
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]
2．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
2　[∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i，其实部为0，∴a－2＝0，∴a＝2．]
知识点2　复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
3．已知i是虚数单位，则＝(　　)
A．1－2i　　　B．2－i　　　C．2＋i　　　D．1＋2i
D　[＝＝＝1＋2i．]
类型1　复数代数形式的乘法运算
【例1】　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)；
②(1＋i)2；
③(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．
(1)B　[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，所以
解得a<－1
，故选B．]
(2)[解]　①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．
②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
③原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)
＝(－8＋i)(－1＋3i)
＝8－24i－i＋3i2
＝5－25i．
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i．
1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
(1)C　(2)5　[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C．
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，
所以z的实部是5．]
类型2　复数代数形式的除法运算
【例2】　(对接教材P79例5)(1)＝(　　)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　)
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
(1)D　(2)A　[(1)＝＝＝2－i．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i．]
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i．
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．i　　　　D．－i
A　[因为＝＝＋i，
所以的实部与虚部之积是．]
3．计算：＝________．
1　[法一：＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))))eq
\s\up12(4)＝＝(－1)4＝1．
法二：因为＝＝＝i，
所以＝i8＝1．]
类型3　在复数范围内解方程
【例3】　在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0．
[解]　(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0?a≠0?的求解方法
?1?求根公式法
?2?利用复数相等的定义求解,设方程的根为x＝m＋ni?m，n∈R?，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0?a≠0?，化简后利用复数相等的定义求解.
4．在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0．
[解]　因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23＜0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝．
类型4　复数运算的综合问题
【例4】　(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·
等于(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求
．
1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？
[提示]　z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
2．若z≠0且z＋＝0，则z
是什么数？这个性质有什么作用？
[提示]　z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？
[提示]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以|z|＝，||＝＝，
z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝||2＝z·．
(1)A　[∵z＝＝＝＝＝＝－＋，
∴＝－－，∴z·＝．]
(2)[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5．解得或所以z＝1＋2i或z＝－1－2i，所以＝1－2i或＝－1＋2i．
1．在题设(1)条件不变的情况下，求．
[解]　由例题(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，∴＝＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4))),\f(1,4))＝－i．
2．把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求
．
[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．又因为(1－2i)z是纯虚数，所以a＝－2b，b－2a≠0，由|z|＝＝＝，得b＝1，a＝－2；或
b＝－1，a＝2．所以＝－2－i，或＝2＋i．
1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．
5．已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“?”：z1?z2＝当z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1?z2＝(　　)
A．－＋i　　　　
B．5＋2i
C．－i
D．5－2i
A　[由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|＜|z2|，故z1?z2＝＝＝＝＝－＋i，故选A．]
1．复数的虚部是(　　)
A．1　　　B．－i　　　C．i　　　D．－1
D　[∵复数＝＝＝1－i，
∴复数的虚部是－1．]
2．m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m的值为(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
A　[由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i，
得解得m＝1．]
3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5
B．
C．3
D．
A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2
＝4＋1＝5．]
4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1
B．2
C．
D．
C　[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝．]
5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R．若z1与z2互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
－2　1　[z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i,
z2＝＝＝＝＋i．
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复数代数形式的乘法法则和运算律各是什么？
(2)复数的除法法则是什么？
(3)如何在复数范围内解方程？
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．
例如，当f(z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是
i，－1,1,1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，则算出的一列值是
1＋i,2i，－4，…，22n－1，…．
显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到与本章导语所示类似的分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
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10
-7.3
　复数的三角表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
1．借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养．
前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．
问题：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
知识点1　复数的三角表示式
1．一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos
θ＋isin
θ)的形式．其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos
θ＋isin
θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg_z，即0≤arg
z＜2π．例如，arg
1＝0，arg
i＝，arg(－1)＝π，arg(－i)＝π．
3．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数0的辐角一定是0．
(　　)
(2)一个给定的复数，其辐角也是唯一确定的．
(　　)
(3)复数i的辐角可以为－π．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2)－10＝________；
(3)2－2i＝________．
(1)5；(2)10(cos
π＋isin
π)；(3)2　[(1)－5i＝5；(2)－10＝10(cos
π＋isin
π)；(3)2－2i＝2．]
知识点2　复数三角形式乘法法则与几何意义
1．已知z1＝r1(cos
θ1＋isin
θ1)，z2＝r2(cos
θ2＋isin
θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
3．若非零复数z＝r(cos
θ＋isin
θ)，则z·＝________．
r2　[共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，因此－θ是的一个辐角，则＝r[cos(－θ)＋isin(－θ)]，
故z·＝r(cos
θ＋isin
θ)·r[cos(－θ)＋isin(－θ)]＝r2[cos(θ－θ)＋isin(θ－θ)]＝r2．]
知识点3　复数三角形式除法法则与几何意义
1．＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
2．复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商．
4．计算÷2＝________．
i　[原式＝＝＝i．]
类型1　复数的代数形式与三角形式的互化
　代数形式化为三角形式
【例1】　(对接教材P84例1)把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；
(2)－i．
[解]　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos
θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2．
(2)r＝＝2，cos
θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝．
所以－i＝2．
将复数代数形式化为三角形式的步骤是什么？
[提示]　(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
　三角形式化为代数形式
【例2】　(对接教材P85例2)分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)(cos
60°＋isin
60°)；
(3)2．
[解]　(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝．
4＝4cos＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i．
(2)(cos
60°＋isin
60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°．
(cos
60°＋isin
60°)＝×＋×i
＝＋i．
(3)2
＝2
＝2．
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π．
2＝2cosπ＋2isinπ
＝2×＋2×i
＝1－i．
复数的三角形式z＝r?cos
θ＋isin
θ?必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例?3?.
1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)－；
(3)；
(4)cos＋isin；
(5)．
[解]　根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．
(1)原式＝．
(2)原式＝
＝．
(3)原式＝
＝．
(5)原式＝．
类型2　复数三角形式的乘、除运算
【例3】　计算：
(1)8×4；
(2)(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]；
(3)4÷．
[解]　(1)8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i．
(2)(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos
75°＋isin
75°)＝
＝＋i
＝＋i．
(3)4÷
＝4(cos
0＋isin
0)÷
＝4
＝2－2i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
2．计算：
(1)；
(2)(cos
75°＋isin
75°)×；
(3)÷．
[解]　(1)
＝()2＝2
＝－1＋i．
(2)－i＝
＝，
所以(cos
75°＋isin
75°)×
＝×
＝×
＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin
＝＋i．
(3)因为－＋i＝cosπ＋isinπ，
所以÷
＝÷
＝
＝＝＋i．
类型3　复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
[解]　因为3－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i．
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i．
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量对应的复数，常常转化为＝＋.而求解向量所对应的复数时，要注意它与已知?或可求?向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解.
3．在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
[解]　＋i＝，
由题意得×2
＝×2
＝3
＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i．
1．复数1－i的辐角的主值是(　　)
A．π　　　B．π　　　C．π　　　D．
A　[因为1－i＝2＝2，
所以1－i辐角的主值为π．]
2．将复数4化成代数形式，正确的是(　　)
A．4
B．－4
C．4i
D．－4i
D　[4＝4[0＋i(－1)]＝－4i，故选D．]
3．×＝(　　)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
C　[×＝cos＋isin＝cos
＋isin
＝i，故选C．]
4．复数z＝cos
＋isin
是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________．
＋i　[由题意，得α＝5＝＝·＝cos
＋isin
＝＋i．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何实现复数的代数形式与三角形式的互化？
(2)如何计算复数的乘、除运算？
(3)复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
四元数简介
数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．一般地，形如a＋bi＋cj＋dk的数为四元数，其中a，b，c，d都是实数，i，j，k都是虚数单位，这些虚数单位满足
i2＝j2＝k2＝－1．
给定两个四元数，可以进行同复数类似的加法和减法运算，例如
(2＋3i＋4j＋5k)＋(6＋7i＋8j＋9k)
＝8＋10i＋12j＋14k．
不过，对于两个四元数相乘来说，情况就比复数相乘复杂得多．因为此时，除了会出现i2，j2，k2之外，还会出现ij，ik，jk，ji，ki，kj等．一般地，两个四元数相乘时，规定
ij＝－ji＝k，
jk＝－kj＝i，
ki＝－ik＝j．
例如，
(2＋3i＋4j＋5k)(6＋7i＋8j＋9k)
＝(12－21－32－45)＋(14＋18＋36－40)i＋(16＋24
＋35－27)j＋(18＋30＋24－28)k
＝－86＋28i＋48j＋44k．
由此也可以看出，四元数的乘法是不满足交换律的．
不过，有意思的是，与复数的乘法能够表示平面直角坐标系中的旋转类似，四元数的乘法能够表示空间中的旋转．因此，四元数在描述三维旋转、姿态方面有一些独特的优点，人们经常使用四元数去描述飞行器、机器人等的姿态．感兴趣的同学请自行查阅有关资料．
顺带提及的是，有同学可能会想：既然能有四元数，那有没有三元数呢？能不能规定形如a＋bi＋cj的数为三元数呢？其中a，b，c都是实数，i，j都是虚数单位．对这个问题感兴趣的同学，可以考虑一下此时i与j的积ij的结果是什么，由此是否出现矛盾，等等．
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2
-复数
类型1　复数的概念
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的实部与虚部的概念，难度偏小．
(2)求一个复数的实部或虚部需将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．
【例1】　(1)复数＋的虚部是(　　)
A．i　　　B．　　　C．－i　　　D．－
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
(1)B　(2)B　[(1)＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为．
(2)由纯虚数的定义，可得解得a＝2．]
1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)
A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2
(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)
A．4
B．－1
C．6
D．－1或6
(1)A　(2)B　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选A．
(2)由题意可得z1＝z2，
即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，
根据两个复数相等的充要条件可得
解得m＝－1，故选B．]
类型2　共轭复数
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数中的共轭复数的概念，考查分析和解决问题的能力，运算求解的能力．
(2)解决此类问题应利用共轭复数的概念，求出共轭复数，再根据题目条件求解．
【例2】　(1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1
B．或－
C．－
D．
(1)C　(2)A　[(1)由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．
(2)由题可得＝a－i，则z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．]
2．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
ABC　[对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?1＝2，是真命题；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2，是真命题；
对于C，设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2，是真命题；
对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，故D是假命题．]
类型3　复数的模
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的模的计算，考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．
(2)求解此类问题时，应先将题目中的式子进行变形，求出复数z的代数形式z＝a＋bi，然后求模．
【例3】　(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2
C　[因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝，故选C．]
3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)
A．2
B．
C．
D．1
C　[∵z＝＝＝，
∴|z|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5))))＝．
故选C．]
类型4　复数的四则运算
(1)本考点多为基础题，考查频率较高，常与前面两个考点综合考查，一般出现在选择题的前两题的位置，分值为5分．主要考查复数的加减乘除运算，常以除法运算为主．考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．
(2)解决此类问题的关键是复数乘法、乘法运算法则的熟练应用．
【例4】　计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)(1＋i)2
020；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)．
[解]　(1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i．
(2)原式＝[(1＋i)2]1
010＝(1＋2i＋i2)1
010＝(2i)1
010＝21
010·i1
010＝21
010·(i2)505＝－21
010．
(3)原式＝
＝
＝
＝＋i．
4．(1)计算：＋＝________．
(2)计算：···…·＝________．
(3)设i是虚数单位，则复数(1－i)2－－4i2
019＝________．
(1)－1＋i　(2)－1　(3)0　[(1)由＝i，＝i，
可得原式＝i6＋i＝－1＋i．
(2)因为＝i，
所以原式＝i·i2·i3·…·i2
019
＝i1＋2＋3＋…＋2
019
＝i1
010×2
019
＝(i2)505×2
019
＝－1．
(3)原式＝－2i－＋4i
＝－2i－＋4i
＝－2i－2i＋4i
＝0．]
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝(　　)
A．1　　　　
B．－1　　　　
C．i　　　　
D．－i
D　[＝＝＝－i，选D．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)复数的虚部是(　　)
A．－
B．－
C．
D．
D　[＝＝＝＋i，所以虚部为．]
3．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0
B．
C．1
D．
C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．
法二：因为z＝＋2i＝＝，
所以|z|＝＝＝＝1，故选C．]
4．(2020·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝(　　)
A．－4　　　
B．4　　　
C．－4i　　　
D．4i
A　[(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4，故选A．]
5．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
C　[法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．
法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．]
6．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
2　[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4．
因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝
＝＝＝2．]
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