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8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)
通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养．
观察下面的图片，小到精巧的家居装饰，大到宏伟的庞大建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．
问题：那么设计师是如何设计这些建筑物的呢？应用到哪些数学知识呢？
知识点1　空间几何体的定义、分类与相关概念
1．空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．分类：常见的空间几何体有多面体和旋转体两类．
3．多面体和旋转体
类别
多面体
旋转体
定义
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
(1)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面．(2)封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念
(1)面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．(2)棱：两个面的公共边叫做多面体的棱．(3)顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
轴：形成旋转面所绕的定直线叫做旋转体的轴
1．观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：
①
　　②　
　③　
　④　
　⑤　
　⑥
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？
[提示]　(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥
1．下列实物不能近似看成多面体的是(　　)
A．钻石　　　B．骰子　　　C．足球　　　D．金字塔
C　[钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．]
知识点2　棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
定义
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面；侧面：底面以外的其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱……
2．棱柱的分类
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
3．常见的几种四棱柱之间的转化关系
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
[提示]　根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．
2．下列命题正确的是(　　)
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．长方体的六个面都是矩形
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
C　[底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体，选项A错误；底面是矩形的直平行六面体才是长方体，选项B错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，选项D错误；选项C显然正确．]
知识点3　棱锥的结构特征
定义
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念
底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥
3．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[提示]　不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
3．在三棱锥A?BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
D　[每个三角形都可以作为底面．]
知识点4　棱台的结构特征
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上下底面以外的面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
4．棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[提示]　根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
4．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)
　　　　　　
A　　　　　
　　　　B
C　　　　　　
　　　　　D
C　[A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C．]
类型1　棱柱的结构特征
【例1】　(1)下列命题中，正确的是(　　)
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
(2)如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1．
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
(1)D　[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
①　　　　　②　　　　　　③
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D．]
(2)[解]　①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M?CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1?DCND1．
有关棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
1．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　)
A．所有棱柱的两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
ABD　[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]
类型2　棱锥、棱台的结构特征
【例2】　(1)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是(　　)
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
(1)ABC　[A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
(2)[解]　①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
根据几何体的结构特征如何辨析其为棱锥还是棱台？
[提示]　(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)
①③④
　⑥
　⑤
　[结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
类型3　多面体的表面展开图
【例3】　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？
[提示]　棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：
2．棱台的侧面展开图又是什么样的？
[提示]　棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．
(1)A　[由选项验证可知选A．]
(2)[解]　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体？
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解]　(1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
3．某人用如图所示的纸片，沿折痕向纸外折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”(字在灯的外表面)，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上(　　)
A．快、新、乐　　
B．乐、新、快
C．新、乐、快
D．乐、快、新
A　[根据四棱锥图形，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选A．]
1．下列说法正确的是(　　)
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B　[A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．]
2．棱台不具备的特点是(　　)
A．两底面相似　
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
C　[由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．]
3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱　　B．四棱锥　　C．三棱柱　　D．三棱锥
D　[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]
4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
A　　　　　B　　　
　C　　　　　D
D　[A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]
5．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
2　[将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)空间几何体的定义、分类是什么？
(2)棱柱、棱锥、棱台各有什么几何特征？
(3)如何解决多面体的表面展开图？
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-第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式．(重点、易混点)
通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
如图，观察下列实物图．
问题：(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
知识点1　圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
1．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AC，AC还是母线吗？
[提示]　ABCD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．
1．矩形的两相邻边长分别为3
cm和4
cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为________．
16π
cm2或9π
cm2　[当以3
cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4
cm，底面积为16π
cm2；
当以4
cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3
cm，底面积为9
π
cm2．]
知识点2　圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
2．如图，在圆锥中任取不重合的两条母线，如AB，AD，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？
[提示]　AB与AD相交于点A，且AB＝AD．截面ABD是过顶点A的等腰三角形．
3．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥，这句话对吗？
[提示]　不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的．
2．圆锥的母线有(　　)
A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．无数条
D　[由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条．]
知识点3　圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
图示及相关概念
轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用平面去截圆柱，会得到一个圆柱和一个圆台．
(　　)
(2)用一个平面截圆锥，截得的两部分分别是圆锥和圆台．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×
4．下列命题中，正确的是(　　)
A．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
A　[以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确．很明显选项A正确．]
知识点4　球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
4．球能否由圆面旋转而成？
[提示]　能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
5．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B．球面上任意两点的连线是球的直径
C．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
AC　[A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故D错误．]
6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号)
①　　　　②　　　　③　　　　④
①　[根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．]
知识点5　简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．
(2)简单组合体的构成有两种基本形式：
简单组合体
7．如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把第一、第二排中相应的图形用线连起来．
(1)　　　(2)　
　(3)　　(4)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
[答案]　(1)—C　(2)—B　(3)—D　(4)—A
类型1　旋转体的结构特征
【例1】　(1)下列说法不正确的是(　　)
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
(2)给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是(　　)
A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④
(1)C　(2)D　[(1)由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．
(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]
简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
1．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
AB　[A正确，圆柱的底面是圆面；
B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
C不正确，圆台的母线延长相交于一点；
D不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．]
类型2　简单组合体的结构特征
【例2】　(对接教材P103例2)如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
[解]　旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
旋转体形状的判定方法是什么？
[提示]　(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．
2．如图所示的平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成．
[解]　易知得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台．
类型3　几何体的计算问题
【例3】　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台O′O的母线长．
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示]　圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示]　分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示]　因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
[解]　设圆台的母线长为l
cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm，过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3
cm．
所以＝，所以＝＝．解得l＝9(cm)，即圆台O′O的母线长为9
cm．
把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2
cm和5
cm，母线长是3
cm”，则它的轴截面的面积是________．
63
cm2　[画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝
63(cm2)．]
1．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
2．与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
3．一圆锥的母线长为6
cm，底面半径为3
cm，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4
cm，则圆台的另一底面半径为________
cm．
1　[作轴截面如图，
则＝＝，所以r＝1
cm．]
1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)
A．5　　　　B．10　　　　C．20　　　　D．不确定
B　[圆柱的母线长和高相等．]
2．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A．圆台　　　
B．球　　　
C．圆柱　　　
D．棱柱
B　[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
3．如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
A　[题图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中旋转轴旋转360°得到．]
4．如图，蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体．
圆锥　圆柱　[上半部分为圆锥，下半部分为圆柱．]
5．若一个圆锥的母线长为20
cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm．
10　[如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20
cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10
cm，SO＝10
cm．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)圆柱、圆锥、圆台和球的几何特征各有哪些？
(2)如何识别组合体的结构特征？
(3)圆柱、圆锥、圆台的轴截面各是什么形状？
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-8.2　立体图形的直观图
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)
通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
知识点1　水平放置的平面图形的直观图画法
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法及要求
1．相等的角在直观图中还相等吗？
[提示]　不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
(1)原来相交的仍相交．
(　　)
(2)原来垂直的仍垂直．
(　　)
(3)原来平行的仍平行．
(　　)
(4)原来共点的仍共点．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)
A．①②　　　　　　
B．①②③
C．②⑤
D．③④⑤
C　[由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]
3．梯形的直观图是(　　)
A．梯形
B．矩形
C．三角形
D．任意四边形
A　[斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]
4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
45°或135°　[因为∠A的两边平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°．]
知识点2　空间几何体直观图的画法
(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
2．空间几何体的直观图唯一吗？
[提示]　不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20
m,5
m,10
m，四棱锥的高为8
m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　)
A．4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B．4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C．4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm
D．4
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
C　[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4
cm,1
cm,2
cm和1.6
cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4
cm，0.5
cm，2
cm,1.6
cm．]
类型1　画平面图形的直观图
【例1】　(对接教材P108例1)(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．
(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
(1)　[正方形的直观图A′B′C′D′如图：
因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin
45°＝．]
(2)[解]　画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．
②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，
O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，
分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD；
④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
①　　　　　　　②　　　　　　　③
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②．
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③．
类型2　画空间几何体的直观图
【例2】　画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2
cm)
[解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2
cm．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
―→―→―→
2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3
cm，高(两底面圆心连线的长度)为4
cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3
cm，画出此几何体的直观图．
[解]　(1)画轴．如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．
(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3
cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面．
(3)在Oz上截取OO′＝4
cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．
(4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3
cm．
(5)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图②所示．
①　　　　　　　②
类型3　直观图的还原与计算
【例3】　(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．4
①　　　　　　
　　　　②
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．试画出原四边形，并求原图形的面积．
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示]　根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若尝试与发现1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示]　由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10．
3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？
[提示]　由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．
(1)C　[由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝，O′A′＝2．
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，
∴S△OAB＝××4＝2．选C．]
(2)[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2．
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2．
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2．连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2．
所以面积为S＝×2＝5．
1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
[解]　由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝××＝1，
原图形面积为S△OAB＝2．所以＝＝．
2．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．
[解]　如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝．
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1．
所以BC＝BE＋EC＝＋1．
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
①　　　　　　　　　②
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋．
如何将直观图还原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？
[提示]　1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
3．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)
A．8
cm　　　　　　
B．6
cm
C．2(1＋)
cm
D．2(1＋)
cm
A　[根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB＝2
cm，OA＝1
cm，AB＝3
cm，从而四边形OABC的周长为8
cm．]
1．利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
C　[正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C．]
2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
C　[由题意得，原△ABC的平面图如图所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD．故选C．]
3．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×＝．设梯形O′A′B′C′的高为h，则×(1＋3)×h＝，解得h＝．故选A．]
4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2．
矩形　8　[由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2
cm，OC＝2O′C′＝4
cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．]
5．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
10　[由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2．
故原四边形OPQR的周长为10．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)斜二测画法的内容是什么？
(2)如何用斜二测画法画平面图形或空间几何体的直观图？
(3)如何将直观图还原为平面图形？直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？
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11
-8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
1．借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养．
胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′．假如把建造金字塔的石块凿成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．
问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？
(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？
知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
1．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
9　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9．]
2．正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．
6　6＋　[正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；S表面积＝2××1×＋6＝6＋．]
知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积
1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．
2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh．
3．如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝h(S′＋＋S)．
简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？
[提示]　表面积变大了，而体积不变．
3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)
A．6,22　　　B．3,22　　　C．6,11　　　D．3,11
A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]
4．已知高为3的棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1?ABC的体积为(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[由题意知，三棱锥B1?ABC的高h＝3，则V三棱锥B1?ABC＝S△ABCh＝××3＝．]
类型1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例1】　如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1．当PO1＝2
m，PA1＝4
m时，求帐篷的表面积．
[解]　连接O1A1，因为PO1＝2
m，PA1＝4
m，
所以A1B1＝A1O1＝
＝2(m)，
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1．
所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝＝(m)，
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)，
所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)．
若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？
[解]　若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18(m2)．故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)．
求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.
1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A．a2　　　　
B．a2
C．a2
D．a2
A　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，
∴S表＝a2＋3××＝a2．]
2．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．
160　[如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56．
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝＋＝＝＝64，
∴AB＝8．∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．]
类型2　棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】　(对接教材P115例2)如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1．
(1)求V1，V2以及V1∶V2；
(2)求点A到平面A1BD的距离d．
[解]　(1)截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1?ABD，
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2．
底面ABD上的高为h＝AA1＝a．
所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3．
正方体的体积V＝a3，
所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3，
所以V1∶V2＝1∶5．
(2)三棱锥A1?ABD与三棱锥A?A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，
取BD的中点H，连接A1H，
则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a，
所以A1H＝＝eq
\r(?\r(2)a?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a)))＝a．
其面积S2＝BD·A1H＝×a×a＝a2．
因为V＝V，即a3＝S2·d，
所以a3＝×a2×d，
解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a．
若本例中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论．
[解]　比值没发生变化，证明如下，不妨设在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c．截面将长方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1?ABD，底面△ABD是两直角边分别为a，b的直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝ab．底面ABD上的高h＝AA1＝c，所以其体积V1＝Sh＝×ab×c＝abc．长方体的体积V＝abc，所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3．所以V1∶V2＝1∶5，故比值没发生变化．
求几何体体积的常用方法
3．在三棱台ABC?A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1?ABC，三棱锥B?A1B1C，三棱锥C?A1B1C1的体积之比．
[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S．
∴VA1?ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC?A1B1C1＝S·h＝Sh．
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB?A1B1C＝V台－VA1?ABC－VC?A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴三棱锥A1?ABC，B?A1B1C与C?A1B1C1的体积比为1∶2∶4．
类型3　与正棱柱、正棱锥、正棱台有关的体积和表面积问题
【例3】　一个正四棱锥的底面边长为3
cm，侧棱长为5
cm，则它的体积为________
cm3，表面积为________
cm2．
24　18＋6　[如图，∵正四棱锥P?ABCD的底面边长为3
cm，
∴S正方形ABCD＝18
cm2．
连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，
又棱长PC＝5
cm，∴OP＝＝4(cm)，
∴VP?ABCD＝×18×4＝24(cm3)．
取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝
eq
\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2))))＝(cm)．
S侧＝4××3×＝6(cm2)，
S表＝(18＋6)(cm2)．]
正棱锥的性质
(1)正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高；
(2)从顶点向底面作垂线，垂足为底面(正多边形)的中心；
(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形．
4．正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2
cm和6
cm，两底面之间的距离为2
cm，则该四棱台的侧面积为________．
32
cm2　[如图，取上、下底面中心O1，O，B1C1和BC的中点E1，E．在直角梯形OEE1O1中，EE1为侧面等腰梯形的高，过E1作E1H垂直于OE，垂足为H，OO1＝2
cm，O1E1＝1
cm，OE＝3
cm，∴HE＝2
cm．
在Rt△EHE1中，E1E＝＝2(cm)．
∴S侧＝4××(2＋6)×2＝32(cm2)．]
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48　　　　B．64　　　　C．16　　　　D．96
B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]
2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)
A．
B．2
C．
D．
B　[所求凸多面体的表面积是两个底面
边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2))))＝1，
所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8××1×1×sin
60°＝2．故选B．]
3．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1?EDF的体积为________．
　[利用三棱锥的体积公式直接求解．
V＝V＝S·AB＝××1×1×1＝．]
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．
18a2　[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2．]
5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P?ABC的体积V＝________．
4　[三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积？
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的表面积和体积有什么特点？
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-
1
-8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
1．借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养．
如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面．
问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？
(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？
知识点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
1．圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
[提示]　如图所示．
S圆柱＝2πr(r＋l)　
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　S圆锥＝πr(r＋l)
1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________．
24π　32π　[S侧＝2πrl＝2π×2×6＝24π，
S表＝2πrl＋2πr2＝24π＋2π×22＝24π＋8π＝32π．]
2．如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________．
2π　[由题图可知，圆锥的母线长l＝＝2．
所以S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．]
3．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________．
67π　[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
＝π(32＋42＋3×6＋4×6)
＝π(9＋16＋18＋24)
＝67π．]
知识点2　圆柱、圆锥、圆台的体积公式
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)，
V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．
2．柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
[提示]　如图．
4．圆柱的侧面展开图是长12
cm，宽8
cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)
A．
cm3　　　　
B．
cm3
C．
cm3或
cm3
D．192π
cm3
C　[圆柱的高为8
cm时，V＝π××8＝
cm3，当圆柱的高为12
cm时，V＝π××12＝
cm3．]
5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体，下部是圆柱，其轴截面是边长为4的正方形；上部为圆锥，其高为3，则该几何体的体积为________．
20π　[圆柱的底面半径是2，高为4，圆锥底面半径是2，高为3，则V＝π×22×4＋×π×22×3＝20π．]
类型1　圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．
①求圆台的母线长；
②求圆台的表面积．
(1)A　[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，
表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝．]
(2)[解]　①设圆台的母线长为l，则由题意得
π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl＝40π，∴l＝5，
∴该圆台的母线长为5．
②由①可得圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62
＝40π＋4π＋36π
＝80π．
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤是什么？
[提示]　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图．
(2)依次求出各个平面图形的面积．
(3)将各平面图形的面积相加．
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)
A．4倍　　　B．3倍　　　C．倍　　　D．2倍
D　[由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D．]
类型2　圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】　过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　)
A．1∶1
B．1∶6
C．1∶7
D．1∶8
C　[如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，
∵O′为PO中点，∴PO′＝，
∵＝＝，∴O′A＝，
∴V圆锥PO′＝π··
＝πR2h，
V圆台O′O＝·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))＋R2＋\f(R,2)·R))·＝πR2h．
∴＝，故选C．]
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)
A．π
B．2
C．π
D．π
D　[S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝．
∴V＝π(1＋4＋2)×＝．故选D．]
类型3　组合体的表面积与体积
【例3】　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
[解]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝＝2a，AB＝CDsin
60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a．
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a．∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5
＝(4＋9)πa2．
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3，
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3．
如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？
[解]　如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝a，DC＝2a，
所以该旋转体的表面积为：
S＝S圆柱底面积＋S圆柱侧面积
＋S圆锥侧面积
＝π·(a)2＋2πa·a＋π·a·2a
＝3πa2＋2πa2＋2πa2
＝(3＋4)πa2，
该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱
＝π(a)2·a＋π(a)2a
＝4πa3．
求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和（差）.
3．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
[解]　旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．
令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝．
∴S圆锥表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，
S圆柱侧＝2πrh＝2π×1×＝2π．
∴所求几何体的表面积S＝S圆锥表＋S圆柱侧＝12π＋2π＝2(6＋)π．
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2　　　B．1∶　　　C．1∶　　　D．∶2
C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，则S底∶S侧＝1∶．]
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
C　[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故选C．]
3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________．
7π　[V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)
＝π×3×(1＋2＋4)＝7π．]
4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．
6π　[由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π．]
5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________．
π　[由题意V圆锥＝Sh＝πr2·h＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式是什么？
(2)如何求组合体的表面积和体积？
(3)求组合体的表面积时有哪些易错点？
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-第2课时　球的表面积和体积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点)
1．通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养．
2019年9月28日，郎平率领的中国女排在日本大阪市中央体育馆以3∶0战胜塞尔维亚队，十战十胜，提前一轮锁定2019年女排世界杯赛冠军，第十次在世界“三大赛”登顶的同时，也为新中国成立70周年献上了厚礼．
问题：奥运会中所使用的排球的体积和表面积是多少呢？
知识点　球的表面积和体积
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)球的体积之比等于半径比的平方．
(　　)
(2)球面展开一定是圆形的平面．
(　　)
(3)长方体既有外接球又有内切球．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．2πC2
C　[由2πR＝C，得R＝，所以S球面＝4πR2＝．]
3．表面积为4π的球的半径是________．
1　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1．]
4．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．
36π　[由πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝36π．]
类型1　球的表面积与体积
【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积．
[解]　(1)设球的半径为r，则由已知得
4πr2＝64π，r＝4．
所以球的体积为V＝×π×r3＝π．
(2)设球的半径为R，
由已知得πR3＝π，
所以R＝5，
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π．
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________．
4∶9　[根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9．
]
类型2　球的截面问题
【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1．
球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A．π　　　B．4π　　　C．4π　　　D．6π
(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．
(1)B　(2)1或7　[(1)如图，
设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，
∴V＝π()3＝4π．
(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为－＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为＋＝7．
]
①　　　　　　　　②
如何求解球的截面问题？
[提示]　1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．
2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．
若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于_______．
16π　[如图，圆M面积为3π，
则圆M半径MB为，设球O的半径为R，则R2＝R2＋3，得R＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π．
]
类型3　与球有关的切、接问题
【例3】　(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？
[提示]　2R＝．
2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球半径R′与棱长a呢？
[提示]　外接球半径R＝a；内切球半径R′＝a．
3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？
[提示]　R＝a．
(1)
π　(2)
　[(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π．
(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的体对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的体对角线长是2r．依题意，2r＝·，即r2＝a2，所以S球＝4πr2＝4π·a2＝．]
将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　)
A．12π　　　B．
18π　　　C．36π　　　D．
6π
A　[由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12π．]
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
3．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．
100π　[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．
]
4．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．
1∶∶3　[设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r．如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6))))＝，V正四面体SABC＝××＝．由正四面体的性质知三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝，V正四面体SABC＝××r×4＝r＝，所以r＝，R＝，而棱切球的半径为OD＝＝，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为∶∶＝1∶∶3．]
1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A．36π，144π　　　
B．36π，36π
C．144π，36π
D．144π，144π
B　[球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π．]
2．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π，则原来实心球的表面积为(　　)
A．4π　　　　B．8π　　　　C．12π　　　　D．16π
B　[设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]
3．若两个球的表面积之差为48π，其直径所在圆的周长之和为12π，则这两个球的半径之差为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
C　[设两个球的半径分别为R，r(R＞r)，则即所以R－r＝2．]
4．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为________．
8　[设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8．]
5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．
π　[设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，
设球的半径为R．
因为O′A＝××2＝．
在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，
所以R2＝＋R2，
所以R＝，
所以S球＝4πR2＝π．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)球的表面积和体积公式是什么？
(2)解决球的截面问题的关键是什么？
(3)如何确定空间几何体的外接球和内切球的半径？
我国古代数学中球的体积公式
我国古代数学名著《九章算术》中的“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．实际上，“开立圆术”认为，球的体积V≈d3．
不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发现，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图1所示，在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示．
图1
图2
牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同球相切．如果用同一水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)和它的外切正方形(牟合方盖的截面)．刘徽指出，在每一高度的水平截面圆与其外切正方形的面积之比等于，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于．因此，只要知道了牟合方盖的体积，就能得出球的体积．遗憾的是，刘徽当时并没有得出牟合方盖的体积，他说“敢不阙疑，以候能言者”．
刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图3(1)所示．将它分成四个小立体，如图3(2)、3(3)、3(4)、3(5)所示．其中图3(2)就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发现，图3(3)、3(4)、3(5)的立体体积之和等于如图3(6)所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图3(1)所示的正方体的边长．
因此，如果设球的半径为r，则图3(1)中的正方体边长也为r，从而可知八分之一牟合方盖的体积为r3－r3＝r3．因此牟合方盖的体积为r3．再结合刘徽所得到的结论，就可以知道球的体积为πr3．
上面的介绍中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的计算也都没有超出高中数学的范围，感兴趣的同学再仔细推敲一遍吧！
(1)　　　　(2)
(3)　
　　(4)
(5)　　　　　(6)
图3
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