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8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)
1．通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养．
宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题：(1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
知识点1　平面
平面的描述性概念
几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的
画法
水平放置
常把平行四边形的一边画成横向
竖直放置
常把平行四边形的一边画成竖向
记法
(1)
用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内
(2)
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD
(3)
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面AC，平面BD
1．一个平面能否把空间分成两部分？
[提示]　因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．
1．下列说法正确的是________．(填序号)
(1)平面的形状是平行四边形；
(2)任何一个平面图形都是一个平面；
(3)两个平面相交的画法中，一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画；
(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面．
(3)(4)　[(1)不正确．平面常用平行四边形表示，但不是平行四边形，平面是无限延展的．
(2)不正确．平面图形与平面是两个不同的概念，平面图形具有大小、面积等属性，而平面则没有，平面是无限延展的，不可度量的．
(3)正确．符合直观图画法的规则．
(4)正确．三角形、圆、平行四边形都是平面图形，都可以表示平面．]
知识点2　点、直线、平面之间的位置关系
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点A在直线l上
A∈l
点B在直线l外
B?l
点A在平面α内
A∈α
点P在平面α外
P?α
直线l在平面α内
l?α
直线l不在平面α内
l?α
平面α与β相交于直线l
α∩β＝l
2．如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．
[答案]　∈　?　?　BC
知识点3　平面的基本事实及推论
(1)基本事实：
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1的推论．
①　　　　　　②　　　　　　③
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
2．(1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？
(3)如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
[提示]　(1)这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．
(2)不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．
(3)这些公共点落在同一条直线上．
3．空间任意四点最多可以确定平面的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
D　[空间任意四点最多可以确定平面的个数是4，例如空间任意四点为三棱锥A?BCD的顶点时，可以确定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．]
类型1　立体几何三种语言的相互转化
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
[解]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．
类型2　点、线共面问题
【例2】　如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α．
[解]　∵PQ∥a，∴PQ
与
a
确定一个平面β．
∴直线a?β，点
P∈β．∵P∈b，b?α，∴P∈α．
又∵a?α，∴α与β重合．∴PQ?α．
解决点线共面问题的基本方法
2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
[解]　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α．
因此直线AB，BC，AC都在平面α内，
所以直线AB，BC，AC共面．
法二：因为A不在直线BC上，
所以点A和直线BC可确定一个平面α．
因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α．同理AC?α，故直线AB，BC，AC共面．
法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个平面α．
因为A∈α，B∈α，所以AB?α，
同理BC?α，AC?α，
故直线AB，BC，AC共面．
类型3　点共线、线共点问题
【例3】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．
求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E．能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示]　如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1．
∵A1C?平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1．
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．
[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．
所以AB，CD必定相交于一点．
设AB∩CD＝M．
又因为AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．
所以M∈α∩β．
又因为α∩β＝l，所以M∈l．
即AB，CD，l共点(相交于一点)．
本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
[证明]　若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF?平面ABD，GH?平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事实3可得P∈BD．
所以点P在直线BD上．
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点．
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝α，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．
[证明]　如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ．
∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α．
又α∩β＝c，∴P∈c．
故a，b，c三条直线必相交于同一点．
1．下列空间图形画法错误的是(　　)
A　　　　B　　　　
C　　　　D
D　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
B　[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α．]
3．下列说法正确的是(　　)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10
m，宽5
m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
D　[镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．]
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
3　[三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．]
5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
[证明]　因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE．
所以点P在直线DE上．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？
(2)3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？
(3)基本事实1的3个推论是什么？有什么作用？
(4)如何证明点、线共面问题？
(5)如何证明点共线、线共面问题？
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-8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)
1．通过空间中两条直线的位置关系的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习，提升逻辑推理的核心素养．
观察你所在的教室．
问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？
(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？
(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？
(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？
知识点1　空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．
①　　　　　　　　②
2．空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，没有公共点
异面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
[提示]　不一定．可能平行、相交或异面．
1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　
B．异面
C．平行
D．相交或异面
D　[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]
2．如图，观察正方体ABCD
?A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
①平行　②异面　③相交　④异面　[直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”．
直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”．
点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．
同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”．]
知识点2　直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
2．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
[提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
3．直线a在平面γ外，则(　　)
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
D　[直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．]
4．在如图所示的正方体ABCD
?A′B′C′D′中，
(1)与AB所在直线平行的平面有________个；
(2)与A′B所在直线平行的平面有________个；
(3)与A′D′所在直线相交的平面有________个．
(1)2　(2)1　(3)2　[(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′；
(3)与A′D′所在直线相交的平面有平面DCC′D′和平面A′B′BA．]
知识点3　两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
5．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
[答案]　D
6．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
B　[∵M∈平面α，M∈平面β，
∴α与β相交于过点M的一条直线．]
7．平面α∥平面β，直线a?α，则a与β的位置关系是________．
[答案]　平行
类型1　利用符号语言表示位置关系
【例1】　(对接教材P130例1)根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之间的位置关系，并画出相应的图形：
(1)A∈α，B?α；
(2)l?α，m∩α＝A，A?l；
(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α．
[解]　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内．
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q．
图形分别如图①②③所示．
①　　　　　　②　　　　　　③
解决此类问题要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面之间的位置关系只能用“?”或“?”.用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，要注意实线和虚线的区别.
1．如图所示，用符号语言可表述为(　　)
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
A　[平面α与平面β相交于m，所以α∩β＝m；直线n在平面α内，所以n?α；直线m与直线n相交于A，所以m∩n＝A．]
2．用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
图①　　　　　　　　图②
[解]　图①中，a?α，b∩α＝A．图②中，α∩β＝c，a?α，a∥c，b?β，b∩c＝P．
类型2　空间中两条直线的位置关系
【例2】　如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD
?A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)
A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
C　[设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝，GH＝＝，所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面(图略)，所以EF与GH是共面直线．因为EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．]
如何判断两条直线是平行、相交还是异面？
[提示]　1．判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．
3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF(　　)
A．平行　　　　　　　　
B．异面
C．相交
D．以上均有可能
B　[假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE?α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线．]
4．在正方体ABCD
?A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)
A．8条　　　B．6条　　　C．4条　　　D．2条
C　[正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．]
类型3　空间中直线与平面的位置关系
【例3】　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)下列说法中，正确的个数是(　　)
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
(1)B　(2)C　[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．
(2)易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C．]
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
5．已知两平面α，β平行，且a?α，下列三个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β无公共点．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0
B　[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面直线；②正确；③根据定义a与β无公共点，正确．]
类型4　平面与平面位置关系的判定
【例4】　(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
(2)完成下列作图：
①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
②在图中分别画出三个两两相交的平面．
1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
[提示]　因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？
[提示]　不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而是α∩β＝l．
(1)C　[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
(2)[解]　①如图所示，
②如图所示，
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．
6．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
8　4　[三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]
1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
D　[如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D．]
2．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC与BD不相交，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]
3．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行、相交或异面
D　[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]
4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
②④　[如题干图①中，GH∥MN．
图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面．
图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面．
图④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．]
5．过平面外两点，可作________个平面与已知平面平行．
0或1　[若过两点的直线与已知平面相交，则作不出平面与已知平面平行；若过两点的直线与已知平面平行，则可作一个平面与已知平面平行．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？
(2)空间中直线与平面的位置关系有哪几种？如何判断？
(3)空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？
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1
-8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
.学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解并掌握基本事实4，并会用其解决相关直线与直线平行问题．2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．
1．通过基本事实4和等角定理内容的学习，培养数学抽象和直观想象的核心素养．2．通过基本事实4及等角定理的应用，培养直观想象和逻辑推理能力．
如图，在长方体ABCD
?A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′．
问题：BB′与DD′平行吗？
知识点1　直线与直线平行
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行(基本事实4)
图形语言
符号语言
直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c
作用
证明或判断两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
1．已知在棱长为a的正方体ABCD?A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
平行　[如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，MNAC，
由正方体的性质可得ACA′C′，
∴MNA′C′，
即MN与A′C′平行．]
知识点2　空间等角定理
(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(2)符号语言：如图①②所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，则∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°．
图①　　　　　　图②
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等；
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补．
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)
A．30°　　　　　　
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．]
类型1　平行线传递性的应用
【例1】　在正方体ABCD
?A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形．
[证明]　取B1C1的中点G，连接GD1，GE，
则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D，
∴四边形GEDD1是平行四边形，GD1∥ED，GD1＝ED．
∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，
∴四边形FB1GD1是平行四边形，
∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED，
∴四边形B1EDF是平行四边形，
又B1E＝eq
\r(BB\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC)))＝BB1，B1F＝
eq
\r(B1A\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A1D1)))＝A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F，
∴四边形B1EDF是菱形．
空间两条直线平行的证明
判断两条直线平行，除了平面几何中常用的判断方法以外，基本事实4，即平行线的传递性，也是判断两直线平行的重要依据．解题时要注意中位线的作用．
1．如图，E，F分别是长方体ABCD?A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
[证明]　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1．
∵E是AA1的中点，∴EQA1D1．
∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q．
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QDC1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QFD．
又B1EC1Q，∴B1EFD，
故四边形B1EDF为平行四边形．
类型2　等角定理的应用
【例2】　如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
[证明]　(1)∵ABCD?A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM．
又∵B1C1＝BC，
∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
证明两角相等的方法有哪些？
[提示]　证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等角定理时，应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补．因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．
2．如图，已知三棱锥A?BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．
求证：△EFG∽△BCD．
[证明]　∵在△ABC中，EF∥BC，∴＝．又FG∥CD，∴＝．∴＝，∴EG∥BD．
∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，
∴∠EFG＝∠BCD．
同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD．
1．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
C　[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行，故选C．]
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　)
A．OB∥O1B1，且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
D　[当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1时，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D．
]
3．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
6　[?EH＝FG＝BD＝1．
同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四边形EFGH的周长为6．]
4．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
平行　[在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC．又BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)基本事实4的内容是什么？有什么作用？
(2)如何证明两直线平行？
(3)空间等角定理的内容是什么？有什么作用？
(4)证明空间角相等的方法有哪些？
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7
-8.5.2　直线与平面平行
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)
借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养．
在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
问题：(1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？
知识点1　直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
作用
证明直线与平面平行
如果直线a与平面α内的一条直线b平行，直线a与平面α一定平行吗？
[提示]　不一定，直线a可能在平面α内．
1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)
A．a?α，b?α，a∥b
B．b?α，a∥b
C．b?α，c?α，a∥b，a∥c
D．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
A　[由直线与平面平行的判定定理知选A．]
知识点2　直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
图形语言
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
作用
证明两条直线平行
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l∥平面α，直线a?平面α，则l∥a．
(　　)
(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×
3．如图，在三棱锥S
?ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
B　[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]
4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
1　[如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]
类型1　直线与平面平行的判定
【例1】　(对接教材P138练习2)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN．求证：MN∥平面AA1B1B．
[证明]　法一：如图①，作ME∥BC，交BB1于点E，作NF∥AD，交AB于点F，连接EF，
①
则EF?平面AA1B1B，
且＝，＝．
∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB．
∴＝＝．又AD＝BC，
∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形．∴MN∥EF．
∵MN?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B．
法二：如图②，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P?平面AA1B1B．
②
∵△NDC∽△NBP，
∴＝．
又CM＝DN，B1C＝BD，
∴＝＝．
∴MN∥B1P．
∵MN?平面AA1B1B，B1P?平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B．
证明直线与平面平行的步骤是什么？
[提示]　证明直线与平面平行，可以用定义，也可以用判定定理，但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法)，所以更多的是用判定定理，用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
1．如图，P是?ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PEC．
[证明]　设PC的中点为G，连接EG，FG．
∵F为PD的中点，
∴GF∥CD，且GF＝CD．
∵AB∥CD，AB＝CD，E为AB的中点，
∴GF∥AE，GF＝AE，
∴四边形AEGF为平行四边形，
∴EG∥AF．
又∵AF?平面PEC，EG?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
类型2　直线与平面平行的性质
【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
[证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN．
同理，AB∥PQ，
所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP．
所以截面MNPQ是平行四边形．
1．若本例条件不变，求证：＝．
[证明]　由例1知PQ∥AB，∴＝．
∵QM∥DC，∴＝．
∴＝．
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．
[解]　由例2知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．
∵BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝AB，QM＝CD．
∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20．
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
2．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明．
[解]　取BB1中点E，连接AE，则AE∥PB1，
连接CE，取CE中点N，连接QN，则QN∥AE，所以QN∥PB1，即Q，N，P，B1四点共面，连接B1N并延长交BC于H，连接QH，则Q，H，B1，P四点共面，
过A作AM∥QH交BC于M，即为所求．
类型3　直线与平面平行的判定与性质
【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示]　不是．
2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．
[解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．
证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．
同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c．则b∥c．又∵b?β，c?β，∴b∥β．
又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．
线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：?1?确定?或寻找?一条直线平行于一个平面；?2?确定?或寻找?过这条直线且与这个平行平面相交的平面；?3?确定交线；?4?由性质定理得出线线平行的结论.
3．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
[解]　已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l．求证：a∥b∥l．
证明：如图所示，∵a∥b，b?β，a?β，
∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，
∴a∥b∥l．
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
D　[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]
2．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
平行或相交或b在α内　[如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b?α(其中E，F为棱的中点)．]
3．过正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求证：BB1∥EE1．
[证明]　如图所示，∵CC1∥BB1，CC1?平面BEE1B1，
∴CC1∥平面BEE1B1．
又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
∴CC1∥EE1．
由于CC1∥BB1，
∴BB1∥EE1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线与平面平行的判定定理的内容是什么？应用此定理应注意什么问题？
(2)判定直线与平面平行的方法有哪些？
(3)直线与平面平行的性质定理的内容是什么？
(4)线线平行与线面平行之间是如何转化的？
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-8.5.3　平面与平面平行
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)
1．通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养．
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．
问题：(1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
知识点1　平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
作　用
证明两个平面平行
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
(　　)
(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(　　)
(3)直线a∥平面β，直线b∥平面β，a?平面α，b?平面α?平面α∥平面β．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．在长方体ABCD?A′B′C′D′中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
D　[在长方体ABCD?A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行．]
知识点2　平面与平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
图形语言
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
作用
证明两条直线平行
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝直线a，平面
β∩平面γ＝直线b?直线a∥直线b．
(　　)
(2)平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β?a∥b．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×
4．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　　)
A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．平行或异面
A　[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n．]
5．已知长方体ABCD?A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
A　[由面面平行的性质定理易得．]
类型1　平面与平面平行的判定
【例1】　(对接教材P140例4)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB．
[解]　(1)连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1．
而BD∥B1D1，∴BD∥EF．
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB．
∴MN∥平面EFDB．
连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．
∴MF∥AD且MF＝AD．
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．
又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE．
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB．
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
1．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP．
又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC．
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BC∥AD，∴MQ∥BC．
又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC．
又∵MQ∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC．
类型2　平面与平面平行的性质
【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
平面与平面平行性质定理的条件有哪些？
[提示]　必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.,以上三个条件缺一不可.
[解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD，所以＝，即＝，所以BD＝．
将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．
[解]　与本例同理，可证AB∥CD．
所以＝，即＝，所以BD＝24．
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G．求证：＝．
[证明]　连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG．
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG．同理AE∥HF，
所以＝＝，
所以＝．
类型3　平行关系的综合应用
【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．
求证：GH∥平面PAD．
[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO．
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH．
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD．
1．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．
(2)基本事实4．
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
2．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
3．如图，三棱锥A?BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
求证：CD∥平面EFGH．
[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH．
∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．又∵EF?平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．
又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
1．在正方体EFGH?E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(　　)
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A　[根据面面平行的判定定理，可知A正确．]
2．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
CD　[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD．]
3．若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
D　[由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]
4．用一个平面去截三棱柱ABC?A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H．
若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
②⑤　[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)平面与平面平行的判定定理是什么？还有哪些方法可以判断平面与平面平行？
(2)平面与平面平行的性质定理是什么？平面与平面平行的性质还有哪些？
(3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化？
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