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8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)2．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(重点、易错点)
1．通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养．2．借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养．
观察下面两个图形．
问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
知识点　异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．
3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？
[提示]　相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面　　　　　　
B．平行
C．异面
D．平行或异面
D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]
2．已知正方体ABCD?A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
(1)60°　(2)45°　[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．]
类型1　异面直线所成的角
【例1】　如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′．
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD?EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？
[提示]　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．
2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示]　异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b．
[解]　(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°．
(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．
求异面直线所成角的方法步骤是什么？
[提示]　(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．
(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．
1．如图，已知在长方体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．
(1)BC和A′C′所成的角为________；
(2)AA′和BC′所成的角为________．
(1)45°　(2)60°　[(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°．
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°．
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°．]
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________．
　[将正方体ABCD?A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个如图所示的长方体，连接CE1，ME1．
因为DB1∥CE1，
所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a．在三角形MCE1中，
CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，
那么cos∠MCE1＝＝．]
类型2　直线与直线垂直的证明
【例2】　(对接教材P147例2)如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF．
[证明]　法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G．
则OG∥B1D，EF∥A1C1．
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
∴DB1⊥EF．
法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，
则HEDB1．于是∠HEF为所求
异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，
则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，
则HI⊥IF．
∴HF2＝HI2＋IF2＝．
∴HF2＝EF2＋HE2．∴∠HEF＝90°．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
∴DB1⊥EF．
证明两条异面直线垂直的步骤
(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或其补角)．
(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．
3．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3．
求证：AC⊥BD．
[证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC．
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°．
即异面直线AC与BD所成的角是90°．
∴AC⊥BD.
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　
B．平行
C．相交
D．以上都有可能
D　[当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．]
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
B　[取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG．易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°．]
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
60°　[连接AD1，则AD1∥BC1．∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°．]
4．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为________．
45°　[因为D，E分别是VB，VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)异面直线所成角的定义是什么？
(2)异面直线所成角的范围与平面内两直线所成角的范围有什么不同？
(3)如何证明两条异面直线垂直？
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-8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的定义及判定定理
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1．了解直线与平面垂直的定义．(重点)2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)4．能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明．(重点)
1．通过学习直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2．通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养．
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点1　直线与平面垂直的定义
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
[提示]　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
1．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则(　　)
A．l和α相互平行
B．l和α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
D　[直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能，如图所示．
①　　　　②　　
　③]
知识点2　直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．
(　　)
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．
(　　)
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB　　　　　
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
C　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC．]
知识点3　直线与平面所成的角
1．相关概念：
斜线
一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足
斜线与平面的交点
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO
2．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
3．直线与平面所成的角θ的取值范围：0°≤θ≤90°．
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
45°　45°　0°　[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，
即所成的角为0°．]
类型1　直线与平面垂直的判定
【例1】　如图，在三棱锥S?ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[证明]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC．
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD．
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC．
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β．
1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N．
求证：AN⊥平面PBM．
[证明]　设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM?α，
∴PA⊥BM．
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM．
由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，
∴BM⊥AN．
又AN⊥PM，
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM．
类型2　直线与平面所成的角
【例2】　(对接教材P152例4)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？
[提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．
2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
[提示]　在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．
[解]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝．
(2)连接A1C1交B1D1于O，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O．
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，
A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．
在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
[解]　连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a．
∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，
∴EO1＝AO＝×＝，
B1O1＝＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))＋a2)＝，
∴tan∠EB1O1＝＝＝．
求直线与平面所成角的步骤是什么？
[提示]　(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
2．在正三棱柱ABC
?A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
[解]　如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD．
因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′．
因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D．
又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，
所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．
等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝，
在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，
故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为
sin∠C′BD＝＝．
1．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
BD　[对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE．故选BD．]
2．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60°　　　　
B．45°
C．30°
D．120°
A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°．
故选A．]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
[证明]　如图，连接AC，
则AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C?平面A1AC，
∴BD⊥A1C．
同理可证BC1⊥A1C．
又∵BD∩BC1＝B，
BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线与平面垂直的定义是什么？
(2)直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？应用该定理应注意哪些方面？
(3)直线与平面所成角的定义是什么？角的取值范围是什么？如何求解？
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-第2课时　线面垂直的性质与空间距离
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1．理解直线与平面垂直的性质定理．(重点)2．能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明．(难点)3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．
通过学习直线与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．
知识点1　直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作　用
证明两条直线平行
在长方体ABCD?A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
[提示]　棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．
1．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
B　[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B．]
知识点2　空间距离
1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
2．已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2
B　[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1．
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO．
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝AC＝．]
类型1　线面垂直性质定理的应用
【例1】　如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．
[解]　因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a?β，a⊥AB．求证：a∥l．
[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA．
同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB．
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB．
由线面垂直的性质定理，得a∥l．
类型2　空间中的距离问题
【例2】　如图，在四棱锥P?ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)若三棱锥P?ADQ的体积为2，求点B到平面PDQ的距离．
[解]　(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．
所以PD⊥平面ABCD．
(2)因为三棱锥P?ADQ的体积为2，
所以S△ADQ·PD＝2，
所以S△ADQ＝3．
所以AD·AQ·sin
60°＝3，
所以AQ＝3．
所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．
在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝
＝．
所以S△PDQ＝×PD×DQ＝．
由VP?ADQ＝VA?PDQ?2＝××d，所以d＝．
所以点B到平面PDQ的距离为．
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
2．在如图所示的几何体中，ABC?A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．
(1)求证：AC1⊥平面A1B1CD；
(2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距离．
[解]　(1)因为ABC?A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°，
所以四边形AA1C1C是正方形，
所以AC1⊥A1C．
设CD＝a，则AD＝2a，
AC＝
＝a，所以CD2＋AC2＝AD2，
所以AC⊥DC，所以AC⊥AB，
因为AA1⊥AB，AC∩AA1＝A，
所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1?平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC1．
因为A1B1∩A1C＝A1，
所以AC1⊥平面A1B1CD．
(2)因为CD＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝＝2，所以AC1＝2．
所以点C1到平面A1B1CD的距离为AC1＝．
类型3　直线与平面垂直关系的综合应用
【例3】　如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF．
[证明]　因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC．
又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC．
又AC，PA在平面PAC中交于A，
所以BC⊥平面PAC．又AF?平面PAC，
所以BC⊥AF．
因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB?平面PBC，所以AF⊥PB．
又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF．
关于线面垂直判定、性质的应用
(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．
(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β．
(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由题意，可得DC＝AC＝，又AD＝2，
所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC．
(2)过点A作AH⊥PC，垂足为H，
由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，
所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，＝，解得PH＝，所以PH＝PC，即在棱PC上存在点H，且PH＝PC，使得AH⊥平面PCD．
1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
B　[由PB⊥α，AC?α，得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．]
2．如图，ABCD?A1B1C1D1为正方形，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，其中正确结论的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
D　[由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确．
由正方体的性质得AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．
由正方体的性质得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，进而结论线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．
故选：D．]
3．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．
[答案]　四边形ABCD为菱形(答案不唯一)
4．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值为________．
4　[假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥DQ，连接AQ，因为在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°，
由题意得△ABQ∽△QCD，所以＝，
设BQ＝x，所以x(a－x)＝8，
即x2－ax＋8＝0(
)，
当Δ＝a2－32≥0时，(
)方程有解，
所以当a≥4时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？
(2)空间中的距离包括哪几类？它们之间是如何转化的？
(3)如何求空间中点到平面的距离？
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-8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)
1．
通过学习平面与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2．
通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度．
问题：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？
知识点1　二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱，(2)两个半平面叫做二面角的面．
3．画法：
4．记法：二面角α?l?β或α?AB?β或P?l?Q或P?AB?Q．
5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β；
(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α?l?β的平面角是∠AOB．
6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．
1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
1．如图所示的二面角可记为(　　)
A．α?β?l　　B．M?l?N　　C．l?M?N　　D．l?β?α
B　[根据二面角的记法规则可知B正确．]
2．如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小等于________．
90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小为90°．]
知识点2　平面与平面垂直
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．画法：
3．记作：α⊥β．
4．判定定理：
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l?β?α⊥β
2．两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ　　　　
B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行
又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．]
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)
A．1对　　　
B．2对
C．3对
D．5对
D　[∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]
类型1　二面角的计算问题
【例1】　如图，已知三棱锥A?BCD的各棱长均为2，求二面角A?CD?B的余弦值．
[解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD．
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A?CD?B的平面角．
设点H是△BCD的重心，
则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，
则cos∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为．
求二面角大小的方法和步骤是什么？
[提示]　1．确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
2．求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角；
(2)证明这个角是二面角的平面角；
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,
AC＝AD，求平面
ABD
与平面BCD
所成的二面角的大小．
[解]　因为AC⊥平面
BCD，BD?平面
BCD，
所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面
ACD．
因为AD?平面
ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面
ABD
与平面
BCD
所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°．
即平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°．
类型2　平面与平面垂直的判定
【例2】　(对接教材P158例8)如图所示，在四面体ABCS
中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[证明]　(1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A?BC?S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a．
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A?BC?S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，
且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC．
又因为AD?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC．
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE．
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC．
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．
又因为EO?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD．
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)
A．0个　　　　　　　
B．1个
C．无数个
D．1个或无数个
D　[设P为平面α外一点，O为平面α内一点．当PO⊥α时，过直线PO有无数多个平面与平面α垂直；当PO与α不垂直时，过直线PO有且只有1个平面与平面α垂直．]
2．如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小为(　　)
A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　　D．30°
A　[∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴∠BAC即为二面角B?PA?C的平面角．
又∠BAC＝90°，
∴二面角B?PA?C的大小为90°]
3．(多选题)已知l⊥平面α，直线m?平面β，则下列命题正确的有(　　)
A．α∥β?l⊥m
B．α⊥β?l∥m
C．l∥m?α⊥β
D．l⊥m?α∥β
AC　[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m?β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故C正确．]
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BC?A1的平面角等于________．
45°　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1
即为二面角A?BC?A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1
＝45°．]
5．如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1．
[证明]　因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，
又B1C⊥A1B，
且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)二面角的定义是什么？如何作二面角的平面角？
(2)如何求二面角的平面角的大小？
(3)二面角的取值范围是什么？
(4)如何证明两个平面垂直？
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-第2课时　平面与平面垂直的性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握平面与平面垂直的性质定理，学会用定理证明垂直关系．(重点)2．熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化．(难点)
1．通过学习平面与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2．借助垂直关系的证明，培养数学逻辑推理的核心素养．
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?线面垂直②作面的垂线
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
[提示]　正确．若设α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
D　[A项中缺少了条件l?α，故A错误．
B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．
C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．
D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]
2．(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
ABC　[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选ABC．]
类型1　面面垂直性质定理的应用
【例1】　如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
[证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，
∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．
1．证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；
(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
1．如图，四棱锥V?ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．
求证：平面VBC⊥平面VAC．
[证明]　∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，
BC?平面ABCD，∴BC⊥平面VAB．
又VA?平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，
∵VA?平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC．
类型2　线线、线面、面面垂直的综合应用
【例2】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示]　垂直问题转化关系如下所示：
[解]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a．
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝＝a．
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝＝a，所以DE＝DA．
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MNCEDB．
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN．
又因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN，EC⊥MD．
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE．
又AE∩EC＝E，
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA．
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA．
本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
[解]　如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由＝，知B为CN中点，
∴CB＝BN＝2a．
∴△ABN中，∠ABN＝120°，
∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA．
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，
且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°．
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°．
垂直关系的互化及解题策略
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
2．如图，M是半圆弧上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．
(1)证明：MC∥平面PBD；
(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC．
[证明]　(1)连接AC，交BD于O，
因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．
(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM?平面AMD，
所以平面AMD⊥平面BMC．
1．已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①?n∥α；②?m∥n；
③?α∥β，④?m∥n．
其中正确的命题为________．(填序号)
③④　[对于①，会有n?α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．]
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点(不含边界)，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是________．
(，3)　[连接BC1，依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上(不含端点)．AE＝＝，AF＝＝3，所以线段AP长度的取值范围是(，3)．
]
3．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD．平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE．点F为AD中点，连接EF．求证：平面AED⊥平面ABD．
[证明]　取AB中点O，连接OC，OF．
∵O，F分别为AB，AD中点，
则OF∥BD且BD＝2OF．
又∵CE∥BD且BD＝2CE，
∴CE∥OF且CE＝OF，
∴四边形OCEF为平行四边形，
∴EF∥OC．
∵△ABC为等边三角形，
∴OC⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC∩平面ABD＝AB，
∴OC⊥平面ABD．
∵EF∥OC，
∴EF⊥平面ABD，
又∵EF?平面AED，
∴平面AED⊥平面ABD．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)面面垂直的性质定理的内容是什么？两个平面垂直还具备哪些性质？
(2)线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？
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-微专题1　球的切、接问题
1．空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球．空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球．
2．几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点，尤其是几何体的外接球问题，近几年的高考试题中都有出现．归结起来这类问题主要包括两种类型：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积；解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后再运用球的体积(或表面积)公式进行计算得出结果．
类型1　球与正方体的切、接问题
【例1】　半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________．
18π　[法一：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝．在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，所以R＝3．
故V半球＝×πR3＝18π．
法二：将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其体对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝a＝3．
故V半球＝×πR3＝18π．]
类型2　球与四面体的切、接问题
【例2】　已知三棱锥P?ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P?ABC的内切球的表面积为________．
　[由题意，设三棱锥P?ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P
?ABC＝V三棱锥O
?PAB＋V三棱锥O
?PAC＋V三棱锥O
?PBC＋V三棱锥O
?ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××××r，解得r＝．故内切球的表面积为4πr2＝．]
类型3　球与直棱柱的切、接问题
【例3】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2　　　B．πa2　　　C．πa2　　　D．5πa2
B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2．]
类型4　球与圆锥(圆柱)的切、接问题
【例4】　一个圆柱形容器，它的底面直径为2r，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，则将球从容器内取出后，容器内水面的高是________．
r　[设取出球后水面的高为x，则πr2×2r－πr3＝πr2×x，解得x＝r．故将球从容器内取出后，容器内水面的高是r．]
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-微专题2　立体几何中的翻折问题
高考全国卷中，立体几何重视考查几何元素间的位置关系、度量关系．回顾和审视全国卷历年试题的命制，我们发现有一条清晰的脉络，那就是特别重视基本平面几何图形性质的空间探索，也即特别重视平面图形翻折前后的几何元素间的位置关系、度量关系的变与不变的考查．这样命题有助于充分考查考生的空间想象能力，有助于从熟悉的平面图形要素的位置关系进入到空间几何体的几何要素关系的把握上．
类型1　筝形的翻折
筝形是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形，与菱形定义相对应．菱形是特殊的筝形．筝形的一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线．
在筝形从平面到空间变换的研究中，常常沿着其中一条对角线进行翻折．在翻折过程中，两条对角线垂直关系保持不变，这就成为高考试题命制的基础，常常利用两个对应的等腰三角形来描述空间筝形．
【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
[解]　(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO．
因为AD＝CD，所以AC⊥DO．
又由于△ABC是正三角形，
所以AC⊥BO．
从而AC⊥平面DOB，
故AC⊥BD．
(2)连接EO．
由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2．
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°．
由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD．
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．
类型2　等腰梯形的翻折
等腰梯形的翻折主要强调对腰的翻折，也即保持底面的矩形特征，两腰向中间翻折，而这里面就有两底的端点是否合拢的问题．
【例2】　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD＝2，∠AFD＝90°，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60°．
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求该五面体的体积．
[解]　(1)证明：因为AF⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF＝F，所以AF⊥平面EFDC．
又AF?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC．
(2)由(1)知∠DFE为二面角D?AF?E的平面角，故∠DFE＝60°．因为AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF．
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C?BE?F的平面角，故∠CEF＝60°．
如图，连接AC，AE，作CM⊥EF于M，
因为平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，CM?平面EFDC，所以CM⊥平面ABEF．
因为AF＝2FD＝2，所以DF＝CE＝1，EF＝2，CM＝，CD＝1．
则V四棱锥A?EFDC＝××(EF＋CD)×CM×AF＝，
V三棱锥C?ABE＝××AB×BE×CM＝．
所以五面体ABCDEF的体积V＝V四棱锥A?EFDC＋V三棱锥C?ABE＝＋＝．
类型3　直角梯形的翻折
如图所示，在直角梯形中有一类由两个直角三角形(特别是其中一个是等腰直角三角形)拼接而成的直角梯形是翻折问题考查的热点．这类翻折问题，一般都沿着两个三角形的公共边进行翻折，翻折的位置往往强调两个面互相垂直，这样容易考查线面垂直和面面垂直中的性质定理与判定定理．具体操作时要注意翻折前后的点与线、线与线位置关系的变与不变，数量关系的变与不变．
【例3】　如图(1)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝4，AD＝CD＝2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D?ABC，如图(2)所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D?ABC的体积．
(1)　
　　　(2)
[解]　(1)在直角梯形ABCD中，因为∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
所以∠DAC＝45°，AC＝2．
又AB∥CD，AB＝4，所以∠ACB＝90°，BC＝2．
因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，所以BC⊥平面ACD．
(2)V三棱锥D?ABC＝V三棱锥B?ADC＝××AD×CD×BC＝．
类型4　矩形(正方形)的翻折
矩形是大家比较熟悉的平面图形，对于矩形的翻折问题，常常聚焦于具有一定长宽比的矩形翻折问题．如图所示．
类比于筝形，在图形沿着对角线BD或者CF翻折过程中，垂直关系始终保持不变，而这就是命题的落脚点．近几年全国卷高考题也进行了正方形的翻折研究．
【例4】　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：PE⊥平面PAD；
(2)求二面角P?AD?E的大小．
[解]　(1)证明：在矩形ABCD中，有EC⊥CD，EB⊥BA，
∴由题意知：PE⊥PD，PE⊥PA，而PD∩PA＝P，
∴PE⊥平面PAD．
(2)过E作EF⊥AD于F，连接PF，又AD?平面PAD，
由(1)知：PE⊥AD，而PE∩EF＝E，所以AD⊥平面PEF，
∴∠PFE为二面角P?AD?E的平面角，而AB＝，BC＝2，
∴PF＝PE＝1，FE＝，
则cos
∠PFE＝＝，
∵∠PFE∈[0，π]，
∴∠PFE＝．
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-第八章
立体几何初步
类型1　空间几何体的结构特征、表面积和体积
1．本考点多为基础题，一般出现在选择题的中间位置．主要考查空间几何体的结构，直观图的转化，几何体表面积、体积公式的应用．考查数形结合思想、空间想象能力、运算求解能力，意在让多数学生得分．
2．空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
【例1】　(1)(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
图1　　　　　　　　　　图2
(2)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6
cm，AA1＝4
cm，3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．
(1)26　－1　(2)118.8　[(1)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1．
(2)由题易得长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，
四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O?EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
]
1．如图所示，已知三棱柱ABC?A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC?A′B′C′的体积．
[解]　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′?ABC的体积是V．
而四棱锥A′?BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，
即V＝Sa．
类型2　与球有关的切、接问题
1．本考点中的题目多为基础题，一般出现在选择题的后面位置或填空题中，分值为5分．主要考查空间几何体的结构，外接球和内切球问题，几何体表面积、体积公式的应用，球的表面积和体积计算．考查数形结合思想，空间想象能力，运算求解能力，意在让多数学生得分．
2．与球相关问题的解题策略
(1)作适当的截面(如轴截面等)时，
对于球内接长方体、正方体，
则截面一要过球心，
二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题，
首先要弄清几何体之间的相互关系，
主要是指特殊的点、线、面之间的关系，
然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为(　　)
A．12　　B．18　　C．24　　D．54
(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱长均为2．∠BAD＝60°，以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
(1)B　(2)　[(1)设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin
60°＝9，得x＝6．设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D?ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18．
(2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2．分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝．由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝．]
2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．
4πRr　[法一：如图，作DE⊥BC于点E．设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r．由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝，故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr．
法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr．]
类型3　空间点、线、面位置关系的判断与证明
1．空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是空间想象能力，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．
2．平行、垂直关系的相互转化
【例3】　如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形)中，BC＝CC1，M，N，P分别是CC1，AB，BB1的中点．
(1)求证：平面NPC∥平面AB1M；
(2)求证：AB1⊥平面A1MB．
[证明]　(1)在△ABB1中，N，P分别是AB，BB1的中点，即PN∥AB1，
∵平面ABB1∩平面AB1M＝AB1，PN?平面AB1M，PN?平面ABB1，
∴PN∥平面AB1M．
又∵底面是正三角形且BC＝CC1，M是CC1的中点，即在正方形BCC1B1中有CMB1P为平行四边形，有PC∥MB1，
∴PC∥平面AB1M，而PN∩PC＝P，
∴平面NPC∥平面AB1M．
(2)在正方形ABB1A1中有AB1⊥A1B，若AB1，A1B的交点为D，连接MD，DN，
∴四边形MCND为矩形，∴CN∥MD，CN⊥DN，而CN⊥AB，则CN⊥平面ABB1A1，
∴MD⊥平面ABB1A1，而AB1?平面ABB1A1，即MD⊥AB1．又MD∩A1B＝D，MD?平面A1MB，A1B?平面A1MB，
∴AB1⊥平面A1MB．
3．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
[证明]　(1)因为ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC．
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD．
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1．
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1．
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F．
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1．
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD．
又AD?平面ADE，
A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE．
类型4　空间角的计算问题
1．考查空间中线面位置关系的证明、直线与平面所成角、线线角及二面角等基础知识，考查空间想象能力及推理论证能力．
2．求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
【例4】　(2020·浙江高考)如图，在三棱台ABC
?DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
(1)证明：EF⊥DB；
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB．
由∠ACD＝45°，DO⊥AC，得CD＝CO．
由平面ACFD⊥平面ABC，得DO⊥平面ABC，
所以DO⊥BC．
由∠ACB＝45°，BC＝CD＝CO，得BO⊥BC．
所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．
由三棱台ABC
?DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB．
(2)如图，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH．
由三棱台ABC
?DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角．
由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．
设CD＝2．
由DO＝OC＝2，BO＝BC＝，得BD＝，OH＝，所以sin∠OCH＝＝，
因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为．
4．如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解]　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC．
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO．
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA．
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°．
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE．
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝eq
\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝，
∴tan∠OAE＝＝．
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB．
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC．
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°．
类型5　点到平面的距离问题
高考对立体几何的考查主要有两个方面，一是探究空间直线、平面的平行与垂直关系；二是与计算有关的综合性问题，主要是几何体的三积与三角．其中点到平面的距离的计算非常有利于几何体体积的计算．一般出现在解答题的第二问中，偶尔出现在选择填空题中，有一定的难度．
【例5】　(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)
A．
B．
C．1
D．
C　[由等边三角形ABC的面积为，得×AB2＝，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝×AB＝AB＝．设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝＝1，故选C．]
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°．
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝．]
1．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝a，所以＝＝．故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
A　[因为⊙O1的面积为4π，所以⊙O1的半径r＝2．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为正三角形，又⊙O1是△ABC的外接圆，所以由正弦定理得＝2r＝4，得AB＝4sin
60°＝2．因为OO1＝AB＝BC＝AC，所以OO1＝2，由题易知OO1⊥平面ABC，则球心O到平面ABC的距离为2．设球O的半径为R，则R2＝OO＋r2＝12＋4＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π，故选A．]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)
A．20°
B．40°
C．50°
D．90°
B　[过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，
∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°．故选B．]
4．(2020·全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4；②p1∧p2；③p2∨p3；④p3∨p4．
①③④　[法一：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，则由B∈l2，l2?α，知B∈α，由C∈l1，l1?α，知C∈α，所以l3?α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题；对于p2，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面，当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以p2是假命题，p2是真命题；对于p3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，p3是真命题；对于p4，若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，所以p4是真命题，p4是假命题．故p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，p2∨p3为真命题，p3∨p4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④．
法二：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以直线AB?α，BC?α，CA?α，即l1?α，l2?α，l3?α，所以p1是真命题；以下同解法一．]
5．(2020·全国卷Ⅲ)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1，证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
[解]　(1)如图，连接BD，B1D1．因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD．又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1．所以AC⊥平面BB1D1D．由于EF?平面BB1D1D，所以EF⊥AC．
(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG．
因为D1E＝DD1，AG＝AA1，
DD1AA1，所以ED1AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1．
因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1AA1，所以FGA1B1，FGC1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1．
于是AE∥FC1．所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．
6．(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B?EB1C1F的体积．
[解]　(1)因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．
又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．
(2)因为AO∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN．
又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝AM＝，PM＝AM＝2，EF＝BC＝2．
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B?EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．
如图，作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3．
底面EB1C1F的面积为×(B1C1＋EF)×PN＝(6＋2)×6＝24．
所以四棱锥B?EB1C1F的体积为×24×3＝24．
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