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第二讲：两条直线的位置关系
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝.
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
2．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
例题1已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1
B．2
C．0或－2
D．－1或2
例题2经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)
A．6x－4y－3＝0
B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0
D．2x＋3y－1＝0
例题3已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
例题4点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
例题5已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
例题6直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
例题7已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
例题8求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．
例题9直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________________．
例题10过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
例题11如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．3
B．6
C．2
D．2
例题12直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
例题13与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________．
例题14经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________．
例题15已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
练习
1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A.
B．a
C．－
D．－或不存在
2．若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－4x－7
B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7
D．y＝－4x＋7
4．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A．－12
B．－2
C．0
D．10
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
7．点M(－1,0)关于直线x＋2y－1＝0的对称点M′的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
8．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论不正确的是(　　)
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
9．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．
10．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
11．过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程为________________________________________________________________________．
12．设一直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，则直线l的方程为________．
例题答案.
D
A
D
B
[0,10]
x＋3y－5＝0或x＝－1
5x＋3y－1＝0
x－2y＋11＝0
x＋4y－4＝0
C
x－2y＋3＝0
3x＋4y－11＝0
x－2y＝0.
4x＋3y－6＝0
练习答案：D
A
D
A
B
A
C
C
3x＋19y＝0
　－或－
21x－28y－13＝0或x＝1
2x＋7y－5＝0

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