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第七讲：变量间的相关关系与统计案例
(1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内.如图1.
②负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到右下角的区域内，如图2.
(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(3)回归方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据，其回归方程为，则，.其中，是回归方程的斜率，是在轴上的截距，，，称为样本点的中心．
说明：回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
(4)样本相关系数
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
①当时，表明两个变量正相关；
②当时，表明两个变量负相关；
③的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
知识点二：独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其样本频数列联表(称为列联表)为
列联表
总计
总计
构造一个随机变量，其中为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
例题
例1.1.设回归方程为，则变量增加一个单位时(　　)
A．平均增加3个单位
B．平均减少5个单位
C．平均增加5个单位
D．平均减少3个单位
例1.2.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是(　　)
①②
B．①③
C．②④
D．②③
例1.3.已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若关于的回归方程为，则＝________.
1
2
3
4
0.1
1.8
4
例1.4.下列命题中正确的为(　　)
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
B．线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱
C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好
D．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
例1.4.1对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)
例1.5.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：
①与负相关且；
②与负相关且；
③与正相关且；
④与正相关且.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A.①②
B．②③
C．③④
D．①④
例1.6.已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：
2
4
6
8
10
3
6
7
10
12
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时的值．
例2.1.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
已知，，
则________(填“有”或“没有”)的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
例2.2.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
(2)根据(1)中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
例2.3.为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
注射疫苗
30
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求列联表中的数据的值．
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？
(3)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效？
附：，.
临界值表：
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
练习
练1.1对变量有观测数据，得散点图如图①，对变量有观测数据，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量与正相关，与正相关
B．变量与正相关与负相关
C．变量与负相关，与正相关
D．变量与负相关，与负相关
练1.2为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：
购买食品的年支出费用万元
2.09
2.15
2.50
2.84
2.92
购买水果和牛奶的年支出费用万元
1.25
1.30
1.50
1.70
1.75
根据上表可得回归方程，其中，，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为(　　)
A．1.795万元　　　　　　
B．2.555万元
C．1.915万元
D．1.945万元
练1.3一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料.
日期
第1年
第2年
第3年
第4年
优惠金额(千元)
10
11
13
12
销售量(辆)
22
24
31
27
经过统计分析(利用散点图)可知线性相关.
(1)用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(2)若第5年优惠金额为8.5千元，估计第5年的销售量(辆)的值.
练2.1春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
则下面的正确结论是(　　)
附表及公式：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
，.
A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
例题答案:
B
D
3.1
C
A
D
y=23
有
有
x=40,y=10,A
=60,B=40
;0.25;能
练习答案：C
A
17
A

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