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第三讲：圆的方程
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圆外；
(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)|MC|例题
例题1
已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝
B.2＋y2＝
C.2＋y2＝
D.2＋y2＝
例题2在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
例题3在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为________________．
例题4已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
例题5已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
例题6已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
例题7已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
练习
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A．(－1,1)
B．(1，－1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
2．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋(y－2)2＝4
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
6．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2－y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0
D．x2＋y2＋2x－3＝0
7．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________．
8．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
9．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________．
10．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________．
11．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
例题答案.
C
B
2＋2＝1
2
的最大值为，最小值为－
|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2;的最大值为2＋，
最小值为2－
顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0);动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)
练习答案：D
A
A
B
A
C
1
2
　5－3
[－3，－1]∪[1,3]
圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25,|PQ|的最小值为d－r＝5－5.
(x－5)2＋y2＝16;|QM|的最小值为＝4

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