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第十讲：命题及其关系、充分条件与必要条件
一：命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二：四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三：充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
例题
例题1.命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
例题2.有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题是(　　)
A．①②　　　　　　　　
B．②③
C．④
D．①②③
例题3.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题4.已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题5.“A＝60°”是“cos
A＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题6.已知命题p：2x＜
2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题7.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
例题8.设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是(　　)
A．－1B．x≤1
C．x>－1
D．－1例题9.下列说法中正确的是(　　)
A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≥c
B．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≤c
C．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则b＞c
D．若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则b＜c
例题10.命题“?x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9
B．a≤9
C．a≥10
D．a≤10
例题11.已知条件p：|x－4|≤6，条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p是﹁q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．
练习
1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)
A．逆命题　　　　　　　
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是　(　　)
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
3．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为(　　)
A．②④　　　　　　　　
B．①②③
C．②③④
D．①③④
4．“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若a，b是非零向量，
则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．a＋b＞0
B．a－b＞0
C．ab＞1
D.＞1
7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
10．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
11．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
例题答案：
D
D
A　
C
A
B
D
D
A
C
(0，3]
练习答案：B
C
B
A
B
A
A
B
必要不充分
10.(1)a≥2　(2)a<2
[－3，0]

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