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第四讲：直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
dd＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|
(r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
例题1已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
例题2若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞)
B．(－1，＋1)
C．(0，－1)
D．(0，＋1)
例题3已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是(　　)
相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
例题4在△ABC中，若asin
A＋bsin
B－csin
C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是(　　)
相切
B．相交
C．相离
D．不确定
例题5已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
例题6已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x＋y＋1＝0
例题7若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A.
B．1
C.
D.
例题8过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为________．
例题9已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长
例题10已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
内切
B．相交
C．外切
D．外离
例题11如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
练习：
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
2．“k＝”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A．y＝－
B．y＝－
C．y＝－
D．y＝－
6．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
7．与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为______________．
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________．
9．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是______．
10．若过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
11．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
12．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2，求该圆的方程．
例题答案.
B
A
B
A
－2,
D
D
x＝0或3x＋4y－8＝0
A
A
B
m＝25＋10;2
B
切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0;0≤a≤
练习答案：
A
A
B
C
B
B
x－y＋5＝0或x－y－3＝0
x－y－2＝0
8
切线方程为x＋y＋1±2＝0;线方程为2x＋y±5＝0;切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0
圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.

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