资源简介

第三讲
等腰三角形
知识综述
等腰三角形是一类特殊的三角形，它有两条边相等，两个角相等，是轴对称图形，底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”)，这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形是最简单的轴对称结构，平面几何中相等的角或边的证明大多可以利用这个对称结构实现，而解等腰三角形相关问题，全等三角形依然是重要工具，但更多的是利用轴对称性确定图形的全等，从而得到角、线、形之间的关系。
实际解题中常用的技巧是，确定或造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质进行角度计算、线段相等或直线位置关系的证明，常用的确定或构造等腰三角形的方法有:
“角平分线+平行线”构造等腰三角形
(2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形
(3)线段中垂线构造等腰三角形
(4)用三角形中的倍角关系分割或构造等三形
问题求解
例1.
如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有___个
解法分析：分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，6+2=8．
例2.
如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON=30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　　　　　　；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是　　　　　　．
解法分析：（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断。（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5=4α<90°且∠MP4P5=5α90°，解不等式即可解决问题。
答案：（1）△P1P2P3；
（2）18°22.5°
解：（
1
）因为OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5
所以∠O=∠OP2P1,∠P2P1P3=∠P2P3P1,
∠P3P2P4=∠P3P4P2,
∠P4P3P5=∠P4P5P3,
若=30°
则∠P2P1P3=∠P2P3P1=∠O+∠OP2P1=60°
所以∠P3P2P4=∠P2P3P1+∠O=60°+30°=90°
因为∠P3P4P2不可能等于90°
所以若=30°，可以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3；
（2）由（1）可得∠MP4P5=5∠O=5,∠NP5P4=4;
∠MP4P590°,
∠NP5P4<90°,即590°,
4<90°,
所以18°22.5°
例3
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作DE∥BC.
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）如图②，若过A作DE∥BC，其他条件不变，探索DE、AB、AC之间有什么关系？并证明你的结论.
解法分析：（1）根据题意，OB平分∠ABC，可得∠1=∠2，因为DE∥BC，根据平行的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，则DB=DO，同理可得EO=EC，而DE=DO+EO，等量代换即可得到答案；
（2）标注如图所示的角，OB平分∠ABC，∠1=∠2，由于DE∥BC，根据平行的性质得到∠2=∠E，等量代换得到∠1=∠E，所以AB=AE，同理可得AD=AC，而DE=AD+AE，等量代换即可得到答案.
解：证明：（1）∵OB平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴DB=DO.
同理可得：EO=EC.
∴DE=DO+EO=DB+EC.
（2）DE=AB+AC.
理由如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∵DE∥BC，
∴∠2=∠E.
∴∠1=∠E.
∴AB=AE.
同理可得：AD=AC.
∴DE=AD+AE=AB+AC.
例4.
如图，△ABC中，AB=6，AC=10，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，交BA的延长线于N.
(1).求证：AN=AF；
(2).求FC的长度.
解法分析：(1).利用平行线的性质证出∠ANF=∠AFN可得；(2).取AC的中点G，连接MG，构造△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可求证.
解：(1).∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC
∵MF∥AD，∴∠BAD=∠ANF，∠DAC=∠MFC，又∠MFC=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，
∴AN=AF.
(2).取AC的中点G，连接MG，
则MG∥AB，MG=AB=3.
∴∠GMF=∠ANF，
∵∠ANF=∠AFN，∠MFC=∠AFN
∴∠GMF=∠MFC.
∴FG＝MG＝3，
AC=10，G为AC中点，则GC=5，
∴FC＝FG+GC＝3+5=8.
例5.
操作：（1）如图1中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的三个三角形如图2，图3，图4所示，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请标出分割成的两个等腰三角形各角的度数；
（3）请你从上面两小题中获得的经验，猜想：任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？一个三角形可以被分割成两个等腰三角形需满足什么条件？
解法分析：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线得到AB的中点D，则DC=DA=DB，所以△DAC和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图2，在∠ABC中作∠ABD=25°，则根据三角形内角和和等腰三角形的判定可得到△DAC和△DBC两个等腰三角形；在图3中，∠ACD=40°可得到两个等腰三角形；图4不能作；
（3）利用图1、图2、图3中三角形内角之间的关系进行判断．
解：（1）如图1，CD为所作；
（2）图2、图3可以，图4不能．
（3）三角形中有一个角为90°或有一个角是另一个角的3倍时，这个三角形可以被分割成两个等腰三角形．若有一个角是另一个角的2倍时，这个三角形不一定可以被分割成两个等腰三角形．
例6.
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE.
（1）如图（1），若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
（2）如图（2），若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B，C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.
解法分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
解：(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°
，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°
，
∴∠E=75°?18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,　
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°
，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴，（2）﹣（1）得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
思维训练
1.
如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A，B分别落在直线l1，l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数为（　　　　）
A.
35°
B.
30°
C.
25°
D.
20°
2.
“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（
??）
A.
60°
?
??B.
65°
?
?C.
75°
?
?
?D.
80°
3.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（
）
A.
54°
?
??B.
63°
?
?C.
27°
?
?
?D.
27°或63°
4.
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形（　　　　）
A.
4个
B.
5个
C.
6个
D.
2个
51.
如图,∠ABC=50°,BD平分∠ABC,过D作DE∥AB交BC于点E,若点F在AB上,且满足DF=DE,则∠DFB的度数为(　　)
A.
25°
B.
130°
C.
50°或130°
D.
25°或130°
6.
如图，直线L1，L2相交于点A，点B是直线外一点，在直线L1，L2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形，满足条件的点C有(
).
A.
2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
7.
一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是____．
8.
如图，D为ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝　　　　°．
9.
如图，△ABC中，D、E分别是AC、BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是
_.
10.
如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BD上的点，∠A=65°,∠ABD=∠DCE=30°,则∠BEC的度数是____________。
?
11.?如图，在ABC中，ABC中，AB=BD，点D,E分别是AC，BD上的点，且∠ABD=∠DCE，若∠BEC=105°，则A的度数是???????????????????????.
12.
如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8，DE=20，FG=
.
13.
如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2
，
使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3
，
使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的等腰三角形底角的度数是__________?
14.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP是以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是____.
15.
如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　　　　　　．
16.
n个等腰三角形的顶角a1，a2，a3，…，an两两不等.它们的共同特点是被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则a1+a2+a3+…+an=____.
17.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形.
18.
数学课上，张老师举了下面的例题：
例1
等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.
例2
等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式
等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
19.
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．
20.
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．
21.
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其?中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
22.
已知：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
（1）如图1，∠BOC和∠A有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如图2，过O点的直线分别交△ABC的边AB、AC于E、F（点E不与A，B重合，点F不与A、C重合），BP平分外角∠DBC，CP平分外角∠GCB，BP，CP相交于P．求证：∠P＝∠BOE+∠COF；
（3）如果（2）中过O点的直线与AB交于E（点E不与A、B重合），与CA的延长线交于F在其它条件不变的情况下，请直接写出∠P、∠BOE、∠COF三个角之间的数量关系．
23.
如图①所示，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
（1）你能得出什么结论？
（2）若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，如图②，则图中有几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，如图③，则图中是否还有等腰三角形？（2）中的数量关系是否存在？请说明理由.
答案
1.B.
2.D
3.D
4.C.
5.C
6.D
7.88°，90°，99°，108°，116°
8.68
9.125°.
10.125°
?
11.85°
12.
6．
13.（）
n﹣1×75°．
14.
40°或100°或140°.
15.5
16.
17.解：（1）因为AB=AC，∠BAC=36°，
所以∠ABC=72°.
又因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD=36°，
所以∠BAC=∠ABD，
所以AD=BD.
又因为E是AB的中点，
所以DE⊥AB，即EF⊥AB.
（2）因为FE⊥AB，AB=BE，
所以FE垂直平分AB，
所以AF=BF，
所以∠BAF=∠ABF.
又因为∠ABD=∠BAD，
所以∠FAD=∠FBD=36°.
又因为∠ACB=72°，
所以∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°，
所以∠CAF=∠AFC=36°，
所以AC=CF，
即△ACF为等腰三角形.
18.解：（1）①当∠A为顶角，∠B=50°，
②当∠A为底角，若∠B为顶角，则∠B=20°，
③当∠A为底角，若∠B为底角，则∠B=80°，
∴∠B为50°或20°或80°.
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个.
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B=()°，
若∠A为底角，则∠B=x°或∠B=(180-2x)°，
当≠180-2x且≠x且180-2x≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数.
综上①②，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数.
19.【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．
（2）解：如图2中，
当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，
如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=DB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．
如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°-20°-20°=140°
当CD为特异线时，不合题意．
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．
20.证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，
又∵AP=AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C．
21.（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ===2（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8-t，
解得：t=；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠AB
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE===4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
22.
解：（
1
）∵∠
ABC+
∠
ACB
＝
180°
﹣∠
A
，
BO
平分∠
ABC
，
CO
平分∠
ACB
，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；
（2）∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠GCB，
∴∠PBC＝∠CBD，∠PCB＝∠BCG，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP）
＝180°﹣（∠CBD+∠BCG）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A，
∴∠P+∠BOC＝180°，
∵∠BOC+∠BOE+∠COF＝180°，
∴∠P＝∠BOE+∠COF；
（3）如图3中，
∵∠P+∠BOC＝180°，∠BOC+∠BOE+∠COF＝360°，
∴∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．
23.
解：（1）△OBC是等腰三角形（答案不唯一）.
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB.
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，AB=AC，
∴OB=OC，
∴△ABC与△OBC是等腰三角形.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB.
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形.
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∴∠EOB=∠ABO，∠FOC=∠ACO，
∴EB=EO，FO=FC，即△EBO和△FOC是等腰三角形．
综上可知：等腰三角形有△ABC、△OBC、△AEF、△EBO、△FOC.
∵EB=EO，FO=FC，
∴EF=EB+FC.
（3）由（2）的证明过程可知等腰三角形有△BOE与△COF，依然有EF=EB+FC.
理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠ABO，∠FOC=∠ACO，
∴EB=EO，FO=FC，
∴EF=EB+FC.

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