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3.1
函数的概念及其表示
第三章
3.1.1
函数的概念
1.
体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.能求简单函数的定义域.
核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
学习目标
情境导学
函数知识回顾与更新
?
函数的传统定义：
?
本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.
函数知识回顾与更新
?
【例题观察②】某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的
工资标准是每人每天300元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的
工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：W=300d.
其中，d的变化范围是数集A={1,2,3,4,5,6},W的变化范围是数集
B={300,600,900,1200,1500,1800}.对于数集A中的任何一个天数d，
按照对应关系W=300d，在数集B中都有唯一确定的W与之对应.
函数知识回顾与更新
上述两个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括
出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B
②都有一个对应关系(S=350t;W=300d)
?
?
函数的概念
?
?
?
显然，值域是集合B的子集.在例题①和例题②中，定义域就是A，值域就是B.
函数的概念
?
【说明】通常一个函数的定义域和对应关系确定后，值域就确定了.所以有
时候也称定义域和对应关系为函数的二要素.
?
函数的四个特性
?
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系.但是，从值域到定义域的话，新的对应关系就不一定是函数关系.
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域
?
?
?
?
?
?
?
?
?
函数的应用
?
应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知的数学模型和数学规律对应上.
函数的应用
?
?
?
?
?
【练习】一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，
且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：
?
?
求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义
描述这个函数.
?
即时巩固
?
什么是区间？
?
?
?
?
③和④都可以称作半开半闭区间
什么是区间？
各个区间的含义及表示方法如下表所示：
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
?
?
?
?
什么是区间？
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
?
?
?
?
?
求函数的定义域和函数值
?
?
（1）求函数的定义域
?
?
?
?
?
?
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为
值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系
完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
什么是相同函数？
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一
个函数.
?
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.
?
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.对于函数y＝f
(x)，以下说法正确的有
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
√
2.区间(0,1)等于
A.{0,1}
B.{(0,1)}
C.{x|0D.{x|0≤x≤1}
√
3.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是
A.f
(a)∈B
B.f
(a)有且只有一个
C.若f
(a)＝f
(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f
(a)＝f
(b)
√
－1
5.下列各组函数是同一函数的是_____.(填序号)
③④
课堂小结
1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可.
2.定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合.
3.在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f(　)中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值.如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.
谢
谢！第三章
函数的概念与性质
3.1
函数的概念及其表示
3.1.1
函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.能正确使用区间表示数集.
3.会判断两个函数是不是同一个函数.
4.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域.
1.数学抽象——能通过实例理解函数的概念，会判断两个函数是不是同一个函数.
2.数学运算——会求简单函数的定义域、值域.
第1课时
函数的概念（一）
自主学习·必备知识
要点一
函数的概念
一般地，设
是非空的实数集，
如果对于集合
中的①
一个数
，按照某种确定的对应关系
，在集合
中都有②
的数
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个③
，记作
，
.其中，
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的④
；与
的值相对应的
值叫做⑤
，函数值的集合
叫做函数的⑥
，显然，值域是集合
的子集.
要点二
区间
设
是两个实数，而且
.我们规定：
（1）满足不等式
的实数
的集合叫做⑦
，表示为
；
（2）满足不等式
的实数
的集合叫做开区间，表示为⑧
；
（3）满足不等式
或
的实数
的集合叫做⑨
，分别表示为
.
这里的实数
与
都叫做相应区间的⑩
.
这些区间的几何表示如表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
区间
数轴表示
实数集
可以用区间表示为?
，“
”读作“无穷大”，“
”读作“负无穷大”，“
”读作“正无穷大”.
满足
的实数
的集合，可以用区间分别表示为
.这些区间的几何表示如表所示.
区间
数轴表示
要点三
同一个函数
由函数的定义可知，一个函数的构成要索为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的?
相同，并且?
完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
两个雨数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数.
自主思考
1.设
，对应关系
能确定一个函数吗？
2.已知
，
是关于
的函数吗？
3.把集合
，
，
用区间分别表示出来.
4.函数
与
是同一个函救吗？
1.
与
的区别和联系
与
的区别与联系：
表示当
时，函数
的值，是一个常量，而
是自变量
的函数，一般情况下，它是一个变量，
是
的一个特殊值.
2.对区间的理解
（1）“
”是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则.
（2）以“
”或“
”为端点时，区间这一端必须是小括号.
（3）区间实际上是一种特殊的数集（连续的）的表示符号，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法.
互动探究·关键能力
探究点一
函数关系的判断
精讲精练
例（1）（多选）下列对应关系或关系式中是A到
的函数的是(
)
A.
B.
，对应关系如图：
C.
D.
解题感悟
1.根据图形判断对应关系是不是函数的方法
（1）任取一条垂直于
轴的直线
；
（2）在定义域内平行移动直线
；
（3）若
与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.根据概念判断一个对应关系是不是函数的方法
迁移应用
1.设集合
，
，则下图中能表示集合
到集合
的函数关系的是(
)
①②③④
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
2.已知
，
，则下列对应关系不表示从
到
的函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
求函数的定义域
精讲精练
例（1）函数
的定义域为
，
的定义域为
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知函数
的定义域为
，集合
，若
中的最小元素为2，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
求函数的定义域时应关注的点
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③
要求
.
（2）不对解析式化简变形，以免定义域发生变化.
（3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合.
迁移应用
1.求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
.
评价检测·素养提升
1.下列图形（横轴表示
轴，纵轴表示
轴）中，表示
是
的函数的是(
)
A.B.C.D.
2.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2021安徽芜湖高一期末）已知函数
，则函数
的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
素养演练
数学抽象——对函数三要素的理解和应用
1.山东某中学高一同学选科后，选择人数较多的6个组合中的组合代码和对应的组合人数如表所示，分别用
表示组合中的组合代码和对应的组合人数，则
是
的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
组合代码
组合
组合人数
1
物化生
500
2
政史地
300
3
物生地
300
4
生史地
200
5
物化地
200
6
化生史
150
素养探究：定义域、对应关系和值域是函数的三个要素.其中定义域是函数的基础，对应关系是函数的关键，定义域和对应关系确定，值域也随之确定，过程中体现数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.2020年山东某一高铁站1~12月份的客流量走势如图所示.
（1）求图中曲线所对应的函数的定义域；
（2）根据图象，求9月份大概的客流量.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2020江苏南京高一期中）下列各图中，可能是函数图象的是(
)
A.B.C.D.
2.（2020重庆第七中学高一月考）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）（2020广东揭阳三中高一期中）下列函数满足
的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.函数
的定义域为
.
5.函数
的定义域为
.
6.已知等腰三角形
的周长为10，底边长
关于腰长
的函数关系式为
，则此函数的定义域为
.
7.求下列函数的定义域：
（1）
；
；
（3）
.
素养提升练
8.（多选）（2020福建南安国光中学高一期中）具有性质
的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，则下列函数中满足“倒负”变换的函数有(
)
A.
B.
C.
D.
9.（2020山西太原山大附中高一期中）已知函数
的定义域为(-2,0)，则
的定义域为(
)
A.(-3,1)
B.
C.(0,1)
D.(-7,-3)
10.已知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
.
11.求下列函数的定义域.
（1）已知函数
的定义域为(0,1)，求
的定义域；
已知函数
的定义域为(0,1)，求
的定义域；
已知函数
的定义域为
，求
的定义域；
设函数
的定义域为
，求
的定义域；
（6）若
的定义域为
，求
的定义域.
创新拓展练
12.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式
来描述.
第2课时
函数的概念（二）
互动探究·关键能力
探究点一
区间的应用
1.区间
用集合可表示为(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列区间与集合
相对应的是(
)
A.(-2,0)
B.
C.
D.
3.下列集合不能用区间的形式表示的个数为(
)
①
；②
；③
；④；⑤
；⑥
.
A.2
B.3
C.4
D.5
4.函数
的定义域用区间表示为
.
探究点二
同一个函数的判断
例
下列各组函数表示同一个函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
判断两个函数为同一个函数时应注意的点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
（3）在化简解析式时，必须是等价变形.
迁移应用
1.有下列各组函数：
①
，
；
②
，
；
③
，
；
④
，
.
其中表示同一个函数的有
（填序号）.
探究点三
求函数值
精讲精练
例
设
，
.
（1）求
；
（2）求
.
解题感悟
求函数值的方法
（1）已知
的解析式时，用
替换解析式中的
即得
的值.
（2）已知
与
，求
的值应遵循由里往外的原则.
迁移应用
1.已知
，
，求：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
探究点四
函数的值域
精讲精练
例求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
解题感悟
求函数的值域应根据各个式子不同的结构特点，选择不同的方法：
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的函数的方法.
（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
（4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
（5）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于
（其中
，
，
，
为常数，且
）型的函数常用换元法.
1.求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
评价检测·素养提升
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是(
)
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
2.下列函数中，值域为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.设函数
，若
，则实数
.
4.（2020安徽合肥一中高一月考）已知函数
，
，则
.
5.已知函数
，
，则函数
的值域为
.
6.已知
，求
的定义域与值域.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）集合
或用区间表示为(
)
A.
B.
C.
D.(0，
2.（2020吉林长春高一月考）函数
的值域是(
)
A.
B.(-1,1)
C.
D.
3.若函数
的定义域为
，值域为
，则实数
的取值范围是(
)
A.(1,4)
B.(4,7)
C.
D.
4.（多选）已知
，则下列结论中正确的有(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.函数
有两个零点
D.点（3，20）在函数
的图象上
5.函数
的定义域用区间表示为
.
6.下列各组函数中，表示同一个函数的是
（填序号）.
；
②
；
③
.
7.函数
的值域是
.
8.求下列函数的定义域与值域：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
素养提升练
9.（多选）（2020浙江东阳中学高一期中）下列函数中，值域为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
10.（多选）（2020湖北荆州沙市中学高一期中）若函数
的值域为
，则
可能的取值为(
)
A.0
B.2
C.4
D.6
11.若函数
的定义域为
，值域为
，则实数
的取值范围是
.
12.已知函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）求
的值；
（3）求
的值（其中
，且
）.
创新拓展练
13.已知函数
.
（1）求
，
的值；
（2）求证：
是定值；
（3）求
的值.
2
/
211

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