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(共27张PPT)
3.1
函数的概念及其表示
第三章
3.1.2
函数的表示法
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
2.理解函数图象的作用.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
核心素养：直观想象、数学建模
学习目标
情境导学
函数的表示法
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法.
【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3
【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.
【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.
用什么方法来表示函数呢？
用列表法，不用计算，看表就知道函数值
用解析法，便于研究函数性质
用图像法，容易表示出函数的变化情况
函数的表示法
【例题】某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用
函数的三种表示法来表示函数y=f(m).
【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数m
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
【图像法】函数图像可以表示如图：
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
m
y
【1】解析法必须标明函数的定义域
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，如函数f(x)=x.
分段函数
【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
-x，x＜0，
x，x≥0.
画出图像如图：
?
?
?
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.
在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首
先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每
段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合
的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
分段函数
分段函数
几种常见的分段函数：
（1）符号函数：
?
（2）含绝对值符号的函数：
?
（3）自定义函数：
?
（3）取整函数：
?
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
矩形的一边长为t，面积为W，把W表示成t的函数.
【解】因为圆的直径是25×2=50，矩形的一边长是t，
25
t
所以与它相邻的另一边长就是
?
矩形的面积
?
又因为矩形的边长小于圆的直径，所以0＜t＜50
?
即时巩固
画出函数
【解法一】由绝对值的概念可知，
所以函数的图像如图所示：
?
的图像.
?
【解法二】(翻折法)先画出函数
?
的图像，
然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
?
?
?
1
2
3
4
1
2
即时巩固
函数的实际应用
【例题】下表是卢老师所在的初中某班三名同学在初三学年度6次历史测试的成绩
及班级平均分表.请你对这三位同学在初三学年的历史学习情况做一个分析.
【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学
的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用
图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
函数的实际应用
【分析】从图像中我们可以直观地看到：吴思远同学的成绩一直稳定在班级的前茅，
吴畅畅同学的成绩波动较大，杨勇同学的成绩整体有下降趋势，但三位同
学的成绩基本上都大幅领先于班级平均水平.
函数的实际应用
【例题】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
并画出图像.
【解】设票价为W元，里程为t千米，由题意可
写出解析式为：
?
图像如图：
?
?
?
5
10
15
20
5
4
3
2
1
·
·
·
·
·
复合函数
【概念】设函数
的定义域为A，值域为B，函数
的定义域为C，
值域为D.如果B∩C≠?，那么对于B∩C内的任意一个
经过
，有唯一
确定的
与之对应.则变量
和
之间通过变量
形成一种函数关系，
这种函数成为复合函数.记为
.其中
为自变量，
为中间
变量，
为因变量(函数).
例如，如果
，
，那么就有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即
?
【1】已知一次函数
满足
，求
的解析式.
?
?
?
【解】由题意设
?
则
?
所以
?
解得
?
或
?
所以
?
或
?
【复合待定系数法】
常考题型分析
【1】已知
，求
【换元法】由题意令
，则
所以
【换元法和配凑法】
?
?
?
?
?
即
?
【配凑法】
因为
?
?
所以
?
常考题型分析
【1】已知函数
满足
，求
的解析式.
【解】在已知等式中，将
换成
，得
与已知方程联立，得
【已知中含有
,求
】
?
，消去
?
?
常考题型分析
?
?
?
?
?
?
?
得
?
【2】已知
，其中
，求
的解析式.
【解】在原式中用
替换
，得
与已知方程联立，得
，
【已知中含有
,求
】
?
?
常考题型分析
?
?
?
?
?
?
?
消去
，得
?
?
随堂小测
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于
A.1
B.2
C.3
D.4
√
√
3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－1
√
√
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)
＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
5.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为
√
6.画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值.
解　y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
课堂小结
1.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
2.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.
3.如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题.
4.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.
谢
谢！3.1
函数的概念及其表示
3.1.2
函数的表示法
课标解读
课标要求
素养要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.
1.直观想象——会用不同的表示法表示函数.
2.数学运算——会求分段函数的函数值.
3.数学建模——能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题.
第1课时
函数的表示法（一）
自主学习·必备知识
要点一
函数的表示法
函数的三种表示法：①
②
和③
.
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
要点二
分段函数
像
这样的函数称为分段函数.
自主思考
1.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，求他剩余的
元与他买这种笔记本的本数
之间的函数关系式.
2.函数
的图象是什么形状？
1.并不是所有的函数都可以用解析法表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如
列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
2.函数的三种表示法的优缺点
优点
缺点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以利用解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系
图象法
能形象、直观地表示随着自变量的变化，相应的函数值的变化情况
只能近似求出自变量的值所对应的函数值，且有时误差较大
3.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量
的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.
4.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
5.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.
6.分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如
其“段”是不等长的.
互动探究·关键能力
探究点一
函数的列表法
自测自评
1.已知函数
的对应关系如表所示，函数
的图象是如图所示的曲线
，其中
，
，
，则
的值为(
)
1
2
3
2
3
0
A.3
B.2
C.1
D.0
2.（2020福建莆田二中高一月考）已知函数
按下表给出，则满足
的
的值为
.
1
2
3
2
3
1
3.用列表法可将函数
分别表示为
1
2
3
2
1
1
3
2
1
（1）
；
（2）若
，则
.
探究点二
函数的图象及应用
精讲精练
例作出下列函数的图象，并指出其值域.
（1）
；
（2）
（
，且
）.
解题感悟
作函数图象时的关注点
（1）作函数图象时需注意函数的定义域，即在定义域内作图.
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
迁移应用
1.已知函数
的图象如图所示，则此函数的定义域是
，值域是
.
2.画出下列函数的图象，并指出其值域：
（1）
（
且
）；
（2）
.
探究点三
函数的解析式
精讲精练
例
求下列函数的解析式：
（1）已知函数
，求
；
（2）已知
，求
；
（3）已知
是一次函数，且
，求
.
解题感悟
求函数解析式的常用方法
（1）配凑法：已知条件
，可先将
改写成关于
的表达式，然后用
替代
，便得
的解析式.
（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则可用待定系数法.
（3）换元法：将复合函数
中的
用
表示，则可求得
关于
的表达式，并将最终结果中的
用
代换，即可求得函数
的解析式.此时要注意新元的取值范围.
（4）解方程组法：已知关于
与
或
的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出
的解析式.
迁移应用
（1）已知
是一次函数，且
，求
的解析式；
（2）已知函数
，求
的解析式；
（3）已知函数
满足
，求函数
的解析式；
（4）设
是定义在
上的函数，且满足
，并且对任意的实数
都有
，求
的解析式.
评价检测·素养提升
1.已知
是一次函数，且
，
，则
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知
，则
.
3.
若对于任意实数
，恒有
，则
.
4.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出数量
（单位：台）与收款数
（单位：元）之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
5.（1）已知
，求
的解析式.
（2）已知
，求
的解析式.
课时评价作业
基础达标练
1.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如下表所示：
考试次数
1
2
3
4
5
成绩
分
90
102
106
105
106
则下列说法正确的是(
)
A.成绩
不是考试次数
的函数
B.成绩
是考试次数
的函数
C.考试次数
是成绩
的函数
D.成绩
不一定是考试次数
的函数
2.（多选）（2021浙江杭州高一期末）某工厂八年来产品累积产量
（即前
年年产量之和）与时间
（年）的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有(
)
A.前三年中，产量增长的速度越来越快
B.前三年中，产量增长的速度越来越慢
C.第三年后，这种产品停止生产
D.第三年后，年产量保持不变
3.（多选）已知
是一次函数，且
，则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，函数
的图象是两条线段，其中点
，
，
的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则
的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.
5.（2020福建福州三中高一期中）已知函数
的部分对应值如下表所示，则
.
1
2
3
4
5
5
4
3
1
2
已知
，则
.
若一次函数
满足
，则
.
8.已知正方形的周长为
，它的外接圆的半径为
，则
关于
的解析式为
.
9.（2020湖北黄石高一期末）（1）已知
，求
；
（2）已知
，求
的解析式.
素养提升练
10.（多选）若一次函数的图象经过点
和
，则该函数的图象还经过的点的坐标为(
)
A.
B.
C.(-1,2)
D.(-2,1)
11.已知对任意实数
，都有
，若
，则
等于(
)
A.1
B.0
C.1或-3
D.3或-1
12.（2020湖北武汉外国语学校高一期中）将
中的最小数记为
，最大数记为
，则
的值为(
)
A.1
B.5
C.4
D.6
13.求下列函数的解析式.
（1）已知
，求
；
（2）已知一次函数
满足
，求
.
创新拓展练
14.某省两个相近的重要城市之间人员流动频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖挂4节车厢，则一天能来回16次（来、回各算作一次），若每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次.
（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求该一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，如果每节车厢能载乘客110人，那么这列火车每天来回多少次才能使运载人数最多?并求出每天最多的运载人数.
第2课时
函数的表示法（二）
互动探究·关键能力
探究点一
分段函数求值
1.若
则
(
)
A.9
B.53
C.81
D.243
2.设
则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知函数
则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知函数
若
，则实数
的值为
，
.
5.
已知实数
，函数
若
，则
的值为
.
解题感悟
1.求分段函数的函数值的方法：
先确定要求的函数值所对应的自变量的值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现
的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可行判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
探究点二
分段函数的图象及应用
例
已知函数
，
，令
（即
和
中的较小者）.
（1）分别用图象法和解析法表示
；
（2）求函数
的定义域和值域.
解题感悟
分段函数图象的画法
（1）分段函数的图象应分段来作，要特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
（2）作含有绝对值的函数的图象时，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
迁移应用
1.已知函数
（1）画出函数
的图象；
（2）求
，
的值；
（3）当
时，求
的取值范围.
探究点三
分段函数的实际应用
例某市出租车的计价标准：
以内（包含
）10元，超过
且不超过
的部分1.2元
，超过
的部分1.8元
.
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
（2）如果某人乘车行驶了
，那么他要付多少车费?
解题感悟
求分段函数的解析式时应注意“先分后合”，根据不同定义域写出相应的函数解析式，最后合并，注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
迁移应用
1.如图，动点
从单位正方形
的顶点
开始，顺次经
，
，
绕边界一周，当
表示点
运动的路程，
表示
的长度时，求
的解析式，并求
的值.
评价检测·素养提升
1.已知
则
(
)
A.-2
B.2
C.5
D.-5
2.已知函数
则
(
)
A.
B.1
C.
D.-1
3.已知某停车场的收费标准：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车时间超过3小时，则每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为(
)
A.16元B.17元C.18元D.20元
4.已知函数
则
的值为
；方程
的解是
.
5.
设
，求函数
的值域.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021江西赣州高一期末）若函数
则
(
)
A.-1
B.1
C.-27
D.27
2.已知函数
则函数
的图象是(
)
A.B.
C.D.
3.（多选）（2020山西太原高一期中）已知函数
则下列结论中正确的有(
)
A.
的定义域是
B.
的值域是
C.若
，则
的值为
D.
的图象与直线
有两个交点
4.（多选）设函数
若
，
，则下列结论中正确的有(
)
A.
B.
C.方程
可能有无数个解
D.若
，则
5.（2021浙江金华高一期末）设函数
则函数
的值域是
.
6.若函数
则满足
的
的取值范围是
.
7.已知函数
若
，则实数
.
8.（2020湖南娄底一中高一期中）已知函数
.
（1）用分段函数的形式表示函数
；
（2）画出函数
的图象；
（3）写出函数
的值域.
素养提升练
9.已知
表示不超过
的最大整数，例如：
，那么
(
)
A.3
B.
C.
D.
10.用
表示
中的最大值，若
，则
的最小值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
11.（2021浙江杭州高一期末）已知函数
则不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
若
，则实数
的取值范围是
.
创新拓展练
13.（2020江西南昌莲塘第三中学高一月考）甲、乙两车同时沿某公路从
地出发，驶往距离
地
的
地，甲车先以
的速度行驶，到达
的中点
处，在
处停留
后，再以
的速度驶往
地，乙车始终以
（单位：
）的速度行驶.
（1）将甲车与
地的距离
（单位：
）表示为离开
地的时间
（单位：
）的函数，求出该函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括
两地），试求乙车行驶速度
的取值范围.
2
/
211

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