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(共23张PPT)
3.2
函数的基本性质
第三章
3.2.1
单调性与最大（小）值
学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解单调性、最值的作用和实际意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
实例探究
在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，
这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.
先研究二次函数
的单调性.画出图像，
可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，
任意取
，得到
，
有
.这时我们就说函数
在区间
(-∞，0]上是单调递减的.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
同理，函数
在[0,+∞)上是单调递增的.
?
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
因为
，所以
实例探究
【问题】如何判断本题中
的大小？
?
?
?
?
?
?
?
?
【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
?
?
【2】做差法：
?
?
?
?
?
所以
?
在区间(-∞，0]单调递减；
在区间[0，+∞)单调递增.
【思考】函数
和函数
各有怎样的单调性？
【解】作出两个函数的图像，由图像可知：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
函数
在区间(-∞，0]单调递增；
在区间[0，+∞)单调递减.
即时巩固
单调性的定义
一般地，设函数
的定义域为S，区间
，如果
，
当
时，都有
，那么就称函数
在区间A上单调
递增.特别地，若函数
在它的定义域上单调递增时，我们就称它为
增函数.
?
?
?
?
?
?
?
如果
，当
时，都有
，那么就称函数
在区间A上单调递减.特别地，若函数
在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.
函数具有单调性的的区间叫做单调区间.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
单调性的定义
【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？
（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.
（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，
S=(-∞，+∞)，当A=
(-∞，0]时，函数单调递减.
（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称
作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
?
?
?
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
?
【1】
?
?
在D上为增函数；
【2】
?
?
在D上为减函数；
【3】
?
在D上为增函数；
?
【4】
?
在D上为减函数.
?
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
单调性定义的应用
【1】判断(证明)单调性：
【2】比较函数值大小：
【3】已知函数值大小比较自变量：
并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数
虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.
?
?
?
?
?
?
?
单调性定义的应用
【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？
函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)
反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.
单调性的应用
【例题1】根据定义，研究函数
的单调性.
?
【解】函数
的定义域是R，对于任意的
且
，
?
?
?
?
由
知
，所以：
?
?
①当
时，
，即
，
?
?
?
?
这时，函数
是增函数；
?
①当
时，
，即
，
?
?
?
?
这时，函数
是减函数；
?
且
，有：
单调性的应用
【例题2】物理学中的玻意耳定律
(
为正常数)告诉我们，对于一定量的
气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数
是减函数即可.
?
?
【证明】
?
?
由
得
；由
得
?
?
?
?
又
，所以
即
?
?
?
所以函数
是减函数.问题得证.
?
【观察】观察函数
的图像可以发现，二次
函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：
函数的最值(最大值和最小值)
?
?
?
?
?
?
当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果当自变量
时，有：
，那么我们就称
是函数的最小值；
?
?
?
反之，设函数
的定义域为A，如果当自变量
时，有：
，那么我们就称
是函数的最大值.
?
?
?
?
?
【常用结论与表达方式】
函数的最值(最大值和最小值)
【1】若函数
在区间
上单调递增，那么函数的最小值
，最大值
?
?
?
?
【2】若函数
在区间
上单调递减，那么函数的最小值
，最大值
?
?
?
?
【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：
随堂小测
√
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
√
3.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为
A.4,1
B.4,0
C.1,0
D.以上都不对
√
A.10,6
B.10,8
C.8,6
D.以上都不对
√
√
6.若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析　f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3，
课堂小结
1.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，对任意x13.函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝
.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).
4.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
谢
谢！3.2
函数的基本性质
3.2.1
单调性与最大（小）值
第1课时
函数的单调性
课标解读
课标要求
素养要求
借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义.
1.逻辑推理—会用函数单调性的定义判断或证明一些函数的单调性.
2.直观想象—会利用函数图象求一些具体函数的单调区间.
自主学习·必备知识
要点一
增函数与减函数
一般地,设函数
的定义域为
,区间
:
如果
,当
时,都有①
,那么就称函数
在区间
上②
.
特别地,当函数
在它的定义域上单调递增时,我们就称它是
.
如果
,当
时,都有③
,那么就称函数
在区间
上④
.
特别地,当函数
在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.
要点二
函数的单调区间
如果函数
在区间
上⑤
或⑥
,那么就说函数
在这一区间具有（严格的）单调性,区间
叫做
的单调区间.
自主思考
若
是
上的增函数，则
与
的大小关系是什么?
2.若函数
在区间
上单调递增,则是否存在
,且
,使得
成立?
1.函数单调性的定义的等价形式
设
,那么有：
（1）
是
上的增函数;
（2）
是
上的减函数.
2.并非所有的函数都具有单调性.如
它的定义域为
,但不具有单调性.
3.图象变换对单调性的影响
（1）函数图象上下平移不影响单调区间,即
和
的单调区间相同.
（2）函数图象左右平移影响单调区间．如
的单调递减区间为
的单调递减区间为
.
（3）
,当
时,函数的单调区间与
的相同,当
时,函数的单调区间与
的相反.
4.单调区间
单调区间可以是整个定义域．如
在整个定义域
上单调递增,
在整个定义域
上单调递减.单调区间也可以是定义域的真子集.如
在定义域
上不具有单调性,但在
上单调递减,在
上单调递增.
5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“
”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数
在区间
和
上都单调递减,不能写成
的单调递减区间为
.
6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间
而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数无意义的点,单调区间一定不能包括.
互动探究·关键能力
探究点一
用定义法证明（判断）函数的单调性
例
已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）判断函数
在
上的单调性,并加以证明.
解题感悟
利用定义证明函数单调性的步骤
迁移应用
1.求证：函数
在区间
上是单调递增函数.
探究点二
求函数的单调区间
精讲精练
例
已知
（1）画出函数
的图象;
（2）求函数
的单调区间．
解题感悟
求函数单调区间的两种方法
（1）图象法：先画出图象,再根据图象求单调区间.
（2）定义法：先求出定义域,再利用定义法进行判断.
迁移应用
1.函数
的单调递减区间是
.
2.求函数
的单调递减区间.
探究点三
函数单调性的应用
例（1）已知函数
.
①若函数
在区间
上是增函数,则实数
的取值范围是
;
②若函数
的单调递增区间是
,则实数
的值为
.
（2）若函数
在区间
上不单调,则实数
的取值范围为
.
解题感悟
由函数单调性求参数的取值范围的方法
（1）由函数解析式求参数:
若为二次函数→判断图象的开口方向与对称轴→利用单调性确定参数满足的条件;
若为一次函数→由一次项系数的正负判断单调性;
若为复合函数
或
数形结合,探求参数满足的条件.
（2）当函数
的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将“
”脱掉,列出关于自变量的不等式（组）,然后求解,此时需注意函数的定义域.
迁移应用
1.已知
.
（1）若
,试证明
在
内单调递增;
（2）若
,且
在
内单调递减,求
的取值范围.
评价检测·素养提升
1.（多选）下列说法正确的是(
)
A.所有函数在定义域上都具有单调性
B.函数单调递增（减）定义中的“
”可以改为“
”
C.若区间
是函数
的一个单调递增区间,且
,若
,则
;反之也成立
D.设
是函数
定义域内的某个区间,若
,当
时,有
,则
在区间
上不单调递增
2.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知
是定义在
上的增函数,且
,则实数
的取值范围是
.
4.求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）
;
（2）
（3）
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2020山东潍坊高一月考）下列四个函数中为减函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中,满足对任意
,当
时,都有
的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）函数
在区间
上单调递增,则下列说法正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020广东实验中学附属天河学校高一月考）给出下列命题,其中是假命题的是(
)
A.若函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
B.函数
的单调递减区间是
C.若定义在
上的函数
在区间
上是增函数,在区间
上也是增函数,则
在
上是增函数
D.
是
的定义域内的任意两个值,且
,若
,则
是减函数
5.已知函数
在
上不单调,则实数
的取值范围为
.
6.已知定义在
上的函数
是减函数,求满足不等式
的实数
的取值范围.
7.用定义研究函数
在
上的单调性.
素养提升练
8.若函数
在
上是增函数,则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知函数
在
上是增函数,则实数
的取值范围是
.
10.已知
的定义域为
,对任意
都有
,当
时,
.
（1）求
;
（2）试判断
在
上的单调性,并证明;
（3）解不等式
.
创新拓展练
11.（2020吉林蛟河一中高一月考）已知函数
.
（1）求
的值;
（2）用定义证明函数
在(-2,2)上为增函数;
（3）若
,求实数
的取值范围.
方法感悟
解决抽象不等式
问题时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,应该利用函数
的单调性进行求解.若函数
为增函数,则
;若函数
为减函数,则
.解题过程中,一定要注意抽象函数的定义域.
第2课时
函数的最大（小）值
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最值.
1.直观想象—会借助函数图象求函数的最值.
2.数学建模—能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
自主学习·必备知识
一般地,设函数
的定义域为
,如果存在实数
满足：
（1）
都有①
;
（2）
,使得②
.
那么,我们称
是函数
的③
.
自主思考
1.若函数
,则
一定是函数的最大值吗？
名师点睛
1.函数的最大（小）值与值域、单调性之间的关系
（1）对一个函数来说,一定有值域,但不一定有最值,如函数
.如果有最值,那么最值一定是值域中的一个元素.
（2）若函数
在闭区间
上单调,则
的最值必在区间端点处取得,即最大值是
或
,最小值是
或
.
2.利用函数单调性求最值的常用结论
（1）如果函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,那么函数
在
处有最大值
,如图①所示;
（2）如果函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,那么函数
在
处有最小值
,如图②所示．
图①
图②
3.函数最大（小）值的几何意义
（1）函数
的最大值是图象最高点的纵坐标.
（2）函数
的最小值是图象最低点的纵坐标.
探究点一
利用图象求函数的最值
自测自评
1.函数
的图象如图所示,则其最大值、最小值分别为(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
在
上(
)
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
3.已知函数
,则函数的最大值是
,值域是
.
4.已知函数
求函数
的最大值和最小值.
解题感悟
利用函数图象求最值的步骤
探究点二
利用单调性求函数的最值
例
求函数
在
上的最值.
解题感悟
利用单调性求函数的最大（小）值时需要求定义域,不判断单调性而直接将两端点值代入求闭区间上的最值是最容易出现的错误,求解时需注意.
迁移应用
1.已知函数
.
（1）判断函数
的单调性;
（2）求函数
的最大值和最小值.
探究点三
函数最值的实际应用
例
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.
规定：每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金
元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用
表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）.
（1）求函数
的解析式及定义域;
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
解题感悟
求解实际应用中的最值问题的步骤
（1）审题:把“问题情境”译为数学语言,找出问题中的主要关系（目标与条件的关系）;
（2）建模:把问题中的关系转化成函数关系,建立函数解析式,把实际问题转换成函数问题;
（3）求解:选择合适的数学方法求解函数最值;
（4）评价:对结果进行验证或评估,最后将结果应用于现实,作出解释.
迁移应用
1.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品
（百台）,其总成本为
（万元）,其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入
（万元）满足
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉）,根据上述统计规律,请完成下列问题：
（1）写出利润函数
的解析式（利润=销售收入-总成本）;
（2）该厂家生产多少台产品时,可使盈利最多？
评价检测·素养提升
1.函数
在
上的图象如图所示,则此函数的最大值、最小值分别为(
)
A.3,0
B.3,1
C.3,无最小值
D.3,-2
2.已知长为4,宽为3的矩形,当长增加
,且宽减少
时,面积
最大,此时
的值为(
)
A.
B.1
C.
D.2
3.若函数
在
上的最小值是
,则
.
4.设
为
和
中的较小者,则函数
的最大值为
.
5.已知函数
.
（1）判断
在
上的单调性,并证明;
（2）求
在
上的最大值和最小值.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020浙江台州启超中学高一期中）若函数
在区间
上的最大值是4,则实数
的值为(
)
A.-1
B.1
C.3
D.1或3
2.若
则
的最大值、最小值分别为(
)
A.10,6
B.10,8
C.8,6
D.8,8
3.已知函数
的定义域为
,且
,则下列说法中正确的是(
)
A.若
在
上是增函数,在
上是减函数,则
B.若
在
）上是增函数,在
上是减函数,则
C.若
在（
上是增函数,在
上是减函数,则
D.若
在
上是增函数,在
上是减函数,则
4.函数
的值域为(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
且
的最小值为
,则实数
的取值范围是
．
6.求函数
在区间
上的最大值和最小值．
7.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数
其中
是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数
;
（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）?
素养提升练
8.（多选）（2020广东珠海第二中学高一期中）已知函数
,则该函数(
)
A.有最大值
B.有最大值
C.没有最小值
D.在区间(1,2)上是增函数
9.（多选）（2020湖北荆州中学高一期中）定义一种运算
设
为常数）,且
,则使函数
的最大值为4的
的值可以是(
)
A.-2
B.6
C.4
D.-4
10.已知
为常数,函数
在区间
上的最大值为2,则
的值为
.
11.已知函数
在
上的最小值为
,则
的最大值为
.
12.请先阅读下列材料,然后回答问题.
对于问题“已知函数
,则函数
是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.”一个同学给出了如下解答:令
,则
,当
时,
有最大值4,显然u没有最小值.故当
时,
有最小值,没有最大值.
（1）你认为上述解答是否正确?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答;
（2）试分析函数
的最值情况.
创新拓展练
13.（2021浙江杭州高一期末）设函数
．
（1）当
时,求
的单调递增区间;
（2）若
,设
在
上的最大值为
,求
的表达式．
2
/
211

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