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22.2.5一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（
）
A．1
B．0
C．2
D．
2．若是方程的两个根，则代数式的值为（
）
A．2018
B．2017
C．2016
D．2015
3．若关于的一元二次方程
的一个根是2，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若和为一元二次方程的两个根，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．
6．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（
）
A．2
B．
C．4
D．
7．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为（
）
A．﹣3
B．3
C．﹣5
D．5
8．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　）
A．0
B．2
C．4
D．8
9．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．14
B．14或15
C．4或6
D．24或25
10．已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（
）
A．－4
B．8
C．－4或－8
D．4或－8
11．方程的两根之和为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知一元二次方程的两根分别是和，则b，c的值分别为（
）
A．，1
B．4，1
C．，
D．4，
13．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
14．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（
）
A．
B．
C．2
D．4
15．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
二、填空题
16．已知一元二次方程2x2+mx﹣4=0的一个根是，则该方程的另一个根是
___．
17．若关于的方程的根是正整数，则整数的值可以是_______．
18．已知x1，x2为方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根，则＝___．
19．已知a，b分别为一元二次方程x2＋2x﹣2011＝0的两个实数根，则a2﹣3a﹣5b＝___．
20．对于一元二次方程，若，则有，．方程…①，…②所有根之和为_________．
三、解答题
21．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
22．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
23．已知关于x的方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根、，求的值．
24．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得等式成立?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
25．已知：，（＞）是一元二次方程的两个实数根，设，，
…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求，的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出，的值．
②猜想：当n≥3时，，，之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．
(注：关于x的一元二次方程若有两根，则有)
参考答案
1．D
解：设方程的另一个根是t，
根据题意得-1?t=2，解得t=-2，
即方程的另一个根是-2．
故选：D．
2．A
解：∵m，n是方程的两个根，
∴m+n=1，mn=-2018，，，
∴，，
∴
=，
故选：A．
3．D
解：的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故选D
4．C
解：∵
∴
∵方程的一个根是，设另一个根为，则有：
解得，
故选：C
5．A
解：和为一元二次方程的两个根
．
故选A．
6．A
解：根据根与系数的关系，
．
故选：A．
7．A
解：由题意得：，
∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，
∴，
∴b=-3，
故选：A．
8．C
解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1?x2＝2．
则由得，
，即．
解得k＝4．
故选：C．
9．A
解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，
根据韦达定理：a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，
根据韦达定理：2a＝10，
解得a＝5，
所以该等腰三角形的周长是14．
故选：A．
10．C
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
11．C
解：若方程的两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝5．
故选：C．
12．A
解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为和，
∴x1+x2=-b==4，x1?x2=c=（）（）=1，
∴b=-4，c=1．
故选：A．
13．B
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故选：B．
14．B
解：设的两根分别为
关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，
＜
＜
＜
＜
符合题意，所以不符合题意，符合题意，
故选：
15．B
解：①∵方程
x2?(a+b)x+ab?1=0
中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故选：B.
16．-4
解：设方程的另一个根是x1，
∵x=是一元二次方程2x2+mx-4=0的一个根，
∴x1==-2，
解得：x1=-4．
故答案为：-4．
17．7或0或1
解：当时，方程为显然符合题意，
当时，，
，
，
∴，
，．
可知方程必有一根为1，则另一根为，是正整数，
是7的正约数，即或1，
，0，1，
故答案为：7或0或1．
18．
解：∵x1，x2是方程x2-3x-7=0的根，
∴x1+x2=3，x1?x2=-7，
∴==，
故答案为：．
19．2021
解：为一元二次方程的根，
，
，
，分别为一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为2021．
20．3
解：∵…①，，
∴，
∵…②，，
∴方程无解，
∴方程…①，…②所有根之和为：3．
故答案是：3．
21．（1），；（2）存在，
解：（1）由题意：Δ=(?6)2?4×1×(2m?1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1?x2=2m?1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
22．（1）见详解；（2）
（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
23．（1）见解析；（2）-1
（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为-x-1=0，
∴x=-1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，△=(m-1)2-4m(-1)=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0，
∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-，x1?x2=-，
∴x1+x2+x1x2=--=-1．
24．（1）；（2）存在满足条件的．
（1）依题意得：，
，解得．
（2）依题意得：，
，即，
，解得，，
又，
存在满足条件的．
25．①，；，；②，证明见解析
解：①移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
即，
∴，．
于是，，．
②猜想：．
证明：根据根的定义，，
两边都乘以，得，①
同理，，②
①＋②，得，
∵，，，
∴，
即．

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