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专题28：平行四边形-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编
一、单选题
1．（2021·广东广州市·中考真题）下列命题中，为真命题的是（
）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）
B．（1）（4）
C．（2）（4）
D．（3）（4）
【答案】B
【解析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【点评】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
2．（2021·广东深圳市·九年级二模）以下说法正确的是（
）
A．平行四边形是轴对称图形
B．函数的自变量取值范围
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．直线不经过第二象限
【答案】D
【解析】利用平四边形的性质，圆周角定理，函数的有关性质一一判断即可．
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
B、函数的自变量取值范围是x＞2，故本选项不符合题意．
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意．
D、直线y=x-5经过第一、三、四象限，不经过第二象限，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平四边形的性质，圆周角定理，函数的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2021·广东九年级其他模拟）如图，在?ABCD中，E为AC的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是8，则△BCF的面积为（
）
A．16
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【解析】首先根据平行四边形的性质得出，然后利用相似三角形的性质解题即可．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
，
．
∵△AEF的面积是8，
∴△BCF的面积为，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是关键．
4．（2021·广东南山学校九年级一模）如图，平行四边形的周长为20，对角线、交于点O，E为的中点，，则的周长为（　　）
A．5
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【解析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】解：∵?ABCD的周长为20cm，
∴2（BC＋CD）＝20，则BC＋CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝5＋3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
5．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下面结论：①是的中点；②；③；④当四边形是平行四边形时，．其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故①正确；∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质可得AB＝PB＝MN．
【解答】解：由折叠的性质可得：DM＝MN，CM＝MN，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；故①正确；
由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，
∵∠MNA+∠MNP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DMN+∠CMN＝180°，
∴∠DMA+∠CMP＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴∠B＝∠AMP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
若MN⊥AP，
则∠ADM＝∠MNA＝∠C＝90°，
则四边形ABCD为矩形及AB∥CD，而题目中无条件证明此结论，故③不正确；
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝∠MAP＝∠PAB＝30°，
由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AN＝PN，
又∵∠AMP＝90°，
∴MN＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴PB＝AP，
∴PB＝MN
∴AB＝PB＝MN，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．
6．（2021·广东九年级一模）如图，平行四边形的周长为20，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【解析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
【解答】解：的周长为20，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为8．
故选：．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
7．（2021·广东佛山市·九年级月考）如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】B
【解析】由平行四边形的性质得到，继而证得四边形是平行四边形，再证得，根据矩形的判定即可证得是矩形．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形BCED是平行四边形是解决问题的关键.
8．（2021·广东九年级其他模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
【答案】D
【解析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；
D、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、解答题
9．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．（2021·广东九年级一模）已知，如图，、分别为矩形的边和上的点，．
求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】先求出BF＝DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即ED＝BF，
而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了矩形的对边相等的性质．
11．（2021·广东中山市·九年级一模）如图，已知：在平行四边形中，，垂足为，，点，分别为，的中点，连接，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由平行四边形的性质解得，根据题意证明，再由全等三角形的性质解得，继而证明即可解题；
（2）在中，利用勾股定理解得的长，再解得的长，最后由平行四边形的面积公式解题．
【解答】（1）证明：∵为平行四边形
∴
又∵，点，分别为，的中点
∴，
∵，
∴,
∴，
又
∴
∴；
（2）解：∵，
由（1）知
所以在中，由勾股定理，得
又
所以平行四边形的面积为．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，在平行四边形中，．
（1）在边上确定点，使点到边，的距离相等（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图形中，若，，则_______．
【答案】（1）见详解；（2）2
【解析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质可知AB＝CD＝6，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠BPA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
∵AP是∠BAD的平分线，
∴∠DAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴BP＝BA＝6，
∴CP＝BC?BP＝AD-BP=8-6=2．
【点评】考查了作图?复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．
13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级一模）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，根据等腰三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠CDA＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB//CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°，
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴，
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴，GD＝1，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的判断、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．（2021·广东九年级二模）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）连接交于点，若，求的长
【答案】（1）见解析；（2）2.5
【解析】（1）先由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE=HF，GE∥HF，则可得出结论．
（2）先由平行四边形的性质及BD=10，得出OB=OD=5，再根据AE=CF、AE+CF=EF及OA=OC得出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=10，
∴OB=OD=5，
∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=OB=2.5．
∴EG的长为2.5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图，在平行四边形中，点在上，点在上，且，点在上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，从而得，进而可证明△CFG≌△AEH，从而得GF=HE，GF∥HE，进而即可求证．
【解答】证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GCF＝∠HAE，
∵DG＝BH，
∴GC＝AH，
在△CFG与△AEH中，
，
∴△CFG≌△AEH（SAS），
∴GF=HE，∠CFG＝∠AEH，
∴∠GFE＝∠HEF，
∴GF∥HE，
∴四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
16．（2021·广东广州市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【解答】解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴为等边三角形．
【点评】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
17．（2021·广东九年级一模）已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得．连接，与对角线交干点．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据平行四边形的性质，证出，，，依据ASA证明即可．
【解答】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用平行四边形的性质证线段相等和角相等，证明三角形全等．
18．（2021·广东九年级一模）如图，将边长为5的菱形ABCD放置于直角坐标系内，顶点B，C在x轴上，反比例函数的图象经过点，并与线段AB交于点，反比例函数的图象经过点D，AD交y轴于点G．点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N，
（1）
，
，
．
（2）当时，求P点坐标；
（3）在点P运动过程中，直线AD上是否存在点Q，使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】（1）-3，4，16；（2）P(0，6)；（3）存在，或
【解析】（1）把点A的坐标代入计算a，把点E的坐标代入计算b，利用菱形的性质，得AD=5，AD∥BC，计算点D的坐标，继而确定k值；
（2）设点P（0，m），分别表示出M，N的坐标，根据CM=CN，利用两点间的距离公式列式计算即可；
（3）存在，利用AE=QN，AE∥QN，利用两点间距离公式，直线平行的性质，列式计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，点，
∴a，，
∴a=4,b=-3；
∴A（-1,4），
∵菱形ABCD的边长为5，
∴AD=5，AD∥BC，
∴D（,4），
∴-(-1)=5，
∴=4，
∴D（4,4），
∴k=4×4=16，
故答案为：，，；
（2）过点D作轴，垂足为点F，
由（1）可得点D的坐标为（4，4），且，
，根据勾股定理可得，
∴点C的坐标是（1，0）
设点P的坐标为（0，m），
∵MN∥x轴，
，，
，
解得：
∴点P坐标为（0，6）
（3）存在.理由如下：
∵A（-1,4），E（-3,
），
∴AE==，
设直线AE的解析式为y=px+q，
根据题意，得，
解得，
∴直线AE的解析式为y=x+4，
∵四边形AEQN是平行四边形，
∴AE=QN，AE∥QN，
设Q（d，4）,
N（n，）,
∴,
设直线QN的解析式为y=rx+t，
根据题意，得，
解得，
∴直线QN的解析式为y=x+，
∵AE∥QN，
∴=
∴,
∴或
∴或，
经检验或都是原方程的根，
∴或.
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，平行四边形的判定，直线平行的条件，两点间的距离公式，菱形的性质，分式方程，算术平方根，灵活运用两点间的距离公式，平行线的条件，算术平方根的定义是解题的关键．
19．（2021·广东九年级一模）（问题情境）
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片（）沿对角线剪开，得到两个全等的和．
（操作发现）
（1）将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到图2所示的，分别延长和交于点，求证：四边形是菱形．
（2）创新小组将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，当与，满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形是矩形，请说明理由．
（实践探究）
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中cm，cm，求长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）首先证明四边形ACEC?是平行四边形，再由即可证明结论；
（2）如图，过点A作AE⊥C?C于点E，首先证明DC?//CB，DC?=CB，推出四边形BCC?D是平行四边形，再证明∠BCC?=90°即可得出结论；
（3）过点A作AE⊥CC?于点E，过点B作BF⊥AC于点F，证明△ACE∽△BCF，由相似三角形的性质得出，求出CE的长，则可求出CC?的长，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=∠CAC?=∠AC?D，
∴AC?//EC，
∴四边形ACEC?是平行四边形，
∵AC=AC?，
∴四边形是菱形．
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
如图，过点A作AE⊥C?C于点E，
由旋转得，
∴，∠AEC=90°，
∵，
∴
∴，
∴
同理，，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵AE//BC，∠AEC=90°，
∴∠BCC?=180°-90°=90°，
∴四边形是矩形．
（3）解：过点A作AE⊥CC?于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∵，
∴．
在中，，
在和中，
∵，．
∴，
∴，
即，
解得，
∵，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定与性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、填空题
20．（2021·广东九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长为_____．
【答案】6
【解析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
则，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
21．（2021·广东九年级二模）三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则连接三边中点所围成的三角形的周长是______cm．
【答案】9
【解析】根据三角形中位线定理，可得所围成的三角形各边长，进而即可得到答案．
【解答】∵连接三边中点所围成的三角形的各边是原三角形的中位线，
∴所围成的三角形的三边长分别是，，，其周长为．
故答案是：9
【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边长的一半，是解题的关键．
22．（2021·广东雷州市教育局九年级一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么____．
【答案】8．
【解析】通过证明△BCF∽△DEF，可得，即可求解．
【解答】解：∵ED=2AE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴，
∴△BCF∽△DEF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
23．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．
【答案】
【解析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【解答】∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴
,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴
,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC=
;
又∵S△EBC
∴
,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点评】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
24．（2021·广东九年级一模）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
在轴负半轴上，取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝2，OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝，
∴CD＝，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
25．（2021·广东九年级其他模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若△OED的面积是5，则四边形OECB的面积是______
【答案】15．
【解析】由题意可得：S△COB＝S△COD，由点E是CD中点，可得S△ODE＝S△COD．即可求四边形OECB的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO
∴S△BOC＝S△COD．
∵点E是CD的中点
∴S△ODE＝S△COD．
△OED的面积是5，
∴S△BOC＝S△COD=10，
四边形OECB的面积为10+10-5=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是明确平行四边形两条对角线分得的四个三角形面积相等．
26．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，旋转后的△CDA与△ABC构成四边形ABCD，作ONAB交AD于点N，若∠BAC＝∠BCA，四边形ABCD的周长为24，则ON＝___．
【答案】3
【解析】由旋转的性质和等腰三角形的判定证得四边形ABCD是菱形，再根据平行线等分线段定理和三角形的中位线定理证得ON＝CD即可求得ON．
【解答】解：∵将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵四边形ABCD的周长为24，
∴CD＝6，
∵ON∥AB，
∴ON∥CD，
∵点O是AC的中点，
∴N是AD的中点，
∴ON＝CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中位线定理是解决问题的关键.
27．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝_____．
【答案】20°
【解析】先利用平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则利用平行线的性质可计算出∠BAD＝40°，再由作法得AH平分∠BAD，所以∠BAD＝∠BAD＝20°，然后根据平行线的性质得到∠DHA的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣140°＝40°，
由作法得AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAD＝∠BAD＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠DHA＝∠BAH＝20°．
故答案为20°．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
28．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，已知在菱形，，，点在上，且，将沿折叠得到，其中交于点，则______________．
【答案】．
【解析】过B′作B′H∥BC交AE于H，连结BH，BB′交AE于N，过A作AG⊥BC于G，过H作HM⊥BC于M，过F作FR⊥BC交BC延长线于R，由折叠可知AE为BB′的垂直平分线，BH=B′H，可证四边形BEB′H为菱形，可得∠HAM=∠FER，设FC为x，CR，FR，在Rt△ABG中，
BG=ABcos60°=，AG=ABsin60°=，GE，由勾股定理AE=，由面积BN=，由勾股定理，HE=2NE=，由面积，勾股定理得，由tan∠HBM=tan∠FER=，解得x=．
【解答】解：过B′作B′H∥BC交AE于H，连结BH，BB′交AE于N，过A作AG⊥BC于G，过H作HM⊥BC于M，过F作FR⊥BC交BC延长线于R，
由折叠可知∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，B、B′关于AE对称，
∴BB⊥AE，且BN=B′N，
∴AE为BB′的垂直平分线，
∴BH=B′H，
∵B′H∥BC（作法），
∴∠B′HE=∠AEB，
∴∠B′HE=∠B′EH，
∴HB′=B′E=BH=BE=6，
∴四边形BEB′H为菱形，
∴BH∥B′E，
∴∠HAM=∠FER，
在Rt△FRC中，∠FCR=60°设FC为x，
CR=CFcos60°=，FR=CFsin60°=，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°，AB=9，BG=ABcos60°=，AG=ABsin60°=，
∴GE=BE=BG=6-，
在Rt△AGE中，由勾股定理AE=，
由S△ABE=，
∴BN=，
在Rt△NEB中，由勾股定理，
∴HE=2NE=，
由S△BHE=，
∴，
在Rt△BHM中，勾股定理得，
∴tan∠HBM=tan∠FER=，
即，
解得x=．
经检验符合题意，
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形折叠问题，垂直平分线性质，平行线性质，菱形判定与性质，勾股定理，锐角三角数，三角形面积桥，掌握平行四边形性质，轴对称性质，垂直平分线性质，平行线性质，菱形判定与性质，勾股定理，锐角三角数，三角形面积桥，利用锐角三角函数值构造分式方程是解题关键．
29．（2021·广东汕头市·七年级一模）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的⊙O与相切于点，的延长线交⊙O于点，连接，若，则图中阴影的面积为___________．
【答案】．
【解析】连接，过点作交于点，根据⊙O与相切于点，四边形是平行四边形，可判断出和均是等腰直角三角形，则有，，可得，即也是等腰直角三角形，得到，设，则，根据，，可证，则有，即：，可求得，，根据，可求出答案．
【解答】解，如图示，交于点，
连接，过点作交于点，
∵⊙O与相切于点，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵，，
∴和均是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即也是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，
即：
解之得：，
∴
∴，
故答案是：．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟悉相关性质是解题的关键．
30．（2021·广州大学附属中学九年级其他模拟）如图，等边中，，为中点，，为边上的动点，且，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】作C点关于AB的对称点C'，取BC的中点Q，连接C'Q，交AB于点G，此时CG＋EF最小，作C'H⊥BC交BC的延长线于点H，再根据等边三角形的性质和勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，作C点关于AB的对称点C'，则C'G＝CG，取BC的中点Q，连接EQ，GQ，B
C'，
∵点E是AC的中点，
∴EQ＝AB＝5＝FG，EQ∥AB，
∴四边形EFGQ是平行四边形，
∴EF＝GQ，
∴当点C'，G，Q在同?条线上时，CG＋EF最小，
作C'H⊥BC交BC的延长线于点H，
∵BC＝BC'＝10，∠CBC'＝120°，∠HB
C'=60°，
∴HC'＝5，HB＝5，
∴HQ＝10，
∴C'Q＝
∴EF＋CG的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最值问题，根据题意作出正确的辅助线是解题关键．
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专题28：平行四边形-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编
一、单选题
1．（2021·广东广州市·中考真题）下列命题中，为真命题的是（
）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）
B．（1）（4）
C．（2）（4）
D．（3）（4）
2．（2021·广东深圳市·九年级二模）以下说法正确的是（
）
A．平行四边形是轴对称图形
B．函数的自变量取值范围
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．直线不经过第二象限
3．（2021·广东九年级其他模拟）如图，在?ABCD中，E为AC的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是8，则△BCF的面积为（
）
A．16
B．18
C．24
D．36
4．（2021·广东南山学校九年级一模）如图，平行四边形的周长为20，对角线、交于点O，E为的中点，，则的周长为（　　）
A．5
B．8
C．10
D．12
5．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下面结论：①是的中点；②；③；④当四边形是平行四边形时，．其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2021·广东九年级一模）如图，平行四边形的周长为20，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
7．（2021·广东佛山市·九年级月考）如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
8．（2021·广东九年级其他模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分且相等
D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
二、解答题
9．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
10．（2021·广东九年级一模）已知，如图，、分别为矩形的边和上的点，．
求证：．
11．（2021·广东中山市·九年级一模）如图，已知：在平行四边形中，，垂足为，，点，分别为，的中点，连接，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求平行四边形的面积．
12．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，在平行四边形中，．
（1）在边上确定点，使点到边，的距离相等（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图形中，若，，则_______．
13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级一模）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
14．（2021·广东九年级二模）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）连接交于点，若，求的长
15．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图，在平行四边形中，点在上，点在上，且，点在上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
16．（2021·广东广州市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
17．（2021·广东九年级一模）已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得．连接，与对角线交干点．求证：．
18．（2021·广东九年级一模）如图，将边长为5的菱形ABCD放置于直角坐标系内，顶点B，C在x轴上，反比例函数的图象经过点，并与线段AB交于点，反比例函数的图象经过点D，AD交y轴于点G．点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N，
（1）
，
，
．
（2）当时，求P点坐标；
（3）在点P运动过程中，直线AD上是否存在点Q，使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标：若不存在，说明理由．
19．（2021·广东九年级一模）（问题情境）
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片（）沿对角线剪开，得到两个全等的和．
（操作发现）
（1）将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到图2所示的，分别延长和交于点，求证：四边形是菱形．
（2）创新小组将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，当与，满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形是矩形，请说明理由．
（实践探究）
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中cm，cm，求长．
三、填空题
20．（2021·广东九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长为_____．
21．（2021·广东九年级二模）三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则连接三边中点所围成的三角形的周长是______cm．
22．（2021·广东雷州市教育局九年级一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么____．
23．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．
24．（2021·广东九年级一模）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为_______．
25．（2021·广东九年级其他模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若△OED的面积是5，则四边形OECB的面积是______
26．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，旋转后的△CDA与△ABC构成四边形ABCD，作ONAB交AD于点N，若∠BAC＝∠BCA，四边形ABCD的周长为24，则ON＝___．
27．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝_____．
28．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，已知在菱形，，，点在上，且，将沿折叠得到，其中交于点，则______________．
29．（2021·广东汕头市·七年级一模）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的⊙O与相切于点，的延长线交⊙O于点，连接，若，则图中阴影的面积为___________．
30．（2021·广州大学附属中学九年级其他模拟）如图，等边中，，为中点，，为边上的动点，且，则的最小值是__________．
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