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圆锥曲线专题（三）
———存在性问题
例1:已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在正数m，且m的取值范围是
例2:已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的角平分线所在直线的方程；
（Ⅲ）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）不存在满足题设条件的相异两点
例3:（2011湖南理21）如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与 C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得 请说明理由。
答案：（Ⅰ）C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（i）略（ii）满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
例4:（2010山东文数）如图，已知椭圆过点（1，），离心率为，左、右焦点分别为．点为直线l：上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为．
（i）证明：；
（ⅱ）问直线l上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（i）略（ⅱ）满足条件的点P的坐标分别为，
高考真题练习
1.（2009全国卷Ⅱ理） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
答案：（Ⅰ） （II）
2.（2010北京理数）在平面直角坐标系中，点B与点A（，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为
3.（2010陕西文数）如图，椭圆C：的顶点为A1，A2，B1，B2， 焦点为F1，F2， ，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，
，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）使·=0成立的直线l不存在
4.（2011山东理）已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得 若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）|OM|·|PQ|的最大值为
（Ⅲ）椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G
y
O
x
F1
F2
A
l
y
x
O
A
P
C
D
B
F1
F2
l
O
x
y
l
P
B
n
B1
A2
F2
F1
A1
B2
A

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