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第六章期末复习第2讲　平面向量的基本定理与坐标表示
一、考点目标锁定:
1.理解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、知识要点梳理：
1．两个向量的夹角
（1）定义
已知两个 向量，，作＝，＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角.
（2）范围
向量夹角θ的范围是 ,当夹角θ＝ 时, 两向量同向，当夹角θ＝ 时, 两向量反向，当夹角θ＝ 时两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作⊥.
2．平面向量基本定理及坐标表示
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量，________一对实数λ1，λ2，使________________，其中不共线的向量，叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使＝x＋y，这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，把有序数对 叫做向量的坐标，记作＝ ，其中 叫做在x轴上的坐标， 叫做在y轴上的坐标．
②设＝x＋y，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)
3．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则＋＝(_______，_______)，－＝(_______，_______)，λ＝(_____，____)，||＝_______.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝____________________________.
4．平面向量共线的坐标表示
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，当且仅当______________时，向量，共线．
三、双基自测：
1．若向量＝(3, －1)，＝(－1,2)，则－3－2＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(7,1) B．(－7，－1) C．(7，－1) D．(－7,1)
2．若向量＝(1,1)，＝(－1,1)，＝(4,2)，则＝(　　)．
A．3＋ B．3－ C．－＋3 D．＋3
3．若三点P (1,1)，A (2, －4)，B (x, －9)共线，则x=（ ）
A．－1 B．3 C． D．51
4．已知平面向量＝(x,1)，＝(－x，x2)，则向量＋ (　 　)
A．平行于y轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于x轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
5．已知向量＝(2，－1)，＝(－1，m)，＝(－1,2)，若(＋)∥，则m＝________.
6．设向量＝(1，－3)，＝(－2,4)，＝(－1，－2)．若表示向量4、4－2、
2(－)、的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量＝____________.
四、典例讲解：
考点一　平面向量基本定理及其应用
1．下列各组向量：①＝(－1,2)，＝(5,7)；②＝(3,5)，＝(6,10)；③＝(2，－3)，＝，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　)
A．①　　　　　　B．①③ C．②③ D．①②③
2.在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC和BC的中点，已知，试用表示
3.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

考点二　平面向量的坐标运算
1. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4)
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝，＝，＝，且＝3，＝－2
（1）求3＋－3；
（2）求满足＝m＋n的实数m，n；
（3）求M、N的坐标及向量的坐标．
考点三　平面向量共线的坐标运算
已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是__________.
2. 已知＝(1,0)，＝(2,1)．
（1）求|＋3|；
（2）当k为何实数时，k－与＋3平行，平行时它们是同向还是反向？
3.已知与的夹角为60°，当实数k为何值时，
（1） （2）.
如图所示，在?ABCD中，已知＝，AC与BE相交于点F，＝λ，则λ＝________.
(第3题) (第4题)
在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝，＝，以、为基底表示，则＝________.
考点四 综合应用
1.若在直线l上存在不同的三个点A,B,C,使得关于实数x的方程有解（点O不在直线l上，则此方程的解集为___________________.
2.设G是△ABC的重心，且,则∠B的大小=___________.
【滚动练习】1. 浙江省教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分)，将数据分成了11组,制成了如下所示的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
2. 如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD, AB⊥AD，且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM//平面BEC;
（2）求证：平面BCD⊥平面BDE； 图1
（3）若DE=1，求点D到平面BCE的距离。
图2
1

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