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第六章期末复习第3讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、考点目标锁定
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4.能运用数量积表示两个向量的夹角.
二、知识要点梳理
1．平面向量的数量积：
已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量_______叫做和的数量积(或内积)，记作___________.规定：零向量与任一向量的数量积为____.
2．平面向量数量积的重要性质
(1) ·＝·＝ ；(2)非零向量，，⊥? ；
(3)当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ，·＝ ，||＝ ； (4)cos θ= ； (5)|·|____||||.
3．向量数量积的运算律
(1) ·＝·；(2)λ·＝λ(·)＝·(λ)；(3)( ＋)·＝·＋·.
4．平面向量数量积的坐标运算
设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量与的夹角为θ，则
（1）·＝ ； （2）||＝ ；
（3）cos〈，〉＝ ；（4） ⊥?·＝0?
5. 投影向量
①定义：叫做向量在向量上的投影向量．
②表示：向量在向量上的投影向量为_____________．
③相关结论：______________________.
三、双基自测
1．已知||＝3，||＝2，若·＝－3，则与的夹角为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2．若向量，，满足∥，且⊥，则·(＋2)＝(　　)．
A．4 B．3 C．2 D．0
3．已知向量＝(1,2)，向量＝(x，－2)，且⊥(－)，则实数x等于(　　)．
A．9 B．4 C．0 D．－4
4．已知||＝||＝2，(＋2)·(－)＝－2，则与的夹角为________．
5. 已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为______．
6. 平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ (　　)
A. B．2 C．4 D．12
四、典例讲解
考点一　求两平面向量的数量积
1.已知两个单位向量，的夹角为，若向量＝－2，＝3＋4，则·＝________.
2.在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
3.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则等于(　　)
A．2 B. C. D.
4．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则
·(－)的最大值为________．
考点二　利用平面向量数量积求夹角与模
1.若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为________.
2.已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，a与a＋b的夹角为________.
3.已知向量,满足.若的夹角为45°，求与的夹角的余弦值.
4.已知向量，的夹角为60°，则=_________；上的投影向量为_____________.
5.已知，，求（1）的范围；（2）若，求的值．
考点三　平面向量的数量积与垂直问题
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．
已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R,k∈R).
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
考点四 平面向量与解三角形的综合问题
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．

五、能力提升
已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________，的最小值为________.
【滚动练习】
“a=1”是“复数为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图1，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形周长为（ ）
A. B. 6 C. 8 D.
（图1） （图2）
在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图2所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）
成绩在[70,80)分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000人
C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分
（多选）在某次考试中,若你的成绩处在第95百分位数上,那么下列说法错误的是( )
A.你得了95分 B.你答对了95%的试题 C.你排名在第95名
D.至少有95%的考生得了和你一样或还要低的分数，且至少有5%的考生得了和你一样或还要高的分数
已知实数a，b满足，则复数的模为______ ．
已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,标准差为4,则数据5x1-1,5x2-1,5x3-1,5x4-1,5x5-1的平均数和方差分别为　　　　.?
如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P-BD-A的余弦值为________．
如图，在四棱锥平面，，，，，，，求证：
（1）
（2）
（3）
2

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