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第六章期末复习第4讲 正弦定理与余弦定理
一、考点目标锁定:
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.常见类型有以下两种
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是考查的热点．
2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角三角形形状的判断等.
二、知识要点梳理：
1．正弦定理： ＝ ＝ ＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形为：
（1）a∶b∶c＝ ∶ ∶ ；
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ 等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .
余弦定理可以变形为：cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ .
3．S△ABC＝ ＝ ＝ ＝＝(a＋b＋c)·r (R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
①一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B? ? .
②两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：
（1）已知两角及任一边，求其它边或角；
（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况（2）中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：
（1）已知两边及夹角求第三边和其他两角；（2）已知三边，求各角．
③两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
三、双基自测：
1. 在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)
A．5 B．10 C. D．5
在△ABC中，b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆面积为( )
A． B． C. D．
4. 在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
5. 在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)
A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
6. 已知△ABC的面积为32，且b=2，c=，则( )
A．A=30° B．A=60° C．A=30°或150° D．A=60°或120°
7. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B．2 C．4 D.
若△ABC的三个内角满足sinA : sinB: sinC=5:11:13，则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定
9. 在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
11. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
四、典例讲解：
考点一　利用正、余弦定理解三角形
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知ac=b2，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，＝________.
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
（1）求角B的大小；（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．
△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
求；（2）若c2＝b2＋a2，求B.
考点二　利用正、余弦定理判断三角形形状
根据所给条件，判断△ABC的形状．
（1）若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．
若，则△ABC形状为________．
（3）若＝＝，则△ABC形状为________．
（4）在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC形状为________．
2.在△ABC中a,b,c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
（1）求A的大小；
（2）若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
考点三 正、余弦定理的综合应用
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
（1）求的值；
（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.
设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知.
求角B.
求的取值范围.
若b=2，求a+c的取值范围.
在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c分别为三个内角的对边，已知2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC外接圆的半径为.
（1）求角C；
（2）求△ABC的周长L的最大值．
（3）求△ABC的面积S的最大值．
某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
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