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2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）的值是（　　）
A．6 B．±6 C．18 D．±18
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
5．（3分）如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝48°，则∠2的大小为（　　）
A．52° B．48° C．42° D．30°
6．（3分）是关于x，y的二元一次方程2x+ay＝3的一组解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
7．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．一批节能灯管使用寿命的调查
B．对量子科学通信卫星上某种零部件的调查
C．检测武汉市的空气质量
D．对《中国诗词大会》节目收视率的调查
8．（3分）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
9．（3分）如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（3分）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）＝，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．9≤m＜10 B．9≤m＜10 C．9＜m≤10 D．9≤m≤10
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置．
11．（3分）4的平方根是 　 　．
12．（3分）在画频数分布直方图时，一个样本容量为80的样本，最小值为140，最大值为175．若确定组距为4，则分成的组数是　 　．
13．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠BOC：∠COE＝13：4，则∠AOC＝　 　．
14．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　．
15．（3分）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 　 　圈．
16．（3分）若关于x的不等式组的解集中的任意x的值，都能使不等式x﹣3＜0成立，则m的取值范围是 　 　．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）解不等式组．
19．（8分）填空完成推理过程：
如图，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠BCD．
证明：∵∠1＝　 　，
∠1＝∠2（已知）．
∴∠2＝　 　．
∴AB∥CD（ 　 　）．
∴∠B＝∠BCD（ 　 　）．
20．（8分）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．
21．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计图表：
成绩分组统计表
成绩x/分 人数（频数）
第1段 x＜60 2
第2段 60≤x＜70 6
第3段 70≤x＜80 9
第4段 80≤x＜90 a
第5段 90≤x≤100 15
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽样的样本容量为 　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）扇形统计图中，第5段对应的圆心角度数为 　 　；
（3）已知该年级有800名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．
22．（10分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
23．（10分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）证明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝n∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝　 　．
24．（12分）在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b）．若a，b满足（a+b﹣7）2+|a﹣2b+5|＝0．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C（m，n）在直线AB上，且AC＝2BC，求m；
（3）将点A向右平移2个单位到点D，过点D的直线l与x轴垂直，点P为直线l上一动点，且1＜S△ABP≤5，则点P的纵坐标yp的取值范围是 　 　．
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，
故选：B．
2．（3分）的值是（　　）
A．6 B．±6 C．18 D．±18
【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
【解答】解：因为62＝36，
所以．
故选：A．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，然后即可判断哪个选项中的数轴表示该不等式组的解集是正确的．
【解答】解：，
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x＜4，
故原不等式组的解集是﹣3＜x＜4，
故选：D．
4．（3分）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出判断．
【解答】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、＝2，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝48°，则∠2的大小为（　　）
A．52° B．48° C．42° D．30°
【分析】先根据直角三角形的性质得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF＝90°．
∵∠1＝48°，
∴∠D＝90°﹣48°＝42°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝42°．
故选：C．
6．（3分）是关于x，y的二元一次方程2x+ay＝3的一组解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【解答】解：将代入方程得：﹣4+a＝3，
∴a＝7，
故选：C．
7．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．一批节能灯管使用寿命的调查
B．对量子科学通信卫星上某种零部件的调查
C．检测武汉市的空气质量
D．对《中国诗词大会》节目收视率的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．一批节能灯管使用寿命的调查，适合抽样调查，故A选项不合题意；
B．对量子科学通信卫星上某种零部件的调查，适于全面调查，故B选项符合题意；
C．检测武汉市的空气质量，适合抽样调查，故C选项不合题意；
D．对《中国诗词大会》节目收视率的调查，适合抽样调查，故D选项不合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】估计的范围即可．
【解答】解：∵＜＜．
∴3＜＜4．
数轴上在这个范围内的只有点P．
故选：C．
9．（3分）如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，再根据折叠的性质求解即可．
【解答】解：如图，
根据题意得，∠3＝∠1＝40°，
由折叠的性质得，∠3+2∠2＝180°，
∴∠2＝×（180°﹣∠3）＝×140°＝70°，
故选：D．
10．（3分）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）＝，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．9≤m＜10 B．9≤m＜10 C．9＜m≤10 D．9≤m≤10
【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．
【解答】解：①若0＜x＜1，
由得，
解1﹣x＞4，得：x＜﹣3，与0＜x＜1不符，舍去；
②若x≥1，
由得，
解得，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴8≤m﹣1＜9，
解得9≤m＜10，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置．
11．（3分）4的平方根是 　±2　．
【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
12．（3分）在画频数分布直方图时，一个样本容量为80的样本，最小值为140，最大值为175．若确定组距为4，则分成的组数是　9　．
【分析】根据题目中的最大值和最小值，可以计算出极差，然后根据组距是4，即可得到可以分的组数，本题得以解决．
【解答】解：极差是175﹣140＝35，
35÷4＝8…3，
故若确定组距为4，则分成的组数是9，
故答案为：9．
13．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠BOC：∠COE＝13：4，则∠AOC＝　50°　．
【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE＝90°，进而利用∠BOC：∠COE＝13：4，得出∠BOC的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOC：∠COE＝13：4，
设∠BOC＝13x，∠COE＝4x，
则13x﹣4x＝90°，
解得：x＝10°，
故∠BOC＝130°，
则∠AOC＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
14．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
【分析】根据第一个二元一次方程组的解求出m，n的值代入第二个方程组中，求出x，y的值即可，
方法二：也可以通过类比，发现第二个方程组x﹣1＝2，﹣（y+2）＝1，进而求解．
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴，
解这个方程组得，．
解法二：二元一次方程组可转化为，
，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴．
15．（3分）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 　　圈．
【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据“如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
16．（3分）若关于x的不等式组的解集中的任意x的值，都能使不等式x﹣3＜0成立，则m的取值范围是 　m≥﹣　．
【分析】解两个不等式得出x＜﹣2m且x＜，再分﹣2m＜、﹣2m≥两种情况，根据解集中的任意x的值，都能使不等式x﹣3＜0成立列出关于m的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x+2m＜0，得：x＜﹣2m，
解不等式3x+m＜15，得：x＜，
①若﹣2m＜，即m＞﹣3时，﹣2m≤3，
解得m≥﹣，
此时m≥﹣；
②若﹣2m≥，即m≤﹣3时，≤3，
解得m≥6，与m≤﹣3不符，舍去；
故m≥﹣．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝4，即x＝2，
①﹣②得：2y＝﹣2，即y＝﹣1，
则方程组的解为．
18．（8分）解不等式组．
【分析】先解出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得
x＜2，
解不等式②，得
x＜4.5，
故原不等式组的解集是x＜2．
19．（8分）填空完成推理过程：
如图，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠BCD．
证明：∵∠1＝　∠BEC　，
∠1＝∠2（已知）．
∴∠2＝　∠DEC　．
∴AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠B＝∠BCD（ 　两直线平行，内错角相等　）．
【分析】利用平行线的判定推知CE∥BD．然后根据平行线的性质、等量代换推知内错角∠D＝∠ABD，则AC∥DF．
【解答】证明：∵∠1＝∠BEC，
∠1＝∠2（已知）．
∴∠2＝∠DEC．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠BEC；∠BEC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
20．（8分）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝4×2＝8．
答：图中一个小长方形的面积为8．
21．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计图表：
成绩分组统计表
成绩x/分 人数（频数）
第1段 x＜60 2
第2段 60≤x＜70 6
第3段 70≤x＜80 9
第4段 80≤x＜90 a
第5段 90≤x≤100 15
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽样的样本容量为 　50　，a＝　18　，b＝　18　；
（2）扇形统计图中，第5段对应的圆心角度数为 　108°　；
（3）已知该年级有800名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．
【分析】（1）根据第2段的人数和百分比可求出样本容量，进而求出a、b的值，
（2）求出第5段的人数所占的比例乘以360°即可；
（3）第4段、第5段频数的和即可；
（4）求出样本中优秀的所占的百分比即可．
【解答】解：（1）6÷12%＝50（人），
a＝50﹣2﹣6﹣9﹣15＝18，
b%＝9÷50×100%＝18%，
∴b＝18，
故答案为：50，18，18；
（2）360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）800×＝528（人），
答：估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数有528人．
22．（10分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
【分析】（1）设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，根据“建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设建立m个中型图书馆，则建立（10﹣m）个小型图书馆，根据“小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各建立方案，利用总价＝单价×数量可分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，
依题意得：，
解得：．
答：建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元．
（2）设建立m个中型图书馆，则建立（10﹣m）个小型图书馆，
依题意得：，
解得：5≤m≤．
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种建立方案，
方案1：建立5个中型图书馆，5个小型图书馆，该方案所需费用为5×5+3×5＝40（万元）；
方案2：建立6个中型图书馆，4个小型图书馆，该方案所需费用为5×6+3×4＝42（万元）；
方案3：建立7个中型图书馆，3个小型图书馆，该方案所需费用为5×7+3×3＝44（万元）．
∵40＜42＜44，
∴有3种建立方案，方案1所需费用最少．
23．（10分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）证明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝n∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝　n﹣1　．
【分析】利用平行线的判定和性质，将角度进行转化求解．
【解答】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST
（2）∠CAE＝2∠CAN，
理由：作CF∥ST，如图，
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α．
∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α）＝2∠CAN．
即∠DAE＝2∠CAN．
（3）作CF∥ST，如图，设∠CBT＝β，则∠MAE＝2β．
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝∠BCF＝β，
∠ECF＝∠CAN＝﹣β＝，
∠CAF＝180°﹣∠MAE﹣∠CAN＝180°﹣nβ﹣+β＝（180°﹣nβ），
∠CAE：∠CAN＝＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
24．（12分）在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b）．若a，b满足（a+b﹣7）2+|a﹣2b+5|＝0．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C（m，n）在直线AB上，且AC＝2BC，求m；
（3）将点A向右平移2个单位到点D，过点D的直线l与x轴垂直，点P为直线l上一动点，且1＜S△ABP≤5，则点P的纵坐标yp的取值范围是 　﹣6≤yp＜﹣或﹣2＜yp≤　．
【分析】（1）两个非负数的和为零，则这两个数都为零，由（a+b﹣7）2+|a﹣2b+5|＝0得a+b﹣7＝0且a﹣2b+5＝0，列方程组求出a、b的值即可；
（2）连接OC，由AC＝2BC可得S△AOC＝2S△BOC，根据这一相等关系列方程求m的值；
（3）由题意可知，点P到y轴的距离为5，连接OP，用转化法将S△ABP用含yp的代数式表示出来，再列不等式组并且求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）∵（a+b﹣7）2+|a﹣2b+5|＝0，
∴，
解得，，
∴A（3，0），B（0，4）．
（2）∵点C在直线AB上，且AC＝2BC，
∴点C在线段AB上或点C在射线AB上；
∵A（3，0），B（0，4），
∴S△AOB＝×3×4＝6．
如图1，点C在线段AB上，作OH⊥AB于点H，连接OC，
设BC＝r，则AC＝2BC＝2r，
∴＝＝2，
∴S△AOC＝2S△BOC，
∴S△BOC＝S△AOB＝×6＝2，
∵C（m，n），
∴×4m＝2，
解得，m＝1；
如图2，点C在射线AB上，AC＝2BC，则S△AOC＝2S△BOC，
∴S△BOC＝S△AOB＝6，
∴×4×（﹣m）＝6，
解得，m＝﹣3．
综上所述，m的值为1或﹣3．
（3）如图3，点P在直线AB下方，由题意得，1＜S△AOP+S△AOB﹣S△BOP≤5，
由平移得，D（5，0），
∵直线l经过点D，且点P在直线l上，
∴点P的横坐标为5，
∴S△BOP＝×4×5＝10，′
∴1＜×3×（﹣yp）+6﹣10≤5，
解得，﹣6≤yp＜﹣；
如图4，点P和点P′在直线AB上方，则S△BOP﹣S△AOB﹣S△AOP＞1且S△BOP′+S△AOP′﹣S△AOB≤5，
∵S△BOP′＝S△BOP＝10，
∴，
解得﹣2＜yp≤，
综上所述，﹣6≤yp＜﹣或﹣2＜yp≤，
故答案为：﹣6≤yp＜﹣或﹣2＜yp≤．

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