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4.5相似三角形的性质及其应用（2）
教案
课题
4.4相似三角形的性质及其应用（2）
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的性质；2．理解相似三角形的对应线段的比，能应用它解决实
际问题．
重点
关于相似三角形的周长和面积的两个性质.
难点
“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？三角形中的边长放大10倍，周长放大10倍，角度不变，面积放大100倍．相似三角形有哪些性质？
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、两个相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.3、两个相似三角形的对应中线之比等于相似比.4、两个相似三角形的对应高线之比等于相似比.在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面
的问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)1、两个相似三角形的相似比是多少？两个相似三角形的周长比是多少？3、两个相似三角形的面积比是多少？4、两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？已知:ΔABC∽ΔA’B’C’，相似比为k,求证:
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)二、提炼概念归纳相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方
几何语言：∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
思考自议运用相似三角形的性质导出相似三角形的周长和面
积与相似比的关系；
运用转化思想，把三角形的周长比、面积比转化为
相似比、相似比的平方．
讲授新课
三、典例精讲
例3:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10
000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。例4:如图,在△ABC中，作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？
掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
学生根据前面学的知识，进行验证，并总结归纳，增强学生观察和解决问题的能力。
课堂检测
巩固训练如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是
(　
　)
A.＝
B.＝C.＝
D.＝答案B2．如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.【解析】
相似三角形对应边的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．1∶3，1∶3，1∶33.　如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，＝，S△ABC＝S，求S?BFED.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由＝，得＝.∵＝，∴＝.∴＝()2＝，即S△ADE＝S.＝()2＝，即S△CEF＝S.∴S?BFED＝S－S－S＝S.4.　如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？解：
设正方形的边长为x
mm，∵PN∥BC.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴＝，解得x＝48.答：加工成的正方形零件的边长为48
mm.
课堂小结
1．相似三角形的周长的性质定理：相似三角形的周长之比等于___________．2．相似三角形的面积的性质定理：相似三角形的面积之比等于_____________．3．相似三角形对应线段的性质性质：相似三角形对应高的比等于__________．相似比，相似比的平方，相似比注意：(1)相似三角形周长的比值与面积的比值不同，一个是等于相似比，另一个是等于相似比的平方．(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似比等于面积的比的算术平方根．
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4.5相似三角形的性质及其应用（2）
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？
三角形中的边长放大10倍，周长放大10倍，角度不变，面积放大100倍．
相似三角形有哪些性质？
4、两个相似三角形的对应高线之比等于相似比.
2、两个相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.
3、两个相似三角形的对应中线之比等于相似比.
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
合作学习
在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面
的问题：
1、两个相似三角形的相似比是多少？
2、两个相似三角形的周长比是多少？
B/
C/
A/
B
A
C
D
D/
3、两个相似三角形的面积比是多少？
4、两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？
相似三角形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
求证:
已知:ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为k,
证明：∵△ABC∽△A/B/C/且相似比为k
∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/
证明：作BC、B/C/边上的高AD、A/D/
∵△ABC∽△A/B/C/
提炼概念
归纳
相似三角形的周长比等于相似比;
相似三角形的面积比等于相似比的平方
几何语言：
∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
典例精讲
例3:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10
000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。
答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7cm，实际面积为2.7cm2.
解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
课堂练习
1．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是
(　
　)
B
课堂练习
2．如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.
【解析】
相似三角形对应边的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
1∶3
1∶3
1∶3
【点悟】(1)此类问题一般利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解．(2)把所求图形的面积转化为三角形面积的和(或差)来计算．
4.如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？
解：
设正方形的边长为x
mm，
∵PN∥BC.
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.
【点悟】
运用数学知识解决问题时，首先应读懂题意，从问题中抽象出几何图形，然后运用所学的知识求出结论或列出有关未知数的方程．
课堂小结
1．相似三角形的周长的性质
定理：相似三角形的周长之比等于___________．
2．相似三角形的面积的性质
定理：相似三角形的面积之比等于_____________．
3．相似三角形对应线段的性质
性质：相似三角形对应高的比等于__________．
相似比
相似比的平方
注意：(1)相似三角形周长的比值与面积的比值不同，一个是等于相似比，另一个是等于相似比的平方．
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似比等于面积的比的算术平方根．
相似比
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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4.5相似三角形的性质及其应用（2）
学案
课题
4.5相似三角形的性质及其应用（2）
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的性质；2．理解相似三角形的对应线段的比，能应用它解决实
际问题．
重点
关于相似三角形的周长和面积的两个性质.
难点
“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】相似三角形有哪些性质？
在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面
的问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)1、两个相似三角形的相似比是多少？两个相似三角形的周长比是多少？3、两个相似三角形的面积比是多少？归纳：两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？归纳：相似三角形周长比和面积比的性质：
；
。
新知讲解
提炼概念已知:ΔABC∽ΔA’B’C’，相似比为k,求证:
归纳几何语言：∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k∴
，
。典例精讲
例3:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10
000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。例4:如图,在△ABC中，作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？
课堂练习
巩固训练如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是
(　
　)
A.＝
B.＝C.＝
D.＝2．如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.3.　如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，＝，S△ABC＝S，求S?BFED.4.　如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？答案：引入思考归纳相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方
提炼概念典例精讲
例3
例4巩固训练
1.答案B2.
1∶3，1∶3，1∶33.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由＝，得＝.∵＝，∴＝.∴＝()2＝，即S△ADE＝S.＝()2＝，即S△CEF＝S.∴S?BFED＝S－S－S＝S.4.解：
设正方形的边长为x
mm，∵PN∥BC.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴＝，解得x＝48.答：加工成的正方形零件的边长为48
mm.
课堂小结
1．相似三角形的周长的性质定理：相似三角形的周长之比等于___________．2．相似三角形的面积的性质定理：相似三角形的面积之比等于_____________．3．相似三角形对应线段的性质性质：相似三角形对应高的比等于__________．相似比，相似比的平方，相似比注意：(1)相似三角形周长的比值与面积的比值不同，一个是等于相似比，另一个是等于相似比的平方．(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似比等于面积的比的算术平方根．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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