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第02讲
常用逻辑用语
考情分析
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)
　名称形式　　
全称命题
存在性命题
结构
对M中的所有x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，p(x)
[方法技巧]
1.区别A是B的充分不必要条件(A?B且B
A)，与A的充分不必要条件是B(B?A且AB)两者的不同.
2.A是B的充分不必要条件?綈B是綈A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
经典例题
考点一　充分条件与必要条件的判断
【例1-1】（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】
若，则，推不出；若，则必成立，
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
【例1-2】（2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
【跟踪训练1】（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【跟踪训练2】（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
【跟踪训练3】（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（
）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
规律方法　充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
考点二　全称量词与存在量词　
【例2-1】（2011·辽宁高考真题（文））已知命题，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果
所以命题的否定为
【例题2-2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））命题“，总有”的否定是（
）
A．，总有
B．，总有
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【详解】
由全称命题的否定可知，命题“，总有”的否定是“，使得”.
故选：D.
【跟踪训练1】（2021·重庆高三其他模拟）已知命题，则命题为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，
命题：.
故选：C
【跟踪训练2】（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））下列命题中，真命题是（
）
A．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题是真命题
B．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”
C．“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件
D．对任意x∈R，ex+e-x≥2
【答案】D
【详解】
选项A：因为命题“若sinx=siny，则x=y”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，选项A错误；
选项B：命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2<0”，所以选项B错误；
选项C：若，则成立；而若，则或，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，所以选项C错误；
选项D：因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以选项D正确.
故选：D.
【跟踪训练3】（2021·全国高三其他模拟）命题“”的否定（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为原命题“”，所以其否定为“”，
故选：D.
规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
考点三　充分条件、必要条件的应用　
【例3-1】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】
由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
故答案为：
【跟踪训练1】（2020·吴江盛泽中学高三其他模拟）“≥3”是“函数在区间上单调递增”的________条件．（填充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）
【答案】既不充分又不必要
【详解】
因为函数在区间上单调递增，所以，可得，
所以“≥3”是“函数在区间上单调递增”的既不充分又不必要条件．
【跟踪训练2】（2020·全国高三专题练习（文））若关于的不等式成立的充要条件是，则______.
【答案】2
【详解】
因为是不等式成立的充分条件，
所以，
因为是不等式成立的必要条件，
所以，
故.
【跟踪训练3】（2020·河南信阳市·罗山县教学研究室高三其他模拟（文））已知，，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
，
，因为“若则”假，“若则”真，所以为的充分不必要条件，
所以为的充分不必要条件，所以
，
所以有或，（或写成（等号不能同时成立））解得.
规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
[思维升华]
1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法
(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；
①若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.
课时作业
1．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
2．设，则“成立”是“成立”的（
）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3．若，，直线：，圆：．命题：直线与圆相交；命题：．则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
直线：，圆：，
命题为真：即直线与圆相交，则，
即.
当命题成立时，即，则成立，
命题成立，是的必要条件；
而当命题成立时，取，此时命题不成立，
不是的充分条件.
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
令，，
可得当时，；当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，所以，所以，即，所以；
可得当，时，可得，可得，而，
综上可得当实数，时，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．“直线与直线平行”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
当直线与直线平行,
，
解得或，
当，直线和直线重合，舍去，所以.
根据充分条件、必要条件的定义可得，
“直线与直线平行”是“”的充分必要条件
故选：C
6．已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
若，则，即，所以，数列为递增数列，
若，，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．已知，则“”是“在内单调递增”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为在内单调递增，
则对任意的恒成立，即，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
因为，因此，“”是“在内单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
8．已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
令，，
可得当时，；当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，所以，所以，即，所以；
可得当，时，可得，可得，而，
综上可得当实数，时，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
9．“”是“方程表示圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
方法一：因为方程表示圆，，
所以，解得
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
方法二：方程表示圆，
即表示圆，则需，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
10．命题对任意，，则命题的否定是（
）
A．当时，
B．存在，使得
C．存在，使得
D．当时，
【答案】B
【详解】
由全称命题的否定可知，命题的否定为：存在，使得.
故选：B.
11．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为，
得，所以
，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.
12．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题.
13．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
由题意知“”为真命题，
所以，解得0＜a＜3．
14．已知命题，则该命题是_____________（填“真命题”或“假命题”）.
【答案】假命题
【详解】
当时，，所以命题为假命题.
15．能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.
【答案】，（答案不唯一）
【详解】
解：当，，可得，
①当，同号时，可得，
②当，异号时，.
故取整数，满足即可．
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精品试卷·第
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第02讲
常用逻辑用语
考情分析
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)
　名称形式　　
全称命题
存在性命题
结构
对M中的所有x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，p(x)
[方法技巧]
1.区别A是B的充分不必要条件(A?B且B
A)，与A的充分不必要条件是B(B?A且AB)两者的不同.
2.A是B的充分不必要条件?綈B是綈A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
经典例题
考点一　充分条件与必要条件的判断
【例1-1】（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】
若，则，推不出；若，则必成立，
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
【例1-2】（2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
【跟踪训练1】（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【跟踪训练2】（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练3】（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（
）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
规律方法　充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
考点二　全称量词与存在量词　
【例2-1】（2011·辽宁高考真题（文））已知命题，则为（
）
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果
所以命题的否定为
【例题2-2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））命题“，总有”的否定是（
）
A．，总有
B．，总有
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【详解】
由全称命题的否定可知，命题“，总有”的否定是“，使得”.
故选：D.
【跟踪训练1】（2021·重庆高三其他模拟）已知命题，则命题为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））下列命题中，真命题是（
）
A．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题是真命题
B．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”
C．“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件
D．对任意x∈R，ex+e-x≥2
【跟踪训练3】（2021·全国高三其他模拟）命题“”的否定（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
考点三　充分条件、必要条件的应用　
【例3-1】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】
由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
故答案为：
【跟踪训练1】（2020·吴江盛泽中学高三其他模拟）“≥3”是“函数在区间上单调递增”的________条件．（填充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）
【跟踪训练2】（2020·全国高三专题练习（文））若关于的不等式成立的充要条件是，则______.
【跟踪训练3】（2020·河南信阳市·罗山县教学研究室高三其他模拟（文））已知，，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
，
，因为“若则”假，“若则”真，所以为的充分不必要条件，
所以为的充分不必要条件，所以
，
所以有或，（或写成（等号不能同时成立））解得.
规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
[思维升华]
1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法
(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；
①若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.
课时作业
1．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设，则“成立”是“成立”的（
）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若，，直线：，圆：．命题：直线与圆相交；命题：．则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．“直线与直线平行”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知，则“”是“在内单调递增”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．“”是“方程表示圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．命题对任意，，则命题的否定是（
）
A．当时，
B．存在，使得
C．存在，使得
D．当时，
11．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
13．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．
14．已知命题，则该命题是_____________（填“真命题”或“假命题”）.
15．能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.
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精品试卷·第
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