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第01讲
集合
考情分析
1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A?B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
[方法技巧]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
经典例题
考点一　集合的基本概念
【例题1-1】已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
【例题1-2】设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
【跟踪训练1】已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二　集合间的基本关系
【例题2-1】已知集合，，则的子集个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由已知可得，因此，的子集个数为.
故选：B.
【例题2-2】集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
【跟踪训练1】定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（
）
A．12
B．14
C．15
D．16
【跟踪训练2】已知集合，则集合的真子集的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.若B?A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考点三　集合的运算　
【例题3-1】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，故选A.
【例题3-2】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：因为，
，
所以．
故选：D．
【跟踪训练1】已知集合则=（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】设全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
[思维升华]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时作业
1．已知集合，，则集合等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，1，2}
D．{1，2}
3．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知集合，，且，则（
）
A．{1，2}
B．{0，1，2}
C．{-1，0，1，2}
D．{-1，0，1，2，3}
6．已知集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
7．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知集合，，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．且
D．
9．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．若集合，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
13．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
15．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（
）
A．
B．
C．
D．
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精品试卷·第
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第01讲
集合
考情分析
1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A?B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
[方法技巧]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
经典例题
考点一　集合的基本概念
【例题1-1】已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
【例题1-2】设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
【跟踪训练1】已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意得：，
有个子集，中的元素个数为个；
，，即，或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
【跟踪训练2】设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意，集合，
又由，根据集合交集的概念及运算，可得.
故选：B.
【跟踪训练3】已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二　集合间的基本关系
【例题2-1】已知集合，，则的子集个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由已知可得，因此，的子集个数为.
故选：B.
【例题2-2】集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
【跟踪训练1】定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（
）
A．12
B．14
C．15
D．16
【答案】B
【详解】
，所以集合的非空真子集的个数为，
故选：B.
【跟踪训练2】已知集合，则集合的真子集的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，
故选：A.
【跟踪训练3】已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：，，
，，，，
故选：．
规律方法　1.若B?A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考点三　集合的运算　
【例题3-1】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，故选A.
【例题3-2】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：因为，
，
所以．
故选：D．
【跟踪训练1】已知集合则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
所以，
故选：B.
【跟踪训练2】设全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，，
，.
故选：C.
【跟踪训练3】设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由；；
则
故选：A
规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
[思维升华]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时作业
1．已知集合，，则集合等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由不等式，可得，即集合，
又由集合，可得.
故选：C.
2．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，1，2}
D．{1，2}
【答案】D
【详解】
集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
3．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题设可得，故，
故选：B.
4．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题可知，，
又，
所以.
故选：D
5．已知集合，，且，则（
）
A．{1，2}
B．{0，1，2}
C．{-1，0，1，2}
D．{-1，0，1，2，3}
【答案】C
【详解】
，而，所以，则，所以，则
故选：C.
6．已知集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为，且
，所以.
7．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，，所以，
故选：D.
8．已知集合，，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．且
D．
【答案】A
【详解】
，解得：，
即，
，解得：，即，
满足，，且，
只有A正确.
故选：A
9．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为，
，所以．
故选C．
10．设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
集合，
集合或，
则，，故选C.
11．若集合，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意，得，所以．
故选：D
12．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，由于，所以，故
所以
，
则或，
故或，
故选：B.
13．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵，，
∴．
故选：C．
14．已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】A
【详解】
因为或，所以或.
故选：A.
15．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
若①错，则，，，
有两种情况：，，，，
或，，，，；
若②错，则，，互相矛盾，故②对；
若③错，则，，，
有三种情况：，，，，；
，，，，；
，，，，；
若④错，则，，，
只有一种情况：，，，，
所以
故选：C
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