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第03讲
基本不等式
考情分析
1.
掌握均值不等式≤(a，b≥0)和基本不等式的性质；
2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识梳理
1.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).
2.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
3.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
4.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
6.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a?
{x|b8.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[方法技巧]
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b?<.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
经典例题
考点一　不等式的性质
【典例1-1】
（2021·广东高三其他模拟）已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（
）
A．ab＞cd
B．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bc
D．
【答案】C
【详解】
若,此时，，.A、B、D错误.
因为，所以，又因为，所以，C正确.
故选C.
【典例1-2】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）若，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，所以取，
则，，显然，故可排除选项A和B；
又，故可排除选项C.
【跟踪训练1】（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知a，b，c为正数，且满足abc=1，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．若0D．
【跟踪训练2】（多选）（2021·广东高三其他模拟）已知，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二　利用均值不等式
【例2-1】（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（
）
A．9
B．5
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，
故平面，
所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，
取中点，连接，，则，
∴，，，四点共面，
∴点的轨迹即为等腰梯形，
由正方体棱长为2得，，
故轨迹长度为.
【典例2-2】（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，且，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立，故的最小值．
【跟踪训练1】（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（多选）（2021·河北高三其他模拟）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】（多选）（2021·全国高三二模）已知正数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
考点三　一元二次不等式的解法　
【例3-1】（2021·全国高三其他模拟）已知p：；q：，则p是q的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为，
又因为?x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，
当时，满足题意；
当时，即，综上；
所以，但，故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
【典例3-2】（2021·全国高三其他模拟）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由，得或，故，
由，得．故，
所以，
故选:
A
【跟踪训练1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（多选）（2021·河北衡水中学高三三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
【跟踪训练3】（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值是________．
【跟踪训练4】（2021·全国高三二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
[方法技巧]
1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
3.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
5.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别.
6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
课时作业
1．已知，则的最小值是（
）
A．1
B．4
C．7
D．
2．已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且其中，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（
）
A．6
B．-2
C．1
D．4
4．已知函数，其中，则下列不等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，且，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（
）
A．ac+bd>ad+bc
B．ac+bdC．ac>bd
D．ac7．若，，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如果那么下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．设则
（
）
A．对
B．错
10．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知集合，集合满足，且，则的解集为（
）
A．或
B．
C．或
D．
12．已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15．下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
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精品试卷·第
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第03讲
基本不等式
考情分析
1.
掌握均值不等式≤(a，b≥0)和基本不等式的性质；
2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识梳理
1.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).
2.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
3.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
4.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
6.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a?
{x|b8.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[方法技巧]
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b?<.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
经典例题
考点一　不等式的性质
【典例1-1】
（2021·广东高三其他模拟）已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（
）
A．ab＞cd
B．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bc
D．
【答案】C
【详解】
若,此时，，.A、B、D错误.
因为，所以，又因为，所以，C正确.
故选C.
【典例1-2】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）若，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，所以取，
则，，显然，故可排除选项A和B；
又，故可排除选项C.
【跟踪训练1】（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知a，b，c为正数，且满足abc=1，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．若0D．
【答案】ABD
【详解】
因为，，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，得，
所以，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD
【跟踪训练2】（多选）（2021·广东高三其他模拟）已知，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
因为，可得，所以，所以A正确；
又由函数为单调递减函数，所以，所以B错误；
由，，所以，所以C项正确；
由，所以，
当且仅当，时等号成立，所以D项正确.
故选：ACD.
规律方法　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二　利用均值不等式
【例2-1】（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（
）
A．9
B．5
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，
故平面，
所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，
取中点，连接，，则，
∴，，，四点共面，
∴点的轨迹即为等腰梯形，
由正方体棱长为2得，，
故轨迹长度为.
【典例2-2】（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，且，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立，故的最小值．
【跟踪训练1】（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
D因为直四棱柱的底面是菱形，菱形的四个顶点在球上，
所以底面是正方形.
设直四棱柱底面正方形的边长为a，侧棱长为h，
由侧面积是，得，即，
且该直四棱柱的外接球的半径，
所以其外接球的表面积，
(当且仪当，即a=，时等号成立).
所以其外接球的表面积的最小值为.
故选：D
【跟踪训练2】（多选）（2021·河北高三其他模拟）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
对A：当时，，即，故A错误；
对B：因为，，所以，即，由于在R上单调递减，所以，故B正确；
对C：当时，，，又由于在R上单调递增，所以，即，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：BD.
【跟踪训练3】（多选）（2021·全国高三二模）已知正数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
因为正数，满足，所以，且，，
所以，对于A选项，又可得，
所以，即，故B正确；当时，
，故C错误；因为，所以，
所以，故D正确，所以选ABD.
规律方法　在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
考点三　一元二次不等式的解法　
【例3-1】（2021·全国高三其他模拟）已知p：；q：，则p是q的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为，
又因为?x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，
当时，满足题意；
当时，即，综上；
所以，但，故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
【典例3-2】（2021·全国高三其他模拟）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由，得或，故，
由，得．故，
所以，
故选:
A
【跟踪训练1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解得，即，
解得，即，
于是有，
所以.
故选：B
【跟踪训练2】（多选）（2021·河北衡水中学高三三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
【答案】ABC
【详解】
由己知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
【跟踪训练3】（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值是________．
【答案】
【详解】
由已知得，，则，，
因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是.
【跟踪训练4】（2021·全国高三二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题.
[方法技巧]
1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
3.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
5.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别.
6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
课时作业
1．已知，则的最小值是（
）
A．1
B．4
C．7
D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
2．已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且其中，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意，建立如图所示平面直角坐标系：
则，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选；A.
3．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（
）
A．6
B．-2
C．1
D．4
【答案】D
【详解】
令，解得，
所以，
因为点A在双曲线上，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以m-n的最大值为4
故选：D
4．已知函数，其中，则下列不等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，，且，函数是开口向上的抛物线，
如图，
，，且
是点对应的函数值，一定大于，即，故正确；
设，
，，
即，即B不正确.
，
对称轴是，
与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，
那么比较与，的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值越大，即，
，故CD正确.
故选：B
5．已知，，且，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：A：当，时，，∴A错误，
B：设，则函数为上的增函数，
∵，∴，即，∴B错误.
C：∵为上的减函数，，∴，即，∴C正确，
D：当，时，，∴D错误.
故选：C.
6．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（
）
A．ac+bd>ad+bc
B．ac+bdC．ac>bd
D．ac【答案】A
【详解】
解：对于A、B：
a>b，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
7．若，，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
对选项A，，因为，
所以，，即，所以，故A错误；
对选项B，，
因为，所以，不能判断间的关系，故B不正确；
对选项C，因为，所以的范围为，故C错误.
对选项D，因为，所以，，
因为
，所以，
又因为，所以在为增函数，所以，故D正确.
故选：
D.
8．如果那么下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．
故选：D．
9．设则
（
）
A．对
B．错
【答案】A
【详解】
.
故选：A
10．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵且，
∴，即.
令，得：，
∴，所以.
故选：C
11．已知集合，集合满足，且，则的解集为（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】C
【详解】
因为集合满足，且，
所以，所以，
所以不等式的解集为或，
故选：C
12．已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
同理可得，故，
故选：C.
13．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：设，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
因为点为线段的中点，
所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故.
所以的最大值为.
14．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
15．下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
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精品试卷·第
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