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第04讲
函数的概念
考情分析
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
知识梳理
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
[微点提醒]
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
经典例题
考点一　求函数的定义域
【典例1-1】（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得解得或.
所以原函数的定义域为.
故选：C.
【典例1-2】（2020·福建福州市·高三月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．
故选：C
【跟踪训练1】（2021·广东高三其他模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
函数的定义域为，即，
函数的定义域为，则，
所以，
故选：C.
【跟踪训练2】（2021·全国高三其他模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：由题意可得，解得．
因为有定义，所以当时，由，得；
当时，由，得；
当时，，恒成立．
综上，实数的取值范围是．
故选：D．
【跟踪训练3】（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）函数的图象大致为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减，
则有g(x)在(0,)上单调递增，而，
所以存在使得，
中，排除C、D，
∵时，排除B，所以选A.
考点二　求函数的解析式
【典例2-1】（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））函数可以表示为奇函数与偶函数的和，则等于（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
是奇函数，，
是偶函数，，
由题可得①，
则，即②，
由①+②可得，
，.
故选：D.
【典例2-2】（2020·河南高三月考（理））已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
令，则，，
因为，
所以，，
即当时，，
取，则，，
当时，，此时无解；
当时，，此时无解；
当时，，
若，则，解得，
故即，解得，实数的取值范围为，
故选：B.
【跟踪训练1】（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三期中（理））已知，则的值为（　　）
A．15
B．7
C．31
D．17
【答案】C
【详解】
令，则，所以即，
所以.
故选：C．
【跟踪训练2】（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得三次函数过两点，，所以可设
又，所以
【跟踪训练3】（2020·全国高三专题练习）已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
设，则，，
所以，
即.
规律方法　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
考点三　分段函数　
【典例3-1】（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因函数在R上单调递增，
则有在上递增，在上也递增，
根据增函数图象特征知，点不能在点上方，
于是得
，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【典例3-2】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数，则（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【详解】
由题意．
故选：D．
【跟踪训练1】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
【跟踪训练2】（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数，且，则（
）
A．﹣16
B．16
C．26
D．27
【答案】C
【详解】
解：若f(m)=3m﹣1﹣1=﹣2，
则3m﹣1=﹣1，方程无解，
故f(m)=﹣1﹣log3(m+5)=﹣2，
可得log3(m+5)=1，
解得m=﹣2，
所以f(6+m)=f（4）=34﹣1﹣1=26.
故选：C.
【跟踪训练3】（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．无数
【答案】C
【详解】
作出f（x）的函数图象如图所示：
表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零.
如图所示，动点在直线上运动.
因为,
当时，只有点这个点满足，
当时，只有点这个点满足.
所以.
所以满足条件的整数有4个.
规律方法　1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[方法技巧]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
[易错防范]
1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
课时作业
1．已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意，，所以.
故选：A.
2．已知，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（
）
A．5
B．6
C．3
D．2
【答案】C
【详解】
由题意，，所以．
故选：C．
3．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
根据题意可得，所以.
故选：C.
4．下列各组函数是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【详解】
对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；
对于C中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以两函数是同一函数；
对于D中，函数与，两函数的对应法则不同，所以两函数不是同一函数.
故选：C.
5．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
令，
，
则.
故选：C.
6．已知，则（
）
A．
B．
C．9
D．
【答案】C
【详解】
由题意，函数，可得，
所以.
故选：C.
7．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
依题意的定义域为，由此排除CD选项.
当时，，由此排除A选项.
故选：B
8．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．-1
D．1
【答案】D
【详解】
因为，，
所以.
9．若，，则的值为（
）
A．1
B．3
C．
D．6
【答案】B
【详解】
由题设，令，解得：，
，
，
故选：B.
10．已知函数，若，，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据图象有两个交点，，，
，，
时，，令，，故，所以；
时，，令，，故，根据题意，所以
所以，．
11．设函数为偶函数，且当时，当时，则（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】
为偶函数，知：，而
∴
12．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为
13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以是上的奇函数.
当时，，
所以当时，，
从而的值域为.
故选：B
14．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由，得，于是
.
又当时，，所以，
所以.
故选：D.
15．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由可得关于对称，因为，则关于对称，
所以关于对称，且，得，．则图象如下图所示，
则，，，所以，
令，则，
令，则，
由得；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以．
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函数的概念
考情分析
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
知识梳理
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
[微点提醒]
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
经典例题
考点一　求函数的定义域
【典例1-1】（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得解得或.
所以原函数的定义域为.
故选：C.
【典例1-2】（2020·福建福州市·高三月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．
故选：C
【跟踪训练1】（2021·广东高三其他模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（2021·全国高三其他模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）函数的图象大致为(
)
A．
B．
C．
D．
考点二　求函数的解析式
【典例2-1】（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））函数可以表示为奇函数与偶函数的和，则等于（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
是奇函数，，
是偶函数，，
由题可得①，
则，即②，
由①+②可得，
，.
故选：D.
【典例2-2】（2020·河南高三月考（理））已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
令，则，，
因为，
所以，，
即当时，，
取，则，，
当时，，此时无解；
当时，，此时无解；
当时，，
若，则，解得，
故即，解得，实数的取值范围为，
故选：B.
【跟踪训练1】（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三期中（理））已知，则的值为（　　）
A．15
B．7
C．31
D．17
【跟踪训练2】（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（
）．
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】（2020·全国高三专题练习）已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
考点三　分段函数　
【典例3-1】（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因函数在R上单调递增，
则有在上递增，在上也递增，
根据增函数图象特征知，点不能在点上方，
于是得
，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
【典例3-2】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数，则（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【详解】
由题意．
故选：D．
【跟踪训练1】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数，且，则（
）
A．﹣16
B．16
C．26
D．27
【跟踪训练3】（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．无数
规律方法　1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[方法技巧]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
[易错防范]
1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
课时作业
1．已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（
）
A．5
B．6
C．3
D．2
3．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列各组函数是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则（
）
A．
B．
C．9
D．
7．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．-1
D．1
9．若，，则的值为（
）
A．1
B．3
C．
D．6
10．已知函数，若，，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
11．设函数为偶函数，且当时，当时，则（
）
A．
B．
C．
D．2
12．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
15．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（
）
A．
B．
C．
D．
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