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第05讲-函数的单调性与最值
考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
[微点提醒]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
经典例题
考点一　确定函数的单调性(区间)
【典例1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据题意可得函数在上为增函数，
由可得，
对A，由在上为增函数，且，
所以，故A正确；
对B，由，，故B正确；
对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；
对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.
故选：D
【典例1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
【跟踪训练1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二　求函数的最值　
【典例2-1】（2021·江苏高三专题练习）函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（
）
A．或2
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据题意，，且，由的单调性，可知其在上是单调递增函数或单调递减函数，总是在和2时，取得两个最值，即，即或
当方程成立，即，判别式，该方程无实数解；
当方程成立，即，解得（舍去），
故选：B．
【典例2-2】（2020·上海高三一模）设，，若，则的（
）
A．最小值为8
B．最大值为8
C．最小值为2
D．最大值为2
【答案】A
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，，
则，
故当时，最小，，
故选：A.
【跟踪训练1】（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【跟踪训练2】（2020·广东揭阳市·高三期中）已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(3，)，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间[，2]上的最小值是（
）
A．－1
B．0
C．－2
D．
【跟踪训练3】（2020·河北邢台市·高三其他模拟（理））函数在上的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
规律方法　求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三　函数单调性的应用
【典例3-1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：令，则，
∵，
∴，
∵，
∴是R上的奇函数，
∴可化为，
又∵，
所以在R上是减函数，
∴，解得，，
故选：A．
【典例3-2】（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：是上的减函数，是上的减函数，
是上的减函数，
，，，
，
．
故选：．
【跟踪训练1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三二模（理））下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0
，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
课时作业
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
4．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．0
D．
10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（
）
A．3
B．
C．1
D．2
11．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在的最大值和最小值．
12．已知函数
（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；
（2）证明在区间存在两个不同的零点，且
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精品试卷·第
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第05讲-函数的单调性与最值
考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
[微点提醒]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
经典例题
考点一　确定函数的单调性(区间)
【典例1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据题意可得函数在上为增函数，
由可得，
对A，由在上为增函数，且，
所以，故A正确；
对B，由，，故B正确；
对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；
对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.
故选：D
【典例1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
【跟踪训练1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以或，
因为在上单调递增，且，
所以，
因为在上为奇函数，
所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.
故选：C.
【跟踪训练2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，
故不等式的解集为.
故选：A．
规律方法　1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二　求函数的最值　
【典例2-1】（2021·江苏高三专题练习）函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（
）
A．或2
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据题意，，且，由的单调性，可知其在上是单调递增函数或单调递减函数，总是在和2时，取得两个最值，即，即或
当方程成立，即，判别式，该方程无实数解；
当方程成立，即，解得（舍去），
故选：B．
【典例2-2】（2020·上海高三一模）设，，若，则的（
）
A．最小值为8
B．最大值为8
C．最小值为2
D．最大值为2
【答案】A
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，，
则，
故当时，最小，，
故选：A.
【跟踪训练1】（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【详解】
由得，故函数的定义域为
，
易知函数在上单调递增，
所以，
解得
故选：B.
【跟踪训练2】（2020·广东揭阳市·高三期中）已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(3，)，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间[，2]上的最小值是（
）
A．－1
B．0
C．－2
D．
【答案】A
【详解】
由题设，
故在上单调递增，
则当时取最小值，
故选：A
【跟踪训练3】（2020·河北邢台市·高三其他模拟（理））函数在上的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】
函数，
函数在区间上是增函数，
所以函数的最大值为：.
规律方法　求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三　函数单调性的应用
【典例3-1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：令，则，
∵，
∴，
∵，
∴是R上的奇函数，
∴可化为，
又∵，
所以在R上是减函数，
∴，解得，，
故选：A．
【典例3-2】（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：是上的减函数，是上的减函数，
是上的减函数，
，，，
，
．
故选：．
【跟踪训练1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，
则，
因为任意满足，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故等价于，解得.
故选：D
【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三二模（理））下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
A选项中，，则函数是单调递减函数，不符合题意；B选项中，定义域为不关于原点对称，不符合题意；C选项中，因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；D选项中，函数，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，又因为，由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增，满足题意.
故选：D．
【跟踪训练3】（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为是上的奇函数，
所以由得，
又因为在上单调递减，所以，解得，
即.
因为在单调递增，
所以在上的最小值为.
规律方法　1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0
，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
课时作业
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
2．设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，
故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解可得，，
故解集为
故选：．
3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
【答案】D
【详解】
解：设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，
由，得，即，
所以，
因为在[0，+∞）单调递增，
所以，两边平方得，
解得，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D
4．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C?D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）故选：D.
5．已知函数，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，
所以，即为偶函数，
当时，单调递增，且，
可得，即，
所以，即.
所以，解得.
故选：D.
6．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
7．已知函数，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
显然，函数是定义域为的偶函数.
当时，，所以是减函数，且；
所以当时，是增函数，且.
因此，当或时，；当时，.
所以，或
或
或.
故的解集为.
8．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意，对于任意，都有成立，
所以即对于任意恒成立，
所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，
当时，在上单调递减，
则，解得，不合题意；
当时，在上单调递增，
则，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上，.
故选：D.
9．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【详解】
因为时，为单调递减函数，
又因为函数为偶函数，
所以当时，为单调递增函数，
所以,
则，即，
由区间的定义可知，即，
由于最大值为，故显然不恒成立；
若，所以，
即，所以，解得
，
故b的最大值为.
故选：B
10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（
）
A．3
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，
令，则．易知在上是增函数，所以．
因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去．
综上，，
故选：D．
11．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在的最大值和最小值．
【详解】
解：（1）因为，且，
所以，解得，
（2）函数在上为减函数，证明如下：
任取，且，则
因为，且，所以，，
所以，即，
所以函数在上为减函数，
（3）由（2）可知在上为减函数，
所以当时，函数取得最大值，即，
当时，函数取得最小值，即
12．已知函数
（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；
（2）证明在区间存在两个不同的零点，且
【详解】
（1）证明：任取且
则
，又
即
所以函数在(0，2)上单调递减.
（2）证明：由（1）利用定义法可证函数在上单调递增；
又
，
分别在内有零点，
即有两个零点，记为，
且
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精品试卷·第
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