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第06讲-函数的奇偶性与周期性
考情分析
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
经典例题
考点一　判断函数的奇偶性
【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为，
因为，
所以是奇函数，
，
令为增函数，
也是增函数，
所以是增函数.
故D正确.
故选：D.
【典例1-2】已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
当时，，由奇函数的性质知，
，，函数单调递减；
又，，
则
由函数单减知，
故选：D
【跟踪训练1】偶函数满足，且在时，，则（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为函数是偶函数，，
所以=
f(x)
所以函数的周期为1，
所以.
故选：A.
【跟踪训练2】设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，
故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解可得，，
故解集为
故选：．
【跟踪训练3】设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二　函数的周期性及其应用
【典例2-1】已知函数的定义域为，且满足，且，，则（
）．
A．2021
B．1
C．0
D．
【答案】C
【详解】
令，则，
故，
故，（舍）
令，则，
故．
∴，
即，
故的周期为4，即是周期函数．
∴．
故选：C．
【典例2-2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【跟踪训练1】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】
∵，则函数是周期的周期函数．
又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，
∴当时，，
令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，
分别作出函数和的图象，如下图，
显然与在上有1个交点，在上有一个交点，
当时，，而，
所以或时，与无交点．
综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．
故选：A
【跟踪训练2】已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【详解】
解：∵是R上的奇函数，且，
∴，
∴，
∴的周期为2，
∴，
且，
∴.
【跟踪训练3】已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（
）
A．3
B．
C．
D．5
【答案】A
【详解】
由条件可知，，且，
即，即，
那么，所以函数是周期为4的函数，
.
故选：A
规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三　函数性质的综合运用
【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：对于A：，，故A错误；
对于B：，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：，则，故C错误；
对于D：，，且，即为偶函数，满足条件；
故选：D
【典例3-2】函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
根据题意，，必有，则有，
在区间上，有，排除C，
在区间上，，，，排除BD.
故选：A.
【跟踪训练1】已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】
解：因为为奇函数，即，
因为对任意，，
所以，
当时，，
所以，
所以，则.
故选：C.
【跟踪训练2】已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意，是定义在，上的偶函数，则有，则，
同时，即，则有，必有，
则，其定义域为，，
则，设，若，则有，
在区间，上，且为减函数，
在区间，上为增函数，
则在，上为减函数，其最大值为，
故选：．
【跟踪训练3】已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】
由可得关于对称，
由函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以的周期为4，
把函数的零点问题即的解，
即函数和的图像交点问题，
根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，
由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，
故选：B.
规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.
规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
[方法技巧]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
课时作业
1．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：令，即,解得,
所以，
当时，，
当或时，,
所以函数的最大值为3，
故选：．
2．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
【答案】A
【详解】
因为函数在定义域上单调，且，
所以为常数，不妨设，则
由得，解得：，
所以，
所以.
故选：A
3．已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：由，得
，
设，
则
设，则在（0，+∞）上为增函数，且，
则当时，，此时，此时函数为增函数，
当时，，此时，此时函数为减函数，
由，即，即，
由，得，即，
由，得，即，
故选：A
5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.
对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；
对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.
6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：因为定义域为，，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除CD；
当时，，但是比增长速度快得多，所以，故排除A；
故选：B
7．对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K区间”，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．（，1]
【答案】C
【详解】
为减函数，所以
两式相减化简得
代人
,得
问题转化为函数与函数有两个交点
结合图像可知
故选：C
8．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
令，则
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
即.
所以，，
故选：D
9．已知实数，，满足且，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由得，————①
由得，————②
两式相加得，因为，，所以，又因为
，所以；
因为，，所以，即，所以；
令，则，当时，，
所以在内单调递增，即，
所以，即，
又令，则，
当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.
所以.
故选：D.
10．若函数的导函数为，对任意恒成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：因为任意恒成立，
即任意恒成立，
又时，，
所以，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
故选：C.
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精品试卷·第
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第06讲-函数的奇偶性与周期性
考情分析
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
经典例题
考点一　判断函数的奇偶性
【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为，
因为，
所以是奇函数，
，
令为增函数，
也是增函数，
所以是增函数.
故D正确.
故选：D.
【典例1-2】已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
当时，，由奇函数的性质知，
，，函数单调递减；
又，，
则
由函数单减知，
故选：D
【跟踪训练1】偶函数满足，且在时，，则（
）
A．
B．1
C．
D．
【跟踪训练2】设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二　函数的周期性及其应用
【典例2-1】已知函数的定义域为，且满足，且，，则（
）．
A．2021
B．1
C．0
D．
【答案】C
【详解】
令，则，
故，
故，（舍）
令，则，
故．
∴，
即，
故的周期为4，即是周期函数．
∴．
故选：C．
【典例2-2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【跟踪训练1】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【跟踪训练2】已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【跟踪训练3】已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（
）
A．3
B．
C．
D．5
规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三　函数性质的综合运用
【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：对于A：，，故A错误；
对于B：，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：，则，故C错误；
对于D：，，且，即为偶函数，满足条件；
故选：D
【典例3-2】函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
根据题意，，必有，则有，
在区间上，有，排除C，
在区间上，，，，排除BD.
故选：A.
【跟踪训练1】已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【跟踪训练2】已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【跟踪训练3】已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.
规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
[方法技巧]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
课时作业
1．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
3．已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
7．对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K区间”，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．（，1]
8．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知实数，，满足且，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．若函数的导函数为，对任意恒成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
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