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第08讲-指数与指数函数
考情分析
1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知识梳理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
经典例题
考点一　指数幂的运算
【例1-1】
化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(a>0，b>0).
【解析】　(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
【例1-2】
化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)
÷(4a·b－3).
解　(1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二　指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，
故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
考点三　指数函数的性质及应用
【例3－1】
(1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1,
0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案　(1)B　(2)(－3，1)
【例3－2】
(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
【解析】　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
【例3－3】
如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案　3或
规律方法　1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
课时作业
1．若集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：，
，
所以，
故选：D.
2．设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
因，
又，而，即“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
3．若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
故选：D．
4．若，，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因，且函数是增函数，于是；
函数是增函数，，而，则，，即，
综上得：
故选：D
5．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，，
，，
∴,
故选：A
6．已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由函数关于对称，可得函数关于对称，即，
又由函数满足，可得，即，
所以函数是以2为周期的周期函数，
则，，，
又由，且，
因为在上递减，可得函数在上递增函数，
所以，即.
故选：A.
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
又
即，，，
且在上单调递增，
，
即.
综上可得.
故选:D.
8．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（
）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】
解：由题意知，当x＝0时，y＝2，
所以2＝a?e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．
9．已知常数，函数的图象经过点、，若
，则___
【答案】；
【详解】
由条件可知，得
①
，得
②
①②得，
，又，得.
10．函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
【答案】
【详解】
解：函数（且）的图象恒过定点A，
，
点A在直线上，
，
又，，
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以mn的最大值为，
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精品试卷·第
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第08讲-指数与指数函数
考情分析
1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知识梳理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
经典例题
考点一　指数幂的运算
【例1-1】
化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(a>0，b>0).
【解析】　(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
【例1-2】
化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)
÷(4a·b－3).
解　(1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二　指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，
故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
考点三　指数函数的性质及应用
【例3－1】
(1)下列各式比较大小正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1,
0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案　(1)B　(2)(－3，1)
【例3－2】
(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
【解析】　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
【例3－3】
如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案　3或
规律方法　1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
课时作业
1．若集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（
）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．已知常数，函数的图象经过点、，若
，则___
10．函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
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