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第09讲-对数与对数函数
考情分析
　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识梳理
1.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga
mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
经典例题
考点一　对数的运算
【例1-1】
(1)计算：÷100－＝________.
(2)计算：＝________.
【解析】　(1)原式＝(lg
2－2－lg
52)×100＝lg×10＝lg
10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点二　对数函数的图象及应用　
【例2-1】
(1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2A.(0，1)
B.(1，2)
C.(1，2]
D.
【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.
(2)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
考点三　对数函数的性质及应用　
【例3－1】
已知函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)，则(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析　由题意知，f(x)＝ln
x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝
ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln
x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.
答案　C
【例3－2】
(1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln
2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1)A.(0，1)
B.
C.
D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln
2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.
法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln
x的图象，由图知c>a>b.
(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>.综上，a∈.
【例3－3】
已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
6.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α为偶数).
7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
课时作业
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（
）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)
A．3.3
B．3.6
C．4
D．4.3
4．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．设函数，则函数的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，若，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
8．渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（
）考数据：
A．23分钟
B．33分钟
C．50分钟
D．56分钟
9．已知函数，若，则___________.
10．已知函数，，以下命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确的序号是______．
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第09讲-对数与对数函数
考情分析
　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识梳理
1.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga
mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
经典例题
考点一　对数的运算
【例1-1】
(1)计算：÷100－＝________.
(2)计算：＝________.
【解析】　(1)原式＝(lg
2－2－lg
52)×100＝lg×10＝lg
10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点二　对数函数的图象及应用　
【例2-1】
(1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2A.(0，1)
B.(1，2)
C.(1，2]
D.
【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.
(2)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
考点三　对数函数的性质及应用　
【例3－1】
已知函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)，则(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析　由题意知，f(x)＝ln
x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝
ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln
x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.
答案　C
【例3－2】
(1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln
2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1)A.(0，1)
B.
C.
D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln
2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.
法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln
x的图象，由图知c>a>b.
(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>.综上，a∈.
【例3－3】
已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
6.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α为偶数).
7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
课时作业
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以，
所以，
所以．
2．设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，且z为x和y的等比中项，则，
，(当且仅当即时取等号)
故选：A
3．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（
）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)
A．3.3
B．3.6
C．4
D．4.3
【答案】B
【详解】
由题思可得：，解得，，
所以.令，可得，两边问时取对数，
故小时，故选B.
4．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由，可得，
所以
.
5．设函数，则函数的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：，定义域为，且，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，
故选：D.
6．已知，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，.
对A，由幂函数的性质可得，故A错误；
对B，，，则由指数函数的性质可得，故B错误；
对C，，因为，所以，所以，故C错误；
对D，，因为，所以，所以，又，所以，即，故D正确.
故选：D.
7．已知，若，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，
函数在和上均单调递减，
又，所以
而,
所以，即，可知最小．
由于，所以比较真数
与的大小关系.当时，，所以,
即.
综上,．
故选：D．
8．渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（
）考数据：
A．23分钟
B．33分钟
C．50分钟
D．56分钟
【答案】B
【详解】
由题意可得，解得．
故．
令，即，
两边同时取对数，故分钟
9．已知函数，若，则___________.
【答案】4
【详解】
根据题意，函数，
当时，，无解；
当时，，解可得，符合题意，
故，
10．已知函数，，以下命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确的序号是______．
【答案】①②③．
【详解】
通过图像，即可对①②进行判断；当时，讨论和，得到的值范围．
解：已知函数，，
①∵由图像可得，在单调递减，在上单调递增，
∴若，则，故①正确，
②∵，，
∴，故②正确，
③当时，若时，则，
若时，，即，
∴，即，
∴，，故③正确，④错误，
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